第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.

掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等），能用

二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象y＝xα

①冪函數(shù)在（0，＋∞）上都有定義；②當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

和

，且在

（0，＋∞）上單調(diào)遞增；③當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

，且在（0，＋∞）上單

調(diào)遞減.（1，1）

（0，0）

（1，1）

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)2.

二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）頂點(diǎn)式：f（x）＝a（x－h(huán)）2＋k（a≠0）；（3）零點(diǎn)式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.3.

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）圖象

定義域RR解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）值域

單調(diào)性在x∈（－∞，－

］上單

調(diào)遞減；在x∈

?

上單調(diào)遞增在x∈（－∞，－

］上單調(diào)遞

增；在x∈

?上單

調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝

?對(duì)稱

提醒注意二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，經(jīng)常分二次項(xiàng)系數(shù)大于零與小于

零兩種情況討論.

1.

冪函數(shù)圖象的特征（1）在（0，1）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸（簡記為

“指大圖低”）；（2）在（1，＋∞）上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

（2）冪函數(shù)y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.

（

√

）（3）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函數(shù).

（

×

）（4）若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

（

√

）×√×√2.

函數(shù)f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域?yàn)椋?/p>

）A.

[－6，2]B.

[－6，1]C.

[0，2]D.

[0，1]解析：

函數(shù)f（x）＝－2x2＋4x的對(duì)稱軸為直線x＝1，則f（x）在

[－1，1]上單調(diào)遞增，在[1，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）max＝f（1）＝2，

f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域?yàn)閇－6，2].√

A.

B.4C.

D.

√4.

若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m

與n的取值情況為（

）A.

－1＜m＜0＜n＜1B.

－1＜n＜0＜m＜

C.

－1＜m＜0＜n＜

D.

－1＜n＜0＜m＜1√解析：

冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞

增，且0＜α＜1時(shí)，圖象上凸，所以0＜m＜1；當(dāng)α＜0時(shí)，y＝xα在

（0，＋∞）上單調(diào)遞減.由結(jié)論可知，不妨令x＝2，由圖象得2－1＜2n，

則－1＜n＜0，綜上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故選D.

5.

（人A必修一P100復(fù)習(xí)參考題4題改編）已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋4

在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.

（－∞，－1]B.

[－1，＋∞）C.

[0，＋∞）D.

（－∞，0]解析：

函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋4＝（x－a）2＋4－a2，所以f（x）

的單調(diào)遞增區(qū)間是[a，＋∞），依題意知，[0，＋∞）?[a，＋∞），所

以a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，0]，故選D.

√PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.

（2025·重慶開學(xué)考試）已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是

定義域上的奇函數(shù)，則m＝（

）A.

－

或3B.3C.

D.

－

√

A.

m，n是奇數(shù)，且

＜1B.

m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且

＞1C.

m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且

＜1D.

m，n是偶數(shù)，且

＞1√

3.

若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.

（

，

）B.

（－∞，－1）C.

（－∞，－1）∪（

，

）D.

?√

4.

〔多選〕已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)（16，4），則下列說法

正確的有（

）A.

f（x）是偶函數(shù)B.

f（x）是增函數(shù)C.

當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1D.

當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，

＜f（

）√√√

練后悟通1.

冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)特征的關(guān)系（1）冪函數(shù)的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需

一個(gè)條件即可確定其解析式；（2）判斷冪函數(shù)y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定義域時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)

時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷；（3）若冪函數(shù)y＝xα在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則α＞0，若在（0，＋

∞）上單調(diào)遞減，則α＜0.2.

冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）利用單調(diào)性比較兩個(gè)冪的大小；（2）利用單調(diào)性解不等式.二次函數(shù)的解析式（師生共研過關(guān)）

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）

的最大值是8，求二次函數(shù)f（x）的解析式.

法三（利用二次函數(shù)的零點(diǎn)式）

由已知f（x）＋1＝0的兩根為x1＝2，

x2＝－1，故可設(shè)f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函數(shù)解析式為f（x）＝－4x2＋4x＋7.解題技法求二次函數(shù)解析式的方法

2.

已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－3，0），（1，0），且頂點(diǎn)到x軸的距離

等于2，則二次函數(shù)的解析式為

?.

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定向精析突破）考向1

二次函數(shù)圖象的識(shí)別

〔多選〕如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（－3，0），對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論中正確的為（

）A.

b2＞4acB.

