一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)模板**一、教學(xué)基本信息**課題：一元二次方程（第1課時(shí)：定義與解法；第2課時(shí)：應(yīng)用與拓展）年級(jí)：九年級(jí)（上）課時(shí)：2課時(shí)（每課時(shí)45分鐘）教材：人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第二十二章第一節(jié)**二、教學(xué)目標(biāo)**1.知識(shí)與技能目標(biāo)（1）理解一元二次方程的定義及一般形式，能準(zhǔn)確識(shí)別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；（2）掌握一元二次方程的三種解法（配方法、公式法、因式分解法），能根據(jù)方程特征選擇簡(jiǎn)便解法；（3）理解判別式（\(\Delta=b^2-4ac\)）的意義，能運(yùn)用判別式判斷方程根的情況。2.過(guò)程與方法目標(biāo)（1）通過(guò)“實(shí)際問(wèn)題→列方程→觀察特征→定義建構(gòu)”的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想；（2）通過(guò)配方法推導(dǎo)求根公式，培養(yǎng)邏輯推理能力；（3）通過(guò)解法探究，提升分類討論與優(yōu)化選擇的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)（1）感受一元二次方程與實(shí)際生活的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；（2）在探究解法的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。**三、教學(xué)重難點(diǎn)**重點(diǎn)：一元二次方程的定義、一般形式及解法（配方法、公式法、因式分解法）；難點(diǎn)：配方法的技巧掌握、實(shí)際問(wèn)題的建模過(guò)程。**四、教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)**1.教學(xué)方法情境導(dǎo)入法：以實(shí)際問(wèn)題為載體，引出一元二次方程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活；探究式教學(xué)法：通過(guò)小組合作探究配方法、公式法的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；講練結(jié)合法：通過(guò)例題講解與針對(duì)性練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)，提升應(yīng)用能力。2.學(xué)法指導(dǎo)自主探究：通過(guò)觀察、分析實(shí)際問(wèn)題，自主建構(gòu)一元二次方程的定義；合作學(xué)習(xí)：小組合作推導(dǎo)求根公式、探究解法選擇，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力；反思總結(jié)：通過(guò)課堂總結(jié)與作業(yè)反饋，梳理知識(shí)體系，提升元認(rèn)知能力。**五、教學(xué)準(zhǔn)備**教具：多媒體課件、白板、直尺；學(xué)具：練習(xí)本、鋼筆。**六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)****★第1課時(shí)：一元二次方程的定義與解法****▌環(huán)節(jié)1：情境導(dǎo)入，引出概念（5分鐘）**活動(dòng)設(shè)計(jì)：展示2個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生列方程：1.校園綠化問(wèn)題：長(zhǎng)方形花壇長(zhǎng)比寬多2米，面積15平方米，求長(zhǎng)和寬（設(shè)寬為\(x\)，列方程\(x(x+2)=15\)，整理得\(x^2+2x-15=0\)）；2.增長(zhǎng)率問(wèn)題：某公司去年利潤(rùn)100萬(wàn)元，今年增長(zhǎng)\(x\)，利潤(rùn)121萬(wàn)元（列方程\(100(1+x)^2=121\)，整理得\(100x^2+200x-21=0\)）。教師引導(dǎo)：“觀察這兩個(gè)方程，它們有什么共同特征？”（學(xué)生討論后總結(jié)）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出方程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，自然過(guò)渡到概念學(xué)習(xí)。**▌環(huán)節(jié)2：概念建構(gòu)，深化理解（10分鐘）**活動(dòng)1：定義歸納教師總結(jié)學(xué)生的討論結(jié)果，給出一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。強(qiáng)調(diào)定義的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：①單未知數(shù)；②最高次2；③整式方程?；顒?dòng)2：一般形式引導(dǎo)學(xué)生將上述方程整理為一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）；定義二次項(xiàng)系數(shù)（\(a\)）、一次項(xiàng)系數(shù)（\(b\)）、常數(shù)項(xiàng)（\(c\)），強(qiáng)調(diào)\(a\neq0\)的原因（若\(a=0\)，則方程退化為一元一次方程）。活動(dòng)3：概念辨析給出下列方程，讓學(xué)生判斷是否為一元二次方程，并說(shuō)明理由：1.