教考銜接4?“算兩次”在解三角形中的運(yùn)用

“算兩次”就是從兩個不同的角度或用兩種不同的方法、途徑表

示同一數(shù)學(xué)對象，根據(jù)結(jié)果的唯一性，得到方程的方法.“算兩次”在

運(yùn)用的過程中要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光看問題，找尋等量關(guān)系，對學(xué)

生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等思維能力提出了較高要求，在解三角形中

經(jīng)常通過特定關(guān)系的邊、角或面積，通過“算兩次”的方法找到解決

問題的關(guān)鍵點(diǎn).

真題展示

2

技法探究技法1

“邊”算兩次1.同一邊算兩次【例1】

在四邊形

ABCD

中，

AB

＝3，

AD

＝4，

BC

＝2，

CD

＝

1，則四邊形

ABCD

面積的最大值為

?.

反思感悟

本題選取了兩個三角形的公共“邊”為切入口，在不同的三角形

中利用余弦定理兩次表示邊

BD

，即在△

ABD

中，

BD

2＝25－24cos

A

；在△

CBD

中，

BD

2＝5－4cos

C

，從而得到6cos

A

－cos

C

＝5，獲

知角之間的關(guān)系.

9

反思感悟

本題選取兩個三角形的公共角

B

為切入口，分別在兩個不同的三

角形內(nèi)利用余弦定理對角進(jìn)行表示，構(gòu)建方程進(jìn)行求解.解題的關(guān)鍵是

尋找兩個三角形的公共元素，在兩個三角形內(nèi)分別利用正、余弦定

理、勾股定理進(jìn)行邊、角互化，獲得等量關(guān)系.2.補(bǔ)角算兩次【例4】

（2021·新高考Ⅰ卷19題）記△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對

邊分別為

a

，

b

，

c

.已知

b

2＝

ac

，點(diǎn)

D

在邊

AC

上，

BD

sin∠

ABC

＝

a

sin

C

.

（1）證明：

BD

＝

b

；解：證明：因?yàn)?/p>

BD

sin∠

ABC

＝

a

sin

C

，所以由正弦定

理得，

BD

·

b

＝

ac

，又

b

2＝

ac

，所以

BD

·

b

＝

b

2，又

b

＞0，所以

BD

＝

b

.（2）若

AD

＝2

DC

，求cos∠

ABC

.

反思感悟

本題選取兩個三角形中的相關(guān)“角”，兩個角互為補(bǔ)角即∠

BED

＋∠

ABC

＝π為切入口，通過兩次計算相關(guān)角的余弦值，從而得到

a

，

b

，

c

的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求解.3.相關(guān)角算兩次【例5】

在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，滿

足

a

＝4，

C

＝2

B

.

（1）若

b

＝2，求

c

；

反思感悟

本題選取相關(guān)角為切入口，在兩個三角形內(nèi)分別表示出相關(guān)角

C

，

B

的正切值，再借助

C

＝2

B

以及其正切值的等量關(guān)系，取得問題

的關(guān)鍵點(diǎn)，獲得結(jié)論.技法3

“面積”算兩次1.同一面積算兩次【例6】

△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，若△

ABC

的面積

S

＝（

b

＋

c

）2－

a

2，則sin

A

＝

?.

反思感悟

本題以三角形的面積為突破口，采用“算兩次”的方法對面積進(jìn)

行表示，從而得到等量關(guān)系進(jìn)而得解.2.相關(guān)面積算兩次【例7】

在△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，

點(diǎn)

D

為線段

AB

的中點(diǎn)，

a

＋

b

＝5，∠

ACB

＝120°，∠

ACD

＝30°，

則

a

＝

?.

反思感悟

本題的解法多樣，但由于

D

為線段

AB

的中點(diǎn)，此時△

ADC

和△

BDC

面積相等，如果把面積作為解題“橋梁”，在兩個三角形中進(jìn)行

面積的表示，充分運(yùn)用“算兩次