考教銜接兩類概率模型的辨析高中總復(fù)習·數(shù)學對于2023年全國甲卷理19題的第一小問，學生們給出了三種不同解

法，三種解法的期望一樣，但是概率分布列不同，孰對孰錯？如何才能正

確區(qū)分超幾何分布和二項分布呢？一、真題呈現(xiàn)

（2023·全國甲卷理19題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如

下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對

照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正

常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和

數(shù)學期望；（2）略本題主要考察了離散型隨機變量的分布列以及獨立性檢驗問題.第二問沒

有分歧，下面主要研究第一小問的解法.二、解法賞析解法1：兩只小白鼠分在兩個組，每只小白鼠都各有兩種分配方案，總的

分配方案為4種，兩只小白鼠全部分配到試驗組有1種情況，有一只分配到

對照組有2種情況，全部分配到對照組的有1種情況，X的可能取值為0，

1，2，

所以X的分布列為：X012P?

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所以X的分布列為：X012P?

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所以X的分布列為：X012P?

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三、真假辨析我們先看教材.在人A選三的7.4.2節(jié)，有這樣一個問題：已知100件產(chǎn)

品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件，設(shè)抽取的

4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.這個問題旨在讓學生通過

具體情境感知，如果采用放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二

項分布，如果采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但是

每次抽取不是同一個實驗，而且各次抽取的結(jié)果也不獨立，不符合n重伯

努利試驗的特征，X服從超幾何分布.也就是說，有無放回是區(qū)別二項分布

和超幾何分布的重要特征.結(jié)合本題，小白鼠抽取，顯然是不再放回的，也就是屬于不放回抽

取，從而本題應(yīng)該是超幾何分布問題.這樣解法3就是正確的，解法1錯誤

在把特定的兩只小白鼠等同于其他小白鼠，按照每只小白鼠被抽到的可能

性相等，事實上，這兩只小白鼠被抽到的可能性是不同于其他小白鼠的，

相當于40件產(chǎn)品中，有2件次品，38件正品，次品和正品被抽到的可能性

不等.解法2錯誤在把抽兩只小白鼠當作2次獨立重復(fù)實驗，事實上每次抽

取并不獨立，會影響第二次抽取.反思感悟

一般地，我們辨別是超幾何分布還是二項分布，有兩點，其一是看總

體數(shù)大小，其二是有無放回.當總體數(shù)目較大或者沒有給出時，或者是無

放回抽取時，屬于超幾何分布，反之，為二項分布.一個車間有3臺車床，它們各自獨立工作，設(shè)同時發(fā)生故障的車床數(shù)為

X，在下列兩種情形下分別求X的分布列.（1）3臺車床型號相同，它們發(fā)生故障的概率是20%；（2）3臺車床中有A型號2臺，B型號1臺，A型號車床發(fā)生故障的概率是

10%，B型號車床發(fā)生故障的概率是20%.在這里并沒有明確的說明是“有放回”還是“無放回”的抽取，但

是，（1）中車床型號相同，且發(fā)生故障的概率相同，可以理解為在相

同試驗條件下進行3次獨立試驗，滿足n重伯努利試驗的條件，所以X服

從的是二項分布，而在（2）中車床分不同的型號，有差異，每種型號

車床發(fā)生故障的概率有差異，那么發(fā)生故障的概率跟車床有關(guān)，所以

服從超幾何分布.1.

某學校為了緩解學生緊張的復(fù)習生活，決定舉行一次游戲活動，游戲規(guī)

則為：甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球，乙箱子里裝有2個紅球和2個黑

球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個

球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個紅球記2分，摸出一個黑

球記－1分，得分在5分以上（含5分）則獲獎.（1）求在1次游戲中，獲獎的概率；?高考還可以這樣考

（2）求在1次游戲中，得分X的分布列及均值.

X－4－1258P?

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所以X的分布列為：2.

某學校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學文化節(jié)活動，其中有兩個“擲骰子贏獎

品”的登臺階游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一

次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復(fù)以上步

驟，當參加游戲的學生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束.規(guī)定：從

平地開始，結(jié)束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺

階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失敗.（1）某學生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級臺階，