\(3x^2+2x=1\)（是，整理后為\(3x^2+2x-1=0\)）；2.\(x^2+3=0\)（是）；3.\(2x+1=0\)（否，次數(shù)為1）；4.\(x^3+x^2=0\)（否，次數(shù)為3）；5.\((x+1)(x-1)=x^2+2x\)（否，整理后為\(-2x-1=0\)，次數(shù)為1）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)辨析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)定義的理解，避免概念混淆。**▌環(huán)節(jié)3：解法探究，突破重點(diǎn)（25分鐘）**活動(dòng)1：配方法（10分鐘）引入：回顧完全平方公式（\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)），引導(dǎo)學(xué)生思考如何將方程\(x^2+6x-7=0\)轉(zhuǎn)化為完全平方形式。步驟演示：①移項(xiàng)：\(x^2+6x=7\)；②配方：兩邊加\((6/2)^2=9\)，得\(x^2+6x+9=7+9\)；③開(kāi)平方：\((x+3)^2=16\)，得\(x+3=±4\)；④求解：\(x=1\)或\(x=-7\)。總結(jié)步驟：移項(xiàng)→配方→開(kāi)平方→求解；注意事項(xiàng)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，需先除以二次項(xiàng)系數(shù)（如\(2x^2+4x-6=0\)，先化為\(x^2+2x-3=0\)）。活動(dòng)2：公式法（10分鐘）推導(dǎo)求根公式：對(duì)一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），通過(guò)配方法推導(dǎo)得：\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(\Delta=b^2-4ac≥0\)）；強(qiáng)調(diào)判別式：\(\Delta\)決定根的情況：①\(\Delta>0\)：兩個(gè)不相等實(shí)根；②\(\Delta=0\)：兩個(gè)相等實(shí)根；③\(\Delta<0\)：無(wú)實(shí)根；例題應(yīng)用：解方程\(3x^2-4x-1=0\)（計(jì)算\(\Delta=(-4)^2-4×3×(-1)=28>0\)，代入公式得\(x=\frac{4±2\sqrt{7}}{6}=\frac{2±\sqrt{7}}{3}\)）?；顒?dòng)3：因式分解法（5分鐘）引入：當(dāng)方程左邊能分解為兩個(gè)一次因式乘積時(shí)，用因式分解法更簡(jiǎn)便（如\(x^2-5x+6=0\)，分解為\((x-2)(x-3)=0\)，得\(x=2\)或\(x=3\)）；步驟總結(jié)：右邊化為0→分解因式→令每個(gè)因式為0→求解；適用場(chǎng)景：常數(shù)項(xiàng)易于分解，一次項(xiàng)系數(shù)等于分解后兩數(shù)之和（如\(x^2-4=0\)，分解為\((x-2)(x+2)=0\)）。**▌環(huán)節(jié)4：練習(xí)鞏固，強(qiáng)化技能（8分鐘）**基礎(chǔ)練習(xí)：1.解方程（選方法）：①\(x^2-2x-3=0\)（因式分解法：\((x-3)(x+1)=0\)，解為\(x=3\)或\(x=-1\)）；②\(2x^2+4x=0\)（因式分解法：\(2x(x+2)=0\)，解為\(x=0\)或\(x=-2\)）；③\(x^2+4x+2=0\)（配方法：\((x+2)^2=2\)，解為\(x=-2±\sqrt{2}\)）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握三種解法，并能根據(jù)方程特征選擇最優(yōu)方法。**▌環(huán)節(jié)5：總結(jié)提升，梳理體系（2分鐘）**教師引導(dǎo)：“本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？”（學(xué)生總結(jié)）一元二次方程的定義與一般形式；三種解法（配方法、公式法、因式分解法）及適用場(chǎng)景；判別式的意義。設(shè)計(jì)意圖：梳理知識(shí)體系，強(qiáng)化記憶。**★第2課時(shí)：一元二次方程的應(yīng)用****▌環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)導(dǎo)入，銜接新知（3分鐘）**問(wèn)題回顧：1.一元二次方程的一般形式是什么？（\(ax^2+bx+c=0\)，\(a≠0\)）；2.求根公式是什么？（\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)）；3.判別式的作用是什么？（判斷根的情況）。設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)舊知，為應(yīng)用環(huán)節(jié)做鋪墊。**▌環(huán)節(jié)2：實(shí)際應(yīng)用，建模探究（30分鐘）**活動(dòng)1：面積問(wèn)題（10分鐘）問(wèn)題：用長(zhǎng)20米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，其中一邊靠墻，求菜園面積為24平方米時(shí)的邊長(zhǎng)（設(shè)與墻垂直的邊長(zhǎng)為\(x\)，則與墻平行的邊長(zhǎng)為\(20-2x\)，列方程\(x(20-2x)=24\)，整理得\(2x^2-20x+24=0\)，即\(x^2-10x+12=0\)，解得\(x=5±\sqrt{13}\)，取正數(shù)解）。引導(dǎo)：如何找等量關(guān)系？（面積=長(zhǎng)×寬）；注意：實(shí)際問(wèn)題中需檢驗(yàn)解的合理性（如邊長(zhǎng)為正）。