2a－b＝1C.

a－b＋c＝0D.

5a＜b√√

解題技法識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”考向2

二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

已知函數(shù)f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.（1）當(dāng)a＝2，x∈[－2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；

（2）若函數(shù)f（x）在[－1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.

解題技法二次函數(shù)最值問題的類型及求解策略（1）類型：①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱軸變動(dòng)、區(qū)間固定；③

對(duì)稱軸固定、區(qū)間變動(dòng).（2）求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間的兩個(gè)

端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸是指對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討

論的思想求解.

1.

設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象可能是（

）√解析：

因?yàn)閍bc＞0，二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A

中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合題意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符

合題意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合題意，故選D.

2.

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]

上單調(diào)遞增，若f（a）≥f（0），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.

[0，＋∞）B.

（－∞，0]C.

[0，4]D.

（－∞，0]∪[4，＋∞）解析：

由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為直

線x＝2，又函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由f（a）≥f（0）可

得0≤a≤4.√3.

函數(shù)f（x）＝x2－4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇－2，2]，則b－a

的取值范圍是

?.解析：令f（x）＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，令f（x）＝x2－4x

＋2＝－2，解得x＝2，由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇－2，

2].若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝

[2，4]，此時(shí)b－a取得最小值2；若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不單

調(diào)，且當(dāng)b－a取最大值時(shí)，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值為4.所

以b－a的取值范圍是[2，4].[2，4]

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)1.

已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（8，4），則函數(shù)f（x）的圖象大致

為（

）√123456789101112131415

1234567891011121314152.

已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝

0，則（

）A.

?x∈（0，1），都有

f（x）＞0B.

?x∈（0，1），都有

f（x）＜0C.

?x∈（0，1），使得

f（x）＝0D.

?x∈（0，1），使得

f（x）＞0√解析：

由a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，拋物線開口向上.因?yàn)閒（0）＝c＜0，f（1）＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，所以?x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正確，A、C、D錯(cuò)誤，故選B.

123456789101112131415

A.

c＜b＜aB.

c＜a＜bC.

b＜c＜aD.

a＜b＜c

√1234567891011121314154.

已知函數(shù)f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若對(duì)于區(qū)間[－1，2]上的任

意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是（

）A.

（－∞，0]B.

[0，3]C.

（－∞，0]∪[3，＋∞）D.

[3，＋∞）解析：

二次函數(shù)f（x）＝x2－2（a－1）x＋a圖象的對(duì)稱軸為直線x

＝a－1，∵對(duì)于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f

（x2），即f（x）在區(qū)間[－1，2]上是單調(diào)函數(shù)，∴a－1≤－1或a－

1≥2，∴a≤0或a≥3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－∞，0]∪[3，＋∞）.√123456789101112131415

A.

f（－32）＝

B.

f（x）的定義域是RC.

f（x）是偶函數(shù)D.

不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3]√√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多選〕已知二次函數(shù)y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的圖象與x軸有

兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），則下面說法正確的是（

）A.

該二次函數(shù)的圖象一定過定點(diǎn)（－1，－5）B.

若該函數(shù)圖象開口向下，則m的取值范圍為（

，2）C.

當(dāng)m＞2，且1≤x≤2時(shí)，y的最大值為4m－5D.

當(dāng)m＞2，且該函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2滿足－3＜x1＜－

2，－1＜x2＜0時(shí)，m的取值范圍為（

，11）√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

為了保證信息的安全傳輸，有一種密鑰系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)

送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）.設(shè)加密密鑰

為y＝xα（α為常數(shù)），如“4”通過加密后得到密文“2”.若接收方接到

密文“3”，則解密后得到的明文是

?.

9

1234567891011121314158.

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，確定下列各式的

正負(fù)：b

0，ac

0，a－b＋c

0.（填“＞”“＜”或

“＝”）

＞

＜

＜

123456789101112131415

123456789101112131415（2）求滿足條件f（2－a）＞f（a－1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

123456789101112131415

A.3B.4C.5D.6√123456789101112131415

12345678910111213141511.

（2025·八省聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若當(dāng)x＞2

時(shí)，f（x）＞0，則a的取值范圍是（

）A.

（－∞，1]B.

[－2，1]C.

[－1，2]D.

[－1，＋∞）√123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多選〕已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，以

下結(jié)論正確的是（

）A.

a＜1B.

若x1x2≠0，則

＋

＝

C.

f（－1）＝