高一數(shù)學(xué)必修一期中模擬試題解析引言高一數(shù)學(xué)必修一以集合與常用邏輯用語（基礎(chǔ)工具）、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)（核心主線）、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（具體函數(shù)模型）為核心內(nèi)容，期中考試主要考查這些模塊的基礎(chǔ)應(yīng)用與邏輯推理能力。本文結(jié)合模擬試題，分模塊解析典型題型、易錯點及復(fù)習(xí)策略，幫助學(xué)生梳理思路、提升解題能力。一、集合與常用邏輯用語集合是數(shù)學(xué)的“語言工具”，常用邏輯用語是“推理規(guī)則”，兩者均為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。（一）題型1：集合的運算題目：設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x\mid2x-3>0\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((\frac{3}{2},2)\)C.\((1,2)\)D.\((2,+\infty)\)解析：1.化簡集合：集合\(A\)：解不等式\(x^2-3x+2<0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)<0\)，故\(A=(1,2)\)；集合\(B\)：解不等式\(2x-3>0\)，得\(B=(\frac{3}{2},+\infty)\)。2.求交集：\(A\capB\)為兩區(qū)間的公共部分，即\((\frac{3}{2},2)\)。答案：B方法總結(jié)：解集合運算題的關(guān)鍵是先化簡集合（解不等式/方程），再用數(shù)軸法求交集、并集或補集，注意區(qū)間端點的包含性。（二）題型2：充分必要條件題目：“\(x>1\)”是“\(x^2>1\)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：充分性：若\(x>1\)，則\(x^2>1\)（正數(shù)平方遞增），充分性成立；必要性：若\(x^2>1\)，則\(x>1\)或\(x<-1\)（如\(x=-2\)時，\(x^2=4>1\)但\(x<1\)），必要性不成立。答案：A方法總結(jié)：判斷充分必要條件的兩種方法：1.定義法：先判斷“\(p\Rightarrowq\)”（充分性），再判斷“\(q\Rightarrowp\)”（必要性）；2.集合法：若\(p\)對應(yīng)集合\(P\)，\(q\)對應(yīng)集合\(Q\)，則\(P\subsetQ\)時\(p\)是\(q\)的充分不必要條件，\(Q\subsetP\)時\(p\)是\(q\)的必要不充分條件。二、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是必修一的核心，重點考查定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。（一）題型1：函數(shù)的定義域題目：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{2-x}\)的定義域是（）A.\([1,2)\)B.\((1,2)\)C.\([1,2]\)D.\((1,2]\)解析：函數(shù)定義域需滿足：1.根號內(nèi)非負(fù)：\(x-1\geq0\)，即\(x\geq1\)；2.分母不為零：\(2-x\neq0\)，即\(x\neq2\)。故定義域為\([1,2)\)。答案：A方法總結(jié)：求函數(shù)定義域的常見限制條件：根號：被開方數(shù)\(\geq0\)；分母：分母\(\neq0\)；對數(shù)：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(\neq1\)；正切：\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。（二）題型2：函數(shù)的單調(diào)性（解答題）題目：證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,1)\)上單調(diào)遞減。解析：用定義法證明單調(diào)性，步驟如下：1.設(shè)變量：任取\(0<x_1<x_2<1\)；2.作差：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2+\frac{1}{x_2})-(x_1+\frac{1}{x_1})=(x_2-x_1)+(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1})\)；3.變形：通分后得\((x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1x_2})\)；4.定號：\(0<x_1<x_2<1\)，故\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2<1\)，則\(1-\frac{1}{x_1x_2}<0\)；5.結(jié)論：\(f(x_2)-f(x_1)<0\)，即\(f(x)\)在\((0,1)\)上單調(diào)遞減。方法總結(jié)：定義法證明單調(diào)性的核心是“作差→變形→定號”，變形的目的是將差式轉(zhuǎn)化為易判斷符號的形式（如因式分解、通分）。（三）題型3：函數(shù)的奇偶性題目：函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：1.定義域：\(f(x)\)的定義域為\(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點對稱；2.計算\(f(-x)\)：\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-(x^3+\sinx)=-f(x)\)。故\(f(x)\)是奇函數(shù)。答案：A方法總結(jié)：判斷奇偶性的步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若不對稱，直接判定為非奇非偶函數(shù)）；2.計算\(f(-x)\)，若\(f(-x)=f(x)\)則為偶函數(shù)，若\(f(-x)=-f(x)\)則為奇函數(shù)。三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是重要的函數(shù)模型，考查圖像、性質(zhì)、運算等。