第七節(jié)拋物線高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解拋物線的實際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中

的應(yīng)用.2.

了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).3.

了解拋物線的簡單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：（1）在平面內(nèi)；（2）動點到定點F的距離與到定直線l的距離

?；（3）定點

定直線上.提醒

定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點在定直線上

時，動點的軌跡是過定點且與定直線垂直的直線.相等

不在

2.

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）圖形

頂點O（0，0）標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）對稱軸x軸y軸焦點F

F

F

F

離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝

?x＝

?y＝

?y＝

?

標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p

＞0）y2＝－2px（p

＞0）x2＝2py（p＞

0）x2＝－2py（p

＞0）范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方

向向右向左向上向下焦半徑

（其中P（x0，

y0））｜PF｜

＝

?｜PF｜＝

?

?｜PF｜＝

?

?｜PF｜＝

?

?

－

y0

－

與拋物線焦點弦有關(guān)的結(jié)論如圖，傾斜角為θ的直線AB與拋物線y2＝2px（p＞0）交于A，B兩點，

F為拋物線的焦點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.則有

（3）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦，長為2p；

（5）以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線.

（

×

）（2）方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標(biāo)是（1，0）.

（

×

）（3）拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

（

×

）（4）若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線相切.

（

×

）××××2.

（人A選一P132例1改編）拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)是（

）A.

（0，2）B.

（0，1）C.

（2，0）D.

（1，0）

√

A.

y＝－

B.

x＝－

C.

y＝

D.

x＝

√4.

（人A選一P136練習(xí)1題改編）拋物線關(guān)于y軸對稱，頂點在坐標(biāo)原

點，準(zhǔn)線過點E（－5，5），則該拋物線方程為

?.

x2＝－20y

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

拋物線的定義及應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

（1）設(shè)圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），

過點B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P

的軌跡方程為（

A

）A.

x2＝8yB.

x2＝16yC.

y2＝8xD.

y2＝16xA解析：

因為圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點（A在B的上

方），所以A（0，2），B（0，－2），又因為過點B作圓O的切線l，所

以切線l的方程為y＝－2，因為動點P到A的距離等于P到l的距離，所以

動點P的軌跡為拋物線，且其焦點為（0，2），準(zhǔn)線為y＝－2，所以P的

軌跡方程為x2＝8y.（2）已知點M（20，40）不在拋物線C：y2＝2px（p＞0）上，拋物線C

的焦點為F.

若對于拋物線上的一點P，｜PM｜＋｜PF｜的最小值為

41，則p＝

?.42或22

解題技法利用拋物線的定義可解決的常見問題（1）軌跡問題：用拋物線的定義可以確定到定點與到定直線距離相等的

動點軌跡是拋物線；（2）距離問題：靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準(zhǔn)線距離間

的等價轉(zhuǎn)化.關(guān)于兩線段和的最值問題可利用“兩點之間的所有連線中，

線段最短”，“三角形的兩邊之和大于第三邊”及“直線外一點與直線上

任一點連線垂線段最短”.提醒

一定要驗證定點是否在定直線上.

A.4B.3C.

D.

√2.

已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設(shè)點P到l：x＝1的距離為d1，

到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是（

）A.

B.

C.2D.

√拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（師生共研過關(guān)）

（1）如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，則拋物線的方程為（

D

）DA.

y2＝

xB.

y2＝9xC.

y2＝

xD.

y2＝3x

（2）若頂點在原點的拋物線經(jīng)過點（－2，1），（1，2），（4，4）中

的2個，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.

x2＝4y或y2＝4x解題技法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法：若題目已給出拋物線的方程（含有未知數(shù)p），那么只需求

出p即可；（2）待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物

線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax（a≠0）；焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程可設(shè)為x2＝ay（a≠0），a的正負由題設(shè)來定，這樣就減少了不必要

的討論.

1.

