第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求

1.

了解任意角的概念和弧度制.2.

能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.

借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

角的概念（1）定義：角可以看成一條射線繞著它的

旋轉(zhuǎn)所成的圖形；

端點

（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成

一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒

相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的

角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍.2.

弧度制的定義和公式（1）定義：長度等于

的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧

度單位用符號rad表示；半徑長

（2）公式角α的弧度數(shù)公式｜α｜＝

（弧長用l表示）角度與弧度的換算1°＝

rad；1

rad＝

°

弧長公式l＝

?扇形面積公式S＝

lR

＝

αR2（0＜α＜2π）

提醒

角度制與弧度制可利用180°＝π

rad進行互化，在同一個式子中，

采用的度量制度必須一致，不可混用.

αR（0＜α＜2π）

3.

任意角的三角函數(shù)（1）定義：設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點

P（x，y），那么sin

α＝

，cos

α＝

，tan

α＝

?

?；

（3）三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.y

x

（x≠0）

1.

象限角與軸線角（1）象限角（2）軸線角

α所在象限一二三四

所在象限一、三一、三二、四二、四

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）銳角是第一象限角，第一象限的角也都是銳角.

（

×

）（2）角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關(guān).

（

√

）（3）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

（

√

）（4）若sin

α＞0，則α是第一或第二象限角.

（

×

）×√√×2.

（人A必修一P176習(xí)題4題改編）一條弦的長等于半徑，則此弦所對圓

心角的弧度數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.π

√

A.

{3}B.

{3，1}C.

{－1，1}D.

{3，－1}√

4.

－135°＝

rad，它是第

象限角.

三

5.

（蘇教必修一P181練習(xí)1題改編）已知角θ的終邊經(jīng)過點P（－12，

5），則sin

θ＋cos

θ＝

?.

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

象限角與終邊相同的角（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）

√

2.

〔多選〕下列四個命題中正確的是（

）A.

－

是第二象限角B.

是第三象限角C.

－400°是第四象限角D.

－315°是第一象限角

√√√3.

與－2

026°終邊相同的最小正角是

?.解析：∵－2

026°＝（－6）×360°＋134°，∴134°與－2

026°終邊

相同.∴與－2

026°終邊相同的最小正角是134°.

134°

二、

四

第一、第二象限或y軸的非負半軸上

A.

第一、二、三象限B.

第二、三、四象限C.

第一、三、四象限D(zhuǎn).

第一、二、四象限√

練后悟通1.

象限角的2種判斷方法（1）圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直

接判斷已知角是第幾象限角；（2）轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的

形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已

知角是第幾象限角.

扇形的弧長及面積公式（師生共研過關(guān)）

A.

B.

C.

D.

C

CA.

B.

C.

D.

解題技法有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三

角形.

1.

若扇形周長為20

cm，當(dāng)扇形的圓心角為

rad時，這個扇形的面積

最大.

2

2.

數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的

美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以A，B，C為圓心，

線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形

的周長為2π，則其面積是

?.

三角函數(shù)的定義及應(yīng)用（定向精析突破）考向1

三角函數(shù)的定義

（2）已知角α的終邊在直線y＝2x上，則sin

α＝

?.

解題技法利用三角函數(shù)的定義解決問題的策略（1）已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值.先求點P到

原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解；（2）已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)

值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值；（3）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定

義可求角α終邊上某特定點的坐標.考向2

三角函數(shù)值符號的判定

A.

第一象限角B.

第二象限角C.

第三象限角D.

第四象限角

√解題技法三角函數(shù)值符號的判斷方法

要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限

角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定函數(shù)值的符號.如果角不

能確定所在象限，就要分類討論求解.

A.

B.

√C.

D.

2.

sin

2cos

3tan

4的值（

）A.

小于0B.

大于0C.

等于0D.

不存在

√PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

把－1

125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（

）A.

－

－6πB.

－6πC.

－

－8πD.

－8π

√123456789101112131415161718192020222324252.

下列各選項中正確的是（

）A.sin

300°＞0B.cos（－305°）＜0C.tan（－

）＞0D.sin

10＜0

√

A.

第一象限角B.

第二象限角C.

第三象限角D.

第四象限角解析：

由題意知sin

θcos

θ＞0且－cos

θ≥0.由sin

θcos

θ＞0知

θ為第一、三象限角.又由－cos

θ≥0，即cos

θ≤0知θ為第二、三象限

角或終邊在y軸或x軸非正半軸上的角，所以θ為第三象限角.故選C.

√

A.

－

B.

C.

－

D.

√

A.

B.

C.1D.2√

A.sin

θ＝－

B.

α為鈍角C.cos

α＝－

D.

點（tan

θ，tan

α）在第四象限√√√

8.

已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角α

用集合可表示為

?.

9.

若角θ的終邊過點P（－4，3）.（1）求sin

θ＋cos

θ的值；

（2）試判斷cos（sin

θ）·sin（cos

θ）的符號.

10.

給出下列命題：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不論是用角度制還是用弧度制度量一個角的大小，都與扇形半徑的

大小無關(guān)；（3）若sin

α＝sin

β，則α與β的終邊相同；（4）若cos

θ＜0，則θ是第二或第三象限角.其中正確命題的個數(shù)是

（

）A.

1B.

2C.

3D.4√

11.

已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿著直

線l向右，點Q沿著圓周按逆時針方向以相同大小的速度運動，當(dāng)點Q再

次運動到點A時，P，Q停止運動.在運動過程中，連接OQ，OP（如

圖），則陰影部分的面積S1，S2的大小關(guān)系是（

）A.

S1＝S2B.

S1≤S2C.

S1≥S2D.

先S1＜S2再S1＞S2√

A.

經(jīng)過1

s后，∠BOA的弧度數(shù)為

＋3B.

經(jīng)過

s后，扇形AOB的弧長為

C.

經(jīng)過

s后，扇形AOB的面積為

D.

經(jīng)過

s后，A，B在單位圓上第一次相遇√√√

13.

已知點P（sin

α－cos

α，tan

α）在第一象限，且α∈[0，2π），

則角α的取值范圍是

?.

15.

（情境創(chuàng)新）如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：