（一）題型1：指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的大小比較題目：比較\(0.8^{0.5}\)與\(0.9^{0.5}\)的大小，正確的是（）A.\(0.8^{0.5}>0.9^{0.5}\)B.\(0.8^{0.5}<0.9^{0.5}\)C.相等D.無法確定解析：兩者均為冪函數(shù)\(y=x^{0.5}\)（\(x\geq0\)），冪函數(shù)的單調(diào)性由指數(shù)決定：當(dāng)指數(shù)\(a>0\)時，\(y=x^a\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；因\(0.8<0.9\)，故\(0.8^{0.5}<0.9^{0.5}\)。答案：B方法總結(jié)：冪值大小比較的方法：指數(shù)相同（冪函數(shù)）：根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性判斷；底數(shù)相同（指數(shù)函數(shù)）：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷；底數(shù)與指數(shù)均不同：找中間量（如1）比較（如\(0.8^{0.5}<1<0.9^{2}\)）。（二）題型2：對數(shù)函數(shù)的運算題目：計算\(\log_28+\log_2\frac{1}{2}=(\quad)\)A.1B.2C.3D.4解析：根據(jù)對數(shù)加法法則：\(\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)\)，得：\(\log_28+\log_2\frac{1}{2}=\log_2(8\times\frac{1}{2})=\log_24=2\)。答案：B方法總結(jié)：對數(shù)運算的核心是利用運算性質(zhì)化簡，常見性質(zhì)：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)；\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)；\(\log_aM^n=n\log_aM\)；換底公式：\(\log_bM=\frac{\log_aM}{\log_ab}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。（三）題型3：復(fù)合函數(shù)的值域（解答題）題目：求函數(shù)\(f(x)=\log_2(x^2-2x+3)\)的值域。解析：復(fù)合函數(shù)\(f(x)\)由內(nèi)層函數(shù)\(t=x^2-2x+3\)和外層函數(shù)\(y=\log_2t\)組成，求值域的步驟：1.求內(nèi)層函數(shù)\(t\)的值域：\(t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，因\((x-1)^2\geq0\)，故\(t\geq2\)；2.求外層函數(shù)\(y=\log_2t\)的值域：\(y=\log_2t\)在\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，故當(dāng)\(t=2\)時，\(y\)取最小值\(\log_22=1\)；當(dāng)\(t\to+\infty\)時，\(y\to+\infty\)。因此，\(f(x)\)的值域為\([1,+\infty)\)。方法總結(jié)：復(fù)合函數(shù)值域的求法：分解復(fù)合函數(shù)為“內(nèi)層函數(shù)+外層函數(shù)”；求內(nèi)層函數(shù)的值域（作為外層函數(shù)的定義域）；根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性求值域。四、易錯點分析（一）易錯點1：集合中的空集問題題目：設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-2x+a=0\}\)，\(B=\{1,2\}\)，若\(A\subseteqB\)，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。常見錯誤：忽略\(A=\emptyset\)的情況，直接認(rèn)為\(A=\{1\}\)或\(A=\{2\}\)，解得\(a=1\)或\(a=0\)，導(dǎo)致答案不完整。正確解析：\(A\subseteqB\)包含以下情況：1.\(A=\emptyset\)：方程無實根，判別式\(\Delta=4-4a<0\)，解得\(a>1\)；2.\(A=\{1\}\)：代入得\(1-2+a=0\)，\(a=1\)，此時方程解為\(x=1\)，符合；3.\(A=\{2\}\)：代入得\(4-4+a=0\)，\(a=0\)，此時方程解為\(x=0\)和\(x=2\)，\(A=\{0,2\}\)，不符合；4.\(A=\{1,2\}\)：韋達(dá)定理得\(1+2=2\)（矛盾），無解。綜上，\(a\)的取值范圍是\(a\geq1\)。避免方法：遇到集合包含關(guān)系（如\(A\subseteqB\)）時，必須考慮\(A=\emptyset\)的情況（空集是任何集合的子集）。（二）易錯點2：函數(shù)定義域的隱含條件題目：求函數(shù)\(f(x)=\log_{x-1}(2x-3)\)的定義域。常見錯誤：忽略對數(shù)底數(shù)的限制，僅解\(2x-3>0\)，得\(x>\frac{3}{2}\)，導(dǎo)致答案錯誤。正確解析：對數(shù)函數(shù)\(\log_bM\)的定義域需滿足：1.底數(shù)\(b>0\)且\(b\neq1\)：\(x-1>0\)且\(x-1\neq1\)，即\(x>1\)且\(x\neq2\)；2.真數(shù)\(M>0\)：\(2x-3>0\)，即\(x>\frac{3}{2}\)。故定義域為\((\frac{3}{2},2)\cup(2,+\infty)\)。避免方法：求定義域時，逐一列出所有限制條件（如對數(shù)的底數(shù)、真數(shù)，分母，根號等），解不等式組。五、復(fù)習(xí)建議1.夯實基礎(chǔ)：重點掌握集合的運算、函數(shù)的概念與性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性）、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，這些是期中考試的核心內(nèi)容。2.多做典型題：選擇教材中的例題、習(xí)題及模擬題，重點練習(xí)集合運算、函數(shù)單調(diào)性證明、復(fù)合函數(shù)值域等題型，熟悉