專題13.3三角形的內(nèi)角與外角（知識(shí)梳理+8個(gè)考點(diǎn)講練+難度分層練共38題）知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角和1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.注意：三角形內(nèi)角和定理適用于所有三角形，三角形最多有三個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角，最多有一個(gè)直角.2.三角形的內(nèi)角和定理證明：主要運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中到一個(gè)頂點(diǎn)處,合并成一個(gè)角,再說明這個(gè)角是平角即可.知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)及判定1.性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示,直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.2.判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)3三角形的外角1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的外角.如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.2.性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；求證：∠ACD=∠A+∠B；證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.②三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；如圖：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.③三角形的外角和等于360°．求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；證明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.考點(diǎn)1：三角形內(nèi)角和定理的證明【典例精講】（2122八年級(jí)上·湖北孝感·期中）若∠A與∠B的兩邊分別垂直，請(qǐng)判斷這兩個(gè)角的等量關(guān)系．（1）如圖1，∠A與∠B的等量關(guān)系是；如圖2，∠A與∠B的等量關(guān)系是；對(duì)于上面兩種情況，請(qǐng)用文字語言敘述：．（2）請(qǐng)選擇圖1或圖2其中的一種進(jìn)行證明．考點(diǎn)2：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【典例精講】（2324八年級(jí)上·天津?qū)幒印て谥校┮阎喝鐖D所示，AB∥CD，AE交CD于點(diǎn)C，DE⊥AE，垂足為E，∠A+∠1=84°，【變式訓(xùn)練】（2122八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】如表是華師版九年級(jí)上冊(cè)第77頁部分內(nèi)容：如圖23.4.2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn).根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DE∥BC，且DE=1以上內(nèi)容不必證明.【結(jié)論應(yīng)用】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，求證：∠PMN=∠PNM.(2)如圖2，四邊形ABCD中，AD=BC，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC、NM交于點(diǎn)E，若∠D+∠DCB=234°，則∠E的大小為________.考點(diǎn)3：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【典例精講】（2425八年級(jí)上·天津·期中）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=80°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，DF⊥AE于點(diǎn)

(1)求∠BAE的度數(shù)；(2)求∠ADF的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】（2023七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F

(1)如果∠CFE=70°，求∠B的度數(shù)；(2)試說明：∠CEF=∠CFE．考點(diǎn)4：三角形折疊中的角度問題【典例精講】（2425八年級(jí)上·天津·期中）如圖，把△ABC紙片沿MN折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部點(diǎn)C′處，若∠C=36°，則∠1+∠2等于．【變式訓(xùn)練】（2425八年級(jí)上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△ABC沿直線EF翻折至同一平面內(nèi)，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，EA′，F(xiàn)A′分別交BC邊于點(diǎn)M，A．100° B．110° C．115° D．120°考點(diǎn)5：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【典例精講】（2425八年級(jí)上·廣東江門·期中）如圖，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分線交分線交于點(diǎn)E，∠EAC和∠ECA的平分線交于點(diǎn)M，若∠B=48°，則∠M的度數(shù)為（A．114° B．122° C．123° D．124°【變式訓(xùn)練】（2425八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．(1)若EF=5，BC=11，求△EFM的周長(zhǎng)．(2)設(shè)∠ABC+∠ACB=x°，①若x=120，求∠EMF的度數(shù)．②設(shè)∠EMF=y°，求x與y之間的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)6：直角三角形的兩個(gè)銳角互余【典例精講】（2425八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】（2425八年級(jí)上·浙江溫州·期中）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．比如：三個(gè)內(nèi)角分別為100°，50°，30°的三角形是“智慧三角形”．如圖，∠MON=40°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C．(1)∠ABO=°；(2)若∠ACB=60°．求證：△AOC為“智慧三角形”；(3)當(dāng)△ABC為“智慧三角形”時(shí)，請(qǐng)求出∠OAC的度數(shù)．考點(diǎn)7：銳角互余的三角形是直角三角形【典例精講】（2425七年級(jí)下·江蘇南京·期末）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有（

）①如果a>b，那么a>b；②如果a=b，那么A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】（2425七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF是∠BAC的平分線，分別作∠BCA，∠BCD的平分線CE,CF，交AF于點(diǎn)E，F(xiàn)，則∠AEC=°，∠F=°．考點(diǎn)8：三角形的外角的定義及性質(zhì)【典例精講】（2425八年級(jí)上·廣西欽州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A2，…，∠A2022BC和∠A2022CD【變式訓(xùn)練】（2425八年級(jí)上·天津·階段練習(xí)）已知：如圖，射線CP是△ABC的外角∠ACD的平分線．射線BF交CP于點(diǎn)G，若∠BAC=2∠BGC，求證：BF平分∠ABC．1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，則

