重難專攻（七）立體幾何中的綜合問題

隨著高考改革的不斷深入，立體幾何中的翻折、探究、動態(tài)等問

題備受命題者青睞.解決此類問題的關鍵是“以靜制動”，將其轉化為

平面幾何問題，通過構造函數(shù)、基本不等式等方法加以解決.【例1】圖①是由矩形

ADEB

，Rt△

ABC

和菱形

BFGC

組成的一個平

面圖形，其中

AB

＝1，

BE

＝

BF

＝2，∠

FBC

＝60°.將其沿

AB

，

BC

折

起使得

BE

與

BF

重合，連接

DG

，如圖②.翻折問題（1）證明：圖②中的

A

，

C

，

G

，

D

四點共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

；解：證明：由已知得

AD

∥

BE

，

CG

∥

BE

，所以

AD

∥

CG

，所以

AD

，

CG

確定一個平面，從而

A

，

C

，

G

，

D

四點共面.由已知得

AB

⊥

BE

，

AB

⊥

BC

，且

BE

∩

BC

＝

B

，所以

AB

⊥平面

BCGE

.

又因為

AB

?平面

ABC

，所以平面

ABC

⊥平面

BCGE

.

（2）求圖②中的二面角

B

-

CG

-

A

的大小.

因此二面角

B

-

CG

-

A

的大小為30°.解題技法1.翻折問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清翻折前后

變與不變的關系，尤其是隱含的垂直關系.一般地翻折后還在同一個

平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉化，

因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂

直問題的技巧.

（1）求證：平面

BC

1

E

⊥平面

ABED

；

（2）已知點

P

為線段

DC

1上一點，且

PC

1＝2

PD

，求直線

BP

與平面

ABC

1所成角的正弦值.

探究問題【例2】

（2021·全國甲卷19題）已知直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，側面

AA

1

B

1

B

為正方形，

AB

＝

BC

＝2，

E

，

F

分別為

AC

和

CC

1的中點，

D

為棱

A

1

B

1上的點，

BF

⊥

A

1

B

1.（1）證明：

BF

⊥

DE

；

（2）當

B

1

D

為何值時，面

BB

1

C

1

C

與面

DFE

所成的二面角的正弦值

最小？

解題技法利用空間向量巧解探究性問題的策略（1）空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進行

復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷；（2）解題時，把結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存

在”問題轉化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內的

解”等問題，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用

這一方法解題.提醒

探究線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應用.

（2024·廈門質檢）在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，四邊形

AA

1

B

1

B

是

菱形，

AB

⊥

AC

，平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

A

1

B

1

C

1與平面

AB

1

C

的交線為

l

.（1）證明：

A

1

B

⊥

B

1

C

.

解：證明：因為四邊形

AA

1

B

1

B

為菱形，所以

A

1

B

⊥

AB

1.因為平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

AA

1

B

1

B

∩平面

ABC

＝

AB

，

AC

?平面

ABC

，

AC

⊥

AB

，所以

AC

⊥平面

AA

1

B

1

B

.

又

A

1

B

?平面

AA

1

B

1

B

，所以

AC

⊥

A

1

B

.

又因為

AB

1∩

AC

＝

A

，所以

A

1

B

⊥平面

AB

1

C

.

又

B

1

C

?平面

AB

1

C

，所以

A

1

B

⊥

B

1

C

.

（2）已知∠

ABB

1＝60°，

AB

＝

AC

＝2，

l

上是否存在點

P

，使

A

1

B

與

平面

ABP

所成角為30°？若存在，求

B

1

P

的長度；若不存在，請

說明理由.解：l

上不存在點

P

，使

A

1

B

與平面

ABP

所成

角為30°.理由如下：取

A

1

B

1的中點

D

，連接

AD

.

因為∠

ABB

1＝60°，所以∠

AA

1

B

1＝60°.又

AA

1＝

A

1

B

1，所以△

AA

1

B

1為等邊三角形，所以

AD

⊥

A

1

B

1.因為

A

1

B

1∥

AB

，所以

AD

⊥

AB

.

又平面

AA

1

B

1

B

⊥平面

ABC

，平面

AA

1

B

1

B

∩平面

ABC

＝

AB

，

AD

?平面

AA

1

B

1

B

，

動態(tài)問題考向1

軌跡問題

A.πB.2πC.4πD.2

π

（2）（多選）如圖，已知正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為4，

M

為

DD

1的中點，

N

為

ABCD

所在平面內一動點，則下列命題正確的是（

）A.若

MN

與平面

ABCD

所成的角為

，則點

N

的軌跡為圓B.若

MN

＝4，則

MN

的中點

P

的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.若點

N

到直線

BB

1與到直線

DC

的距離相等，則點

N

的軌跡為

拋物線D.若

D

1

N

與

AB

所成的角為

，則點

N

的軌跡為雙曲線

解題技法解決動點軌跡問題的方法（1）幾何法：根據(jù)平面的性質進行判定；（2）定義法：轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用

代替法進行計算；（3）特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行

排除.考向2

空間位置關系的判定【例4】

（多選）已知

P

，

Q

分別是正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

BB

1，

CC

1上的動點（不與頂點重合），則下列結論正確的是

（

）A.

AB

⊥

PQ

B.平面

BPQ

∥平面

ADD

1

A

1C.四面體

ABPQ

的體積為定值D.