在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動點P（x，y）到直線x＝1的距離比它到

定點（－2，0）的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A.

y2＝2xB.

y2＝4xC.

y2＝－4xD.

y2＝－8x解析：

由題意知動點P（x，y）到直線x＝2的距離與到定點（－2，

0）的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以（－2，0）為焦點，x

＝2為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.√2.

已知F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，過F作垂直于x軸的直

線交拋物線于M，N兩點，以MN為直徑的圓交y軸于C，D兩點，且｜

CD｜＝3，則拋物線方程為

?.

拋物線的幾何性質(zhì)（師生共研過關(guān)）

（1）設(shè)拋物線y2＝6x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一

象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為

120°，則｜PF｜＝（

B

）A.3B.6C.9D.12B

（2）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線

于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝

?.

2解題技法

應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀

地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思

想解題的直觀性.

1.

將兩個頂點在拋物線y2＝2px（p＞0）上，另一個頂點是此拋物線的焦

點的正三角形的個數(shù)記為n，則（

）A.

n＝0B.

n＝1C.

n＝2D.

n≥3解析：

根據(jù)拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點

一定關(guān)于x軸對稱，且過焦點的兩條直線的傾斜角分別

為30°和150°，這時過焦點的直線與拋物線有兩個交

點.如圖所示，所以正三角形的個數(shù)n＝2.√

3PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點P是C上一點，若｜PF｜＝5，則點

P到y(tǒng)軸的距離為（

）A.4B.3C.2D.1解析：

根據(jù)題意，點F的坐標(biāo)為（1，0），故｜PF｜＝xP＋1＝5，即

xP＝4，即點P到y(tǒng)軸的距離為4.故選A.

12345678910111213141516171819202022232425√2.

頂點在原點，且過點P（－2，3）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A.

y2＝

xB.

x2＝

yC.

y2＝－

x或x2＝

yD.

y2＝

x或x2＝－

y

√

A.

B.

C.

D.

2

√4.

已知動圓P與定圓C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝－

1相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是（

）A.

y2＝4xB.

y2＝－4xC.

y2＝8xD.

y2＝－8x

√5.

中國古代橋梁的建筑藝術(shù)，有不少是世界橋梁史上的創(chuàng)舉，充分顯示了中國勞動人民的非凡智慧.一個拋物線型拱橋，當(dāng)水面離拱頂2

m時，水面寬8

m.若水面下降1

m，則水面寬度為（

）A.

2

mB.

4

mC.

4

mD.12

m√

6.

〔多選〕（2025·八省聯(lián)考）已知F（2，0）是拋物線C：y2＝2px的焦

點，M是C上的點，O為坐標(biāo)原點.則（

）A.

p＝4B.

｜MF｜≥｜OF｜C.

以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切D.

當(dāng)∠OFM＝120°時，△OFM的面積為2

√√√

7.

若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到點A（－

2，1）的距離之和最小，則該點的坐標(biāo)為

?.

9.

過拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B

兩點，當(dāng)點A的縱坐標(biāo)為1時，｜AF｜＝2.（1）求拋物線C的方程；

（2）若拋物線C上存在點M（－2，y0），使得MA⊥MB，求直線l的方

程.

∴（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.當(dāng)k＝0時，l過點M，舍去，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.

10.

內(nèi)壁光滑的拋物線型容器內(nèi)放一個球，其通過中心軸的縱剖面圖如圖

所示，圓心在y軸上，拋物線頂點在坐標(biāo)原點，已知拋物線方程是x2＝

4y，圓的半徑為r，當(dāng)圓的大小變化時，圓上的點無法觸及拋物線的頂點

O，則圓的半徑r的取值范圍是（

）A.

（2，＋∞）B.

（1，＋∞）C.

[2，＋∞）D.

[1，＋∞）√

11.

（2024·武昌5月質(zhì)量檢測）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點

為F，過F作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作準(zhǔn)線l的垂

線，垂足分別為M，N，若△AF