第六章因子分析

第一節(jié)引言一般認(rèn)為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發(fā)表的文章《對智力測驗得分進(jìn)行統(tǒng)計分析》開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統(tǒng)計方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個“抽象”的變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評價中，消費者可以通過一系列指標(biāo)構(gòu)成的一個評價指標(biāo)體系，評價百貨商場的各個方面的優(yōu)劣。但消費者真正關(guān)心的只是三個方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標(biāo)測評抽象因子的統(tǒng)計分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，描述社會與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多，過多的指標(biāo)容易導(dǎo)致分析過程復(fù)雜化。一個合適的做法就是從這些關(guān)系錯綜復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展問題進(jìn)行深入分析、合理解釋和正確評價。因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。因子分析(factoranalysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個假想變量能夠反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而假想變量是不可觀測的潛在變量，稱為因子。例如，在企業(yè)形象或品牌形象的研究中，消費者可以通過一個有24個指標(biāo)構(gòu)成的評價體系，評價百貨商場的24個方面的優(yōu)劣。

但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。因子分析方法可以通過24個變量，找出反映商店環(huán)境、商店服務(wù)水平和商品價格的三個潛在的因子，對商店進(jìn)行綜合評價。而這三個公共因子可以表示為：

稱是不可觀測的潛在因子。24個變量共享這三個因子，但是每個變量又有自己的個性，不被包含的部分，稱為特殊因子。注：

因子分析與回歸分析不同，因子分析中的因子是一個比較抽象的概念，而回歸因子有非常明確的實際意義；主成分分析分析與因子分析也有不同，主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構(gòu)造因子模型。主成分分析:原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分；因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量。第二節(jié)因子分析模型一因子分析的數(shù)學(xué)模型

二因子載荷陣的統(tǒng)計意義

一、因子分析的數(shù)學(xué)模型無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數(shù)的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協(xié)方差陣出發(fā)的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是一種線性變換，是將原始坐標(biāo)變換到變異程度大的方向上去，相當(dāng)于從空間上轉(zhuǎn)換觀看數(shù)據(jù)的角度，突出數(shù)據(jù)變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質(zhì)上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過程。正因為因子分析是一個提練潛在因子的過程，因子的個數(shù)m取多大是要通過一定規(guī)則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說來，作為“自變量”的因子F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m是不可直接觀測的。這里我們應(yīng)該注意幾個問題。二、因子載荷陣的統(tǒng)計意義前面的因子分析模型中出現(xiàn)了一個概念叫因子載荷矩陣，實際上因子載荷矩陣存在明顯的統(tǒng)計意義。為了對因子分析過程和計算結(jié)果做詳細(xì)的解釋，我們對因子載荷矩陣的統(tǒng)計意義加以說明。第三節(jié)因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關(guān)陣的估計

一、因子載荷矩陣的求解

這樣在模型上就解決了從約相關(guān)陣R*出發(fā)求載荷矩陣A二、約相關(guān)陣的估計第四節(jié)公因子重要性的分析一因子旋轉(zhuǎn)

二因子得分一、因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目標(biāo)之一就是要對所提取的抽象因子的實際含義進(jìn)行合理解釋。有時直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進(jìn)行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉(zhuǎn)的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達(dá)到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯(lián)系，矛盾的主要方面顯現(xiàn)出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要