AP

∥平面

CDD

1

C

1解析：

對于A，∵

AB

⊥

BC

，

AB

⊥

BB

1，

BC

∩

BB

1＝

B

，

BC

，

BB

1?平面

BCC

1

B

1，∴

AB

⊥平面

BCC

1

B

1，∵

PQ

?平面

BCC

1

B

1，∴

AB

⊥

PQ

，故A正確；對于B，∵平面

ADD

1

A

1∥平面

BCC

1

B

1，平面

BPQ

與平面

BCC

1

B

1重合，∴平面

BPQ

∥平面

ADD

1

A

1，故B

正確；對于C，∵

A

到平面

BPQ

的距離

AB

為定值，

Q

到

BP

的距離為

定值，

BP

的長不是定值，∴四面體

ABPQ

的體積不為定值，故C錯

誤；對于D，∵平面

ABB

1

A

1∥平面

CDD

1

C

1，

AP

?平面

ABB

1

A

1，∴

AP

∥平面

CDD

1

C

1，故D正確.解題技法解決空間位置關系的動點問題的方法（1）應用“位置關系定理”轉化；（2）建立“坐標系”計算.考向3

最值（范圍）問題【例5】

（1）已知點

M

是棱長為2的正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

AD

的中點，點

P

在平面

BCC

1

B

1所在的平面內.若平面

D

1

PM

分別與平

面

ABCD

和平面

BCC

1

B

1所成的銳二面角相等，則點

P

與點

C

1的最短

距離是（

）A.

B.

C.1D.

A.

B.

C.

D.

解題技法

立體幾何中體積、距離、角的最值（范圍）問題，常用的解題思

路是：（1）直觀判斷：判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應最大

（?。┲?；（2）函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類問題轉化為函數(shù)，從

而利用代數(shù)方法求解.

1.在四棱錐

P

-

ABCD

中，四邊形

ABCD

是邊長為2的菱形，∠

DAB

＝

60°，

PA

＝

PD

，∠

APD

＝90°，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，點

Q

是△

PBC

內（含邊界）的一個動點，且滿足

DQ

⊥

AC

，則點

Q

所形成的

軌跡的長度是

?.

解析：如圖，連接

BD

，交

AC

于點

O

，因為四邊形

ABCD

為菱形，

所以

AC

⊥

BD

.

取

PC

上一點

M

，連接

MD

，

MB

，使得

DM

⊥

AC

，

又

AC

⊥

BD

，

BD

∩

DM

＝

D

，所以

AC

⊥平面

BDM

，則點

Q

的軌

跡是線段

BM

.

2.（2024·天津六校聯(lián)考）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的

邊長都是1，且平面

ABCD

⊥平面

ABEF

，彈子

M

，

N

分別在正方形

對角線

AC

，

BF

上移動，則

MN

長度的最小值是

?.

課時跟蹤檢測關鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習

A.圓B.橢圓C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分12345678910111213141516171819202122232425262728

A.（

，1）B.

（1，＋∞）C.（0，

）D.

（0，

）∪（1，＋∞）

A.

B.

C.

D.

A.當λ＝1時，△

AB

1

P

的周長為定值B.當μ＝1時，三棱錐

P

-

A

1

BC

的體積為定值C.當λ＝

時，有且僅有一個點

P

，使得

A

1

P

⊥

BP

D.當μ＝

時，有且僅有一個點

P

，使得

A

1

B

⊥平面

AB

1

P

5.（多選）如圖，在棱長為1的正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分別為

BD

1，

B

1

C

1的中點，點

P

在正方體的表面上運動，且滿足

MP

⊥

CN

.

下列說法中正確的是（

）A.點

P

可以是棱

BB

1的中點B.線段

MP

的最大值為

C.點

P

的軌跡是正方形D.點

P

的軌跡長度為2＋

6.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷12題）下列物體中，能夠被整體放入棱

長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有

（

）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體

3π

8.在直四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面

ABCD

為正方形，

AA

1＝2

AB

＝2.點

P

在側面

BCC

1

B

1內，若

A

1

C

⊥平面

BDP

，則點

P

到

CD

的距離的最小值為

?.

9.如圖，在四棱錐

S

-

ABCD

中，已知四邊形

ABCD

為菱形，∠

BAD

＝

60°，△

SAD

為正三角形，平面

SAD

⊥平面

ABCD

.

（1）求平面

SBC

與平面

ABC

夾角的大?。唤猓喝?/p>

AD

中點

O

，連接

SO

，

BO

，因為

SA

＝

SD

，

OA

＝

OD

，所以

SO

⊥

AD

，又因為平面

SAD

⊥平面

ABCD

，平面

SAD

∩

平面

ABCD

＝

AD

，

SO

?平面

SAD

，所以

SO

⊥平面

ABCD

，因為

OB

?平面

ABCD

，所以

SO

⊥

OB

，因為

BA

＝

BD

，

OA

＝

OD

，所以

OA

⊥

OB

，所以

OA

，

OB

，

OS

兩兩垂直，以

O

為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

（2）在線段

SC

（端點

S

，

C

除外）上是否存在一點

M

，使得

AM

⊥

BD

？若存在，指出點

M

的位置；若不存在，請說明理由.

10.（2024·保定質檢）如圖①，在Rt△

ABC

中