1．關(guān)于抽樣方法(1)用隨機數(shù)法抽樣時，對個體所編號碼位數(shù)要相同，當問題所給位數(shù)不同時，以位數(shù)較多的為準，在位數(shù)較少的數(shù)前面添“0”，湊齊位數(shù)．(2)用系統(tǒng)抽樣法時，如果總體容量N能被樣本容量n整除，抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)；如果總體容量N不能被樣本容量n整除，先用簡單隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為k＝eq\f(K,n)(其中K＝N－多余個體數(shù))．(3)三種抽樣方法的異同點類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分中抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2.關(guān)于用樣本估計總體(1)用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定的一組數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理，作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意其方法步驟．(2)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，便于記錄和表示．(3)平均數(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標準差反映了樣本數(shù)據(jù)的波動程度．3．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系——相關(guān)關(guān)系，對于一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解，主要是作出散點圖，寫出回歸方程．(2)求回歸方程的步驟：①先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；②計算回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)；))③寫出回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).題型一抽樣方法的運用1．抽樣方法有：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣．2．三種抽樣方法比較例1(1)某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級有30名，高二年級有40名，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為()A．6 B．8C．10 D．12(2)問題：①某小區(qū)有800戶家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入家庭480戶，低收入家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車購買力的某個指標，要從中抽取一個容量為100的樣本；②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會．方法：(1)簡單隨機抽樣；(2)系統(tǒng)抽樣；(3)分層抽樣．則問題與方法配對正確的是()A．①(1)，②(2) B．①(3)，②(2)C．①(2)，②(3) D．①(3)，②(1)答案(1)B(2)D解析(1)分層抽樣的原理是按照各部分所占的比例抽取樣本．設(shè)從高二年級抽取的學(xué)生數(shù)為n，則eq\f(30,40)＝eq\f(6,n)，得n＝8.(2)問題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層抽樣方法；問題②中總體的個數(shù)較少，故可采用簡單隨機抽樣．故匹配正確的是D.跟蹤訓(xùn)練1某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14答案B解析抽樣間隔為eq\f(840,42)＝20.設(shè)在1,2，…，20中抽取號碼x0(x0∈[1,20])．在[481,720]之間抽取的號碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N＋.所以24eq\f(1,20)≤k＋eq\f(x0,20)≤36.因為eq\f(x0,20)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，1))，所以k＝24,25,26，…，35，所以k的值共有35－24＋1＝12(個)，即所求人數(shù)為12.題型二用樣本的頻率分布估計總體分布此類問題通常要對樣本數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理．這類問題采取的圖表主要有：條形圖、直方圖、莖葉圖、頻率折線圖、扇形圖等．它們的主要優(yōu)點是直觀，能夠清楚表示總體的分布走勢．除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點是原始數(shù)據(jù)信息有丟失．例2如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學(xué)生人數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50答案C解析前3組的頻率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小組的頻率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，設(shè)樣本容量為n，則eq\f(10,n)＝0.25，則n＝40.故選C.跟蹤訓(xùn)練2有1個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5]，8.(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比．解(1)樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率累積頻率[12.5,15.5)60.060.06[15.5,18.5)160.160.22[18.5,21.5)180.180.40[21.5,24.5)220.220.62[24.5,27.5)200.200.82[27.5,30.5)100.100.92[30.5,33.5]80.081.00合計1001.00(2)頻率分布直方圖如圖．(3)小于30的數(shù)據(jù)約占90%.題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標準差等數(shù)字特征對總體相應(yīng)的數(shù)字特征作出估計．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，處于中間位置的數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，中間兩個的數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\x\to(x)表示；標準差是反映樣本數(shù)據(jù)離散程度大小的最常用統(tǒng)計量，其計算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).有時也用標準差的平方(s2－方差)來代表標準差．例3(1)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(單位：分)()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92(2)從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100人成績的標準差為()分數(shù)54321人數(shù)2010303010A.3 B.eq\f(2\r(10),5)C．3 D.eq\f(8,5)答案(1)A(2)B解析(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96(單位：分)．故平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5(分)，中位數(shù)為eq\f(91＋92,2)＝91.5(分)．故選A.(2)∵eq\x\to(x)＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)?s＝eq\f(2\r(10),5).跟蹤訓(xùn)練3為調(diào)查甲、乙兩校高三年級學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成績(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖．(1)若甲校高三年級每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，估計eq\x\to(x)1－eq\x\to(x)2的值．解(1)設(shè)甲校高三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意，知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)為5，據(jù)此估計甲校高三年級這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\x\to(x′1)，eq\x\to(x′2).根據(jù)樣本莖葉圖知，30(eq\x\to(x′1)－eq\x\to(x′2))＝30eq\x\to(x′1)－30eq\x\to(x′2)＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\x\to(x′1)－eq\x\to(x′2)＝0.5，所以eq\x\to(x1)－eq\x\to(x2)的估計值為0.5分．題型四變量間的相關(guān)關(guān)系1．分析兩個變量間的相關(guān)關(guān)系時，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出回歸方程．把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標系中作出，構(gòu)成的圖叫做散點圖．從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系．如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線稱為回歸直線，直線方程稱為回歸方程．2．回歸方程的應(yīng)用利用回歸方程可以對總體進行預(yù)測，雖然得到的結(jié)果不是準確值，但我們是根據(jù)統(tǒng)計規(guī)律得到的，因而所得結(jié)果的正確率是最大的，所以可以大膽地利用回歸方程進行預(yù)測．例4某地連續(xù)十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20062008201020122014需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2016年的糧食需求量．解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸方程．為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2010－4－2024需求量－257－21－1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29,－42＋－22＋22＋42)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.2.由上述計算結(jié)果，知所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝eq\o(b,\s\up6(^))(x－2010)＋eq\o(a,\s\up6(^))＝6.5(x－2010)＋3.2.即eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5(x－2010)＋260.2.①(2)利用直線方程①，可預(yù)測2016年的糧食需求量為6．5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸)≈299(萬噸)．跟蹤訓(xùn)練4理論預(yù)測某城市2020到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示：年份202x(年)01234人口數(shù)y(十萬)5781119(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)指出x與y是否線性相關(guān)；(3)若x與y線性相關(guān)，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝beq\o(x,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))；(4)據(jù)此估計2025年該城市人口總數(shù)．(參數(shù)數(shù)據(jù)：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)解(1)數(shù)據(jù)的散點圖如圖：(2)由散點圖可知，樣本點基本上分布在一條直線附近，故x與y呈線性相關(guān)．(3)由表知eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝3.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.6，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x＋3.6.(4)當x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝19.6(十萬)＝196萬．故2025年該城市人口總數(shù)約為196萬．題型五數(shù)形結(jié)合思想名稱數(shù)形結(jié)合頻率分布直方圖數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8①可求眾數(shù)：最高小長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)；②可求中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等；③可求平均數(shù)：每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和；④可求落在各個區(qū)域內(nèi)的頻率莖葉圖甲的數(shù)據(jù)：95,81,75,89,71,65,76,88,94；乙的數(shù)據(jù)：83,86,93,99,88,103,98,114,98①莖是十位和百位數(shù)字，葉是個位數(shù)字；②可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布；③可用來求數(shù)據(jù)的一些數(shù)字特征，如中位數(shù)、眾數(shù)等散點圖n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)可以判斷兩個變量之間有無相關(guān)關(guān)系例5甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(單位：環(huán))如下圖所示．(1)填寫下表：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.21乙5.43(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析：①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成績好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成績好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢分析誰更有潛力．解(1)乙的射靶環(huán)數(shù)依次為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