第三節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點(diǎn)分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

A.①②B.

①③

C

.

①④D.

③④

2.已知向量

a

＝（4，2），

b

＝（6，

y

），且

a

∥

b

，則

y

＝（

）A.－3B.3

C

.

8D.12解析：

∵向量

a

＝（4，2），

b

＝（6，

y

），且

a

∥

b

，故4

y

－

2×6＝0，解得

y

＝3，故選B.

A.2B.3

C

.

4D.5

4.（2024·濱州模擬）已知?

ABCD

的頂點(diǎn)

A

（－1，－2），

B

（3，

－1），

C

（5，6），則頂點(diǎn)

D

的坐標(biāo)為

?.

（1，5）

A.（－9，－1）B.

C.（1，－5）D.

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練平面向量基本定理的應(yīng)用

A.3

m

－2

n

B.

－2

m

＋3

n

C.3

m

＋2

n

D.2

m

＋3

n

解題技法1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用三角形法則或平行四

邊形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并

運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來

解決.提醒

同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下

的分解是唯一的.

A.

a

＋

b

B.

a

＋

b

C.

a

＋

b

D.

a

＋

b

（－2，0）

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】

（1）已知

a

＝（5，－2），

b

＝（－4，－3），若

a

－2

b

＋3

c

＝0，則

c

＝（

）A.（

）B.

（－

，－

）C.（

）D.

（－

，－

）

A.

B.

C.2D.

解題技法平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的

運(yùn)算法則進(jìn)行.解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相

同”這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解；（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后

再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)向量

a

＝（

m

，1），

b

＝（1，2），且｜

a

＋

b

｜2＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2，則

m

＝

?.解析：

a

＝（

m

，1），

b

＝（1，2），

a

＋

b

＝（

m

＋1，3），

又｜

a

＋

b

｜2＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2，所以（

m

＋1）2＋32＝

m

2＋1＋1

＋4，解得

m

＝－2.－2

向量共線的坐標(biāo)表示考向1

利用向量共線求參數(shù)【例3】

（1）已知向量

a

＝（1，2），

b

＝（2，－2），

c

＝（1，

λ）.若

c

∥（2

a

＋

b

），則λ＝

?；

解題技法利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的步驟（1）根據(jù)已知條件求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示列出有關(guān)向量的方程或方程組；（3）根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值.考向2

利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)【例4】

已知點(diǎn)

A

（4，0），

B

（4，4），

C

（2，6），

O

為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則

AC

與

OB

的交點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為

?.

（3，3）

解題技法利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)的一般思路（1）求與一個已知向量

a

共線的向量時，可設(shè)所求向量為λ

a

（λ∈R），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后

代入λ

a

即可得到所求的向量；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時，可設(shè)要求點(diǎn)的坐標(biāo)為（

x

，

y

），根據(jù)向量共線

的條件列方程（組），求出

x

，

y

的值.

1.已知向量

e

1＝（1，1），

e

2＝（0，1），若

a

＝

e

1＋λ

e

2與

b

＝－

（2

e

1－3

e

2）共線，則實(shí)數(shù)λ＝

?.

（－3，－6）

PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·滁州模擬）已知向量

a

＝（2，－3），

b

＝（1，2），

c

＝

（9，4），若

c

＝

ma

＋

nb

，則

m

＋

n

＝（

）A.5B.6C.7D.8

123456789101112131415162.（2024·衡水模擬）已知向量

a

＝（2，6），

b

＝（－1，λ）.若

a

∥

b

，則λ＝（

）A.3B.

－3

C

.

D.

－

解析：

因?yàn)橄蛄?/p>

a

＝（2，6），

b

＝（－1，λ），

a

∥

b

，所以

2λ＝－6，解得λ＝－3，故選B.12345678910111213141516

A.

p

＋

q

B.

p

＋

q

C.

p

＋

q

D.

p

＋

q

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C.1D.

－112345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

P

為線段

OC

的中點(diǎn)時，μ＝

B.

P

為線段

OC

的中點(diǎn)時，μ＝

C.無論μ取何值，恒有λ＝

D.存在μ∈R，λ＝

12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多選）設(shè)

a

是已知的平面向量且

a

≠0，關(guān)于向量

a

的分解，有如

下四個命題（向量

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線），則真命

題是（

）A.給定向量

b

，總存在向量

c

，使

a

＝

b

＋

c

B.給定向量

b

和

c

，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使

a

＝λ

b

＋μ

c

C.給定單位向量

b

和正數(shù)μ，總存在單位向量

c

和實(shí)數(shù)λ，使

a

＝λ

b

＋μ

c

D.給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量

b

和單位向量

c

，使

a

＝λ

b

＋μ

c

12345678910111213141516解析：

因?yàn)橄蛄?/p>

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，所以

b

≠0，

c

≠0，給定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

－

b

，即為所求

的向量

c

，故總存在向量

c

，使

a

＝

b

＋

c

，故A正確；當(dāng)向量

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量

b

，

c

可作基底，由平面向

量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；取

a

＝（4，4），μ＝2，

b

＝

（1，0），無論λ取何值，向量λ

b

都平行于

x

軸，而向量μ

c

的模恒

等于2，要使

a

＝λ

b

＋μ

c

成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μ

c

的縱

坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量

c

使等式成立，故C錯誤；因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以λ

b

和μ

c

代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量

a

不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使

a

＝λ

b

＋μ

c

成立，故D錯誤.故選A、B.12345678910111213141516

2

12345678910111213141516

（1）求3

a

＋

b

－3

c

；解：由已知得

a

＝（5，－5），

b

＝（－6，－3），

c

＝（1，8）.3

a

＋

b

－3

c

＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝

（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.12345678910111213141516

（2）求滿足

a

＝

mb

＋

nc

的實(shí)數(shù)

m

，

n

；法二

∵

a

＋

b

＋

c

＝0，∴

a

＝－

b

－

c

，又∵

a

＝

mb

＋

nc

，∴

mb

＋

nc

＝－

b

－

c

，

12345678910111213141516解：設(shè)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴

M

（0，20）.

12345678910111213141516

A.

k

＝－2B.

k

＝

C.

k

＝1D.

k

＝－1

12345678910111213141516

A.

a

＋

b

B.

－

a

＋

b

C.－

a

＋

b

D.

a

＋

b

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.λ∈（0，1）B.若

＝

m

＋

n

，則

n

λ＝1C.若∠

BAC

＝120°，

AD

＝

BD

，則λ＝3D.若λ＝2，則

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.當(dāng)

x

＝0時，

y

∈[2，3]B.當(dāng)

P

是線段

CE

的中點(diǎn)時，

x

＝－

，

y

＝

C.若

x

＋

y

為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

P

的軌