重難專攻（十二）概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題是命制生活實(shí)踐情境類試題的最佳切入

點(diǎn)，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核

心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點(diǎn)之一，處理此類問題的關(guān)鍵是把握

概率、統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和必要的邏輯

推理.統(tǒng)計(jì)圖表與概率的綜合問題【例1】

（2022·新高考Ⅱ卷19題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨

機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分

布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的

概率；解：由于患者的年齡位于區(qū)間[20，70）是由患者的年齡位于區(qū)

間[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）

組成的，且相互獨(dú)立，所以所求概率

P

＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間

[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，

若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率

（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡

位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

解題技法統(tǒng)計(jì)圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計(jì)圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)原理即用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的思想，結(jié)合樣本中

各統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型（函數(shù)模型、不等式模型、

二項(xiàng)分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進(jìn)行運(yùn)算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而

用此數(shù)據(jù)估計(jì)總體或作出科學(xué)的決策與判斷.

（2024·六盤水第一次?？迹┙?jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售

季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損

300元.根據(jù)以往資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方

圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以

X

（單位：t，100≤

X

≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，

T

（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將

T

表示為

X

的函數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)利潤

T

不少于57000元的概率；解：由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)120≤

X

≤150時(shí)利潤

T

不少于57000元.由頻率分布直方圖知需求量

X

∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)

銷售季度內(nèi)的利潤

T

不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.（3）在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表

該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間

中點(diǎn)值的概率（例如：若需求量

X

∈[100，110），則取

X

＝

105，且

X

＝105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率），

求

T

的均值.所以

E

（

T

）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65

000×0.4＝59400.解：依題意可得

T

的分布列為

T

45000530006100065000

P

0.10.20.30.4回歸分析與概率的綜合問題【例2】

（2024·煙臺一模）當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游

戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，

適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時(shí)收集

了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡

x

123456平均過關(guān)時(shí)間

y

（單位：秒）5078124121137352

（1）若用模型

y

＝

a

e

bx

擬合

y

與

x

的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出

y

與

x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

X

57912

P

?

?

?

?

解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點(diǎn)為：同一生活實(shí)踐情境下設(shè)計(jì)兩類問題，即：

①求經(jīng)驗(yàn)回歸方程（預(yù)測）；②求某隨機(jī)變量的概率（范

圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）做出判斷，確

定是線性問題還是非線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合

理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.

近年來，我國大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺優(yōu)

惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該

市其中四所大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千

人），得到下表：

A

大學(xué)

B

大學(xué)

C

大學(xué)

D

大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5

（2）假設(shè)該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.①若該市

E

大學(xué)2023年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論

估計(jì)該市政府要給

E

大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼

的總金額；

獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問題【例3】

（2023·全國甲卷19題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)

方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20

只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的

小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.（1）設(shè)

X

表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求

X

的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

X

012

P

?

?

?

（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.80

9.20

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

m

，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于

m

與不小于

m

的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜

m

≥

m

對照組試驗(yàn)組

P

（

K

2≥

k

）0.1000.0500.010

k

2.7063.8416.635.

＜

m

≥

m

對照組614試驗(yàn)組146

解題技法獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率綜合問題的解題思路

本類題目以生活題材為背景，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)及概率問題的綜

合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2

的值后進(jìn)行比較，其次再按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.

（1）若本次調(diào)查得出“依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為

所患疾病類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少

有多少人；解：設(shè)男性患者有

x

人，則女性患者有2

x

人，由題意得

2×2列聯(lián)表如下：性別所患疾病類型合計(jì)

A

型疾病

B

型疾病男性?

?

x

女性?

?

2

x

合計(jì)?

?

3

x

課時(shí)跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，

在某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；12345678910111213141516171819202122232425262728

（2）從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的

次數(shù)之差的絕對值為

X

，求

X

的分布列與數(shù)學(xué)期望.

X

0123

P

?

?

?

?

2.為加快經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級，加大技術(shù)研發(fā)力度，某市建立了高新科技研

發(fā)園區(qū)，并力邀某高校入駐該園區(qū).為了解教職工意愿，該高校在其

所屬的8個(gè)學(xué)院的教職工中作了“是否愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)

園區(qū)”的問卷調(diào)查，8個(gè)學(xué)院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：調(diào)查人數(shù)/x1020304050607080愿意整體搬遷人數(shù)/y817253139475566

（2）若該校的8位院長中有5位院長愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園

區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機(jī)選取4位院長組成考察團(tuán)赴

研發(fā)園區(qū)進(jìn)行實(shí)地考察，記

X

為考察團(tuán)中愿意將學(xué)校整體搬

遷至研發(fā)園區(qū)的院長人數(shù)，求

X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

X

1234

P

?

?

?

?

3.某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取

不放回地簡單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所

得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：數(shù)學(xué)成績語文成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200（1）根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語

文成績有關(guān)聯(lián)？

（3）現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的樣本中，按分層隨機(jī)抽樣的方法選出8人

組成一個(gè)小組，從抽取的8人中再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競

賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)

X

的概率分布列及數(shù)學(xué)

期望.

α0.0500.0100.001

x

α3.8416.63510.828

X

0123

P

?

?

?

?

4.某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的

資料顯示，該地周光照量

X

（小時(shí)）都在30小時(shí)以上，其中不足50

小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的有35周，超過70小

時(shí)的有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量

y

（千克）與使用某

種液體肥料的質(zhì)量

x

（千克）之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合

y

與

x

的關(guān)系？請計(jì)

算樣本相關(guān)系數(shù)

r

并加以說明（精確到0.01）；（若｜

r

｜＞

0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）

（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供

了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量

X

限制，并有如下關(guān)系：周光照量X/小時(shí)30＜

X

＜5050≤

X

≤70

X

＞70光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)321

解：記商家周總利潤為

Y

元，由條

件可知至少需安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀.①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元.②安裝2臺光照控制儀的情形：

Y

20006000

P

0.20.8

Y

100050009000

P

0.20.70.1所以

E

（

Y

）＝1000×0.2＋5000×0.7＋9000×0.1＝4600（元）.綜上可知，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.5.某病毒主要是在人與人之間進(jìn)行傳播，可以通過飛沫、糞便、接觸

等進(jìn)行傳染，感染人群主要是年齡在40歲以上的群體.該病毒進(jìn)入人

體后有潛伏期（潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的

這段時(shí)期），潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對200個(gè)病

例的潛伏期

Z

（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期的中位數(shù)為

5，平均數(shù)為7.1，方差為5.06.一般認(rèn)為超過8天的潛伏期就屬于“長

潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本病例人數(shù)，如下表所示：長潛伏期非長潛伏期40歲以上3011040歲及40歲以下2040（1）依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“長潛伏期”

與年齡有關(guān)？

①為有效防止該病毒的傳播，很多省份對入境人員一律要求

隔離14天，請用概率和統(tǒng)計(jì)的知識解釋其合理性；②將頻率近似當(dāng)作概率，設(shè)從這200個(gè)病例中另隨機(jī)抽取的25

個(gè)病例中屬于“長潛伏期”的病例個(gè)數(shù)是

X

，