A．40° B．32° C．24° D．16°2．（2022·海南·中考真題）如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．120° D．140°3．（2022·湖北十堰·中考真題）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點(diǎn)B，C處，且AB=AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形，若測(cè)得∠FBD=55°，則∠A=°．4．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖是一款兒童小推車的示意圖，若AB∥CD，∠1=30°，∠2=70°，則∠3的度數(shù)為（A．40° B．35° C．30° D．20°5．（2025·福建·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°．當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠ADE的大小為（

）A．5° B．15° C．25° D．35°基礎(chǔ)夯實(shí)1．（2425八年級(jí)上·廣東惠州·期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°，則∠D+∠E等于（

）A．100° B．110° C．120° D．130°2．（2425八年級(jí)上·貴州六盤水·期末）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB與道路CD平行，道路CD與道路HE的夾角為60°，城市規(guī)劃部門想新修一條道路EF，要求∠EFG=2∠E，則∠E的度數(shù)為（

）A．30° B．25° C．20° D．15°3．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，直線CF∥DE，∠ACB=90°，∠A=30°．若∠1=18°．則∠2等于（）A．42° B．38° C．36° D．30°4．（2324八年級(jí)上·重慶永川·期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（

）A．120° B．360° C．90° D．180°5．（2425八年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期中）將一副學(xué)生用的三角板按如圖所示的方式放置，若AE∥BC，則∠EFC的度數(shù)是6．（2425八年級(jí)上·廣西桂林·期中）如圖，五角星的頂點(diǎn)分別是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．7．（2425八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，陰影部分是一個(gè)噴水池，現(xiàn)要修建兩條通向水池的小道PA和QB，要求PA和QB所在的直線互相垂直．為了檢驗(yàn)PA和QB是否垂直，小亮同學(xué)在水池外的平地上選定一個(gè)可直接到達(dá)點(diǎn)P和Q的點(diǎn)C，然后測(cè)得∠P=25°，∠C=45°，∠Q=20°．請(qǐng)問：這樣做PA和QB的位置關(guān)系是否垂直（填是或否）．8．（2425八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）實(shí)驗(yàn)探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法．通過剪拼驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和等于180°”時(shí)，小明給出如圖1的拼合方法，發(fā)現(xiàn)了證明的思路，并給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)你補(bǔ)充完整，并寫出“證明”的過程．已知：如圖2，；求證：．9．（2425八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABD中，B是DC邊上一點(diǎn)，2∠1=∠2，∠3=4∠4，∠DAC=110°，求∠1和∠DAB的度數(shù)．培優(yōu)拔高1．如圖，直線CE∥DF，∠CAB=125°，∠ABD=85°，則∠1+∠2=（

）A．30° B．35° C．36° D．40°2．（2425八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖，將△ABC三個(gè)角分別沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．180° B．160° C．128° D．108°3．（2425八年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒PB，PD組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，CP=OC=OA，點(diǎn)O，A可在槽中滑動(dòng)，若∠AOB=72°，則∠P的度數(shù)是（

）A．24° B．36° C．48° D．54°4．（2425七年級(jí)下·上海松江·階段練習(xí)）如圖．AD是△ABC的外角∠CAE的平分線．∠B=35°，∠DAE=55°．則∠ACB的度數(shù)是度．5．（2425八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=30°，若△ABC≌△A′BC′，邊AC和邊A′C′相交于點(diǎn)P，邊AC和邊BC6．（2425八年級(jí)上·貴州六盤水·期末）如圖，在△ABC中，AD，CE分別為∠BAC，∠ACB的角平分線，AD與CE相交于點(diǎn)P．(1)若∠BAC=70°，∠ACB=60°，則∠APC=_____度；(2)求證：∠APC=180°?1(3)直接寫出∠APC與∠B，∠BAD，∠BCE的數(shù)量關(guān)系．7．（2223七年級(jí)下·浙江溫州·期中）已知：如圖1，在三角形ABC中，∠BAC=40°,∠C=65°，將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，連結(jié)AE．(1)當(dāng)∠E=65°時(shí)，請(qǐng)說明AE∥BC．(2)如圖2，當(dāng)DE在AC上方時(shí)，且∠E=2∠BAE?29°時(shí)，求∠BAE與∠EAC的度數(shù)．(3)當(dāng)AE垂直三角形ABC中的一邊時(shí)，直接寫出所有滿足條件的∠E的度數(shù)．8．（2223七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=______°，∠Q______(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是