活動(dòng)2：增長(zhǎng)率問(wèn)題（10分鐘）問(wèn)題：某城市2020年人口為100萬(wàn)，2022年人口為121萬(wàn)，求年平均增長(zhǎng)率（設(shè)增長(zhǎng)率為\(x\)，列方程\(100(1+x)^2=121\)，解得\(x=0.1\)或\(x=-2.1\)，取\(x=10\%\)）。公式總結(jié)：增長(zhǎng)率問(wèn)題公式為\(a(1+x)^n=b\)（\(a\)為初始量，\(b\)為最終量，\(n\)為增長(zhǎng)次數(shù)）。活動(dòng)3：利潤(rùn)問(wèn)題（10分鐘）問(wèn)題：某商品成本50元，售價(jià)60元，每天賣100件。售價(jià)每漲1元，銷量減10件，求利潤(rùn)為1200元時(shí)的售價(jià)（設(shè)漲\(x\)元，利潤(rùn)\(y=(60+x-50)(____x)=(10+x)(____x)\)，整理得\(y=-10x^2+0x+1000\)，令\(y=1200\)，得\(-10x^2+1000=1200\)，即\(x^2=-20\)，\(\Delta<0\)，無(wú)實(shí)解，說(shuō)明利潤(rùn)無(wú)法達(dá)到1200元）。引導(dǎo)：如何建立利潤(rùn)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系？（利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量）；拓展：通過(guò)判別式判斷實(shí)際問(wèn)題是否有解（如上述問(wèn)題中\(zhòng)(\Delta<0\)，說(shuō)明利潤(rùn)無(wú)法達(dá)到1200元）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同類型的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，體會(huì)一元二次方程的應(yīng)用價(jià)值。**▌環(huán)節(jié)3：練習(xí)鞏固，提升能力（10分鐘）**應(yīng)用練習(xí)：1.面積問(wèn)題：用一塊長(zhǎng)80cm、寬60cm的長(zhǎng)方形鐵皮，在四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為\(x\)cm的正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，求盒子體積為_(kāi)___cm3時(shí)的\(x\)值（列方程\((80-2x)(60-2x)x=____\)，整理得\(4x^3-280x^2+4800x-____=0\)，簡(jiǎn)化為\(x^3-70x^2+1200x-3750=0\)，通過(guò)試根法得\(x=5\)或\(x=25\)或\(x=40\)，檢驗(yàn)得\(x=5\)或\(x=25\)）；2.增長(zhǎng)率問(wèn)題：某企業(yè)2021年銷售額為500萬(wàn)元，2023年銷售額為605萬(wàn)元，求年平均增長(zhǎng)率（列方程\(500(1+x)^2=605\)，解得\(x=0.1\)或\(x=-2.1\)，取\(x=10\%\)）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的建模能力，提升應(yīng)用意識(shí)。**▌環(huán)節(jié)4：總結(jié)反思，拓展延伸（2分鐘）**教師引導(dǎo)：“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？”（學(xué)生總結(jié)）如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程；實(shí)際問(wèn)題中解的合理性檢驗(yàn)；判別式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用（判斷是否有解）。拓展問(wèn)題：“如果利潤(rùn)問(wèn)題中，利潤(rùn)為1000元時(shí)，方程有解嗎？”（令\(y=1000\)，得\(-10x^2+1000=1000\)，即\(x^2=0\)，\(\Delta=0\)，有一個(gè)實(shí)根\(x=0\)，說(shuō)明售價(jià)不漲時(shí)利潤(rùn)為1000元）。設(shè)計(jì)意圖：拓展學(xué)生思維，加深對(duì)判別式的理解。**▌環(huán)節(jié)5：作業(yè)布置，分層落實(shí)（2分鐘）**基礎(chǔ)層：課本習(xí)題（解方程、判斷一元二次方程）；提高層：實(shí)際問(wèn)題（面積、增長(zhǎng)率各1題）；拓展層：探究判別式與根的關(guān)系（用具體例子驗(yàn)證\(\Delta>0\)、\(\Delta=0\)、\(\Delta<0\)時(shí)的根的情況）。**七、板書設(shè)計(jì)**一元二次方程定義：?jiǎn)挝粗獢?shù)、最高次2、整式方程；一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）；解法：1.配方法：移項(xiàng)→配方→開(kāi)平方→求解；2.公式法：\(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(\Delta≥0\)）；3.因式分解法：分解因式→令因式為0→求解；判別式：\(\Delta=b^2-4ac\)；\(\Delta>0\)：兩不等實(shí)根；\(\Delta=0\)：兩相等實(shí)根；\(\Delta<0\)：無(wú)實(shí)根；應(yīng)用：面積、增長(zhǎng)率、利潤(rùn)問(wèn)題（建?！夥匠獭鷻z驗(yàn)）。**八、教學(xué)反思**1.預(yù)設(shè)與生成成功之處：通過(guò)情境導(dǎo)入，學(xué)生對(duì)一元二次方程的定義理解深刻；解法探究環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)掌握了配方法與公式法的步驟；應(yīng)用