第六章

計數(shù)原理人教A版選擇性必修第三冊6.2.3組合與組合數(shù)（第一課時）學習目標(1)能通過對共性實際問題的抽象歸納概括出組合的定義,并能夠用定義判斷是不是組合問題.(2)能類比排列數(shù)的學習過程,在組合概念的基礎上給出組合數(shù)的定義和表示,能區(qū)分組合與組合數(shù).(3)能利用組合與排列的關系推導出組合數(shù)公式,并能用于解決簡單的組合問題.環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，引出問題情境1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的活動，其中1名參加上午的活動，1名參加下午的活動，有多少種不同的選法？情境2：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？列舉：甲乙、甲丙、乙丙，共有3種.

【問題1】這兩個問題有什么異同點？相同點：都是從3個不同的元素中取出2個不同點：問題1要考慮順序,問題2不要考慮順序與元素順序有關稱為：排列問題與元素順序無關稱為什么問題呢？組合問題環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．1.組合定義:注：(1)組合的特點：組合要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.例：AB和BA是相同的組合(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．例1

判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個,組成一個集合，這樣的集合有多少個？(3)10支球隊進行單循環(huán)賽(每兩隊比賽一次),共需進行多少場次的比賽？(4)10支球隊進行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？排列問題組合問題組合問題排列問題環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念n個不同元素m個元素m個元素的全排列第一步組合第二步排列構造排列可以分成兩步完成，先取后排，組合是排列中的第一個步驟.因此組合只是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念【問題2】你能比較組合與排列的概念，說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎？排列組合相同點不同點完成這件事情共分幾步從n個不同元素中取出m個元素元素的順序有關元素的順序無關第一步：取第二步：排僅一步：取從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.組合的第一個字母元素總數(shù)取出元素數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數(shù)為從4個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)為2.組合數(shù)的概念：“一個組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個非零自然數(shù).組合與組合數(shù)的區(qū)別：環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念符號

中的C是英文combination(組合)的第一個字母.組合數(shù)還可以用符號

表示.

環(huán)節(jié)三建立聯(lián)系，探究公式關系：構造排列可以分成兩步完成，先取后排，組合是排列中的第一個步驟.因此組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.①從3個不同元素a,b,c中取出2個元素：先組合ab再排列acbcaccabccbabba由此可得ab,ac,bc3個不同的組合

2.組合數(shù)公式：環(huán)節(jié)三建立聯(lián)系，探究公式環(huán)節(jié)四計算求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律解：例6

計算：性質1問題3

分別觀察例中(1)與(2),(3)與(4)的結果，你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？3.組合數(shù)的性質：性質1證明：直觀解釋：該性質反映了組合數(shù)的對稱性.其組合意義是從n個不同的元素中任取m個元素的組合與任取(n-m)個元素的組合是一一對應(一種取法對應一種剩法).

因為從n個不同元素中取出m個元素后，就剩下(n-m)個元素，因此從n個不同元素中取出m個元素的方法，與從n個不同元素中取出(n-m)個元素的方法是一一對應的，因此取法是一樣多的，就是說從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，都對應著從n個不同元素中取出(n-m)個元素的唯一的一個組合，反過來也一樣.即從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)等于從n個不同元素中取出(n-m)個元素的組合數(shù)，也就是.環(huán)節(jié)四計算求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律環(huán)節(jié)三計算求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性質23.組合數(shù)的性質：該性質也可以根據(jù)組合數(shù)的定義與分類加法計數(shù)原理直接得出，在確定從(n+1)個不同元素中取m個元素的方法時，對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出(m-1)個元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出m個元素，所以共有種取法.由分類加法計數(shù)原理，得.直觀解釋：解：例1.計算環(huán)節(jié)三計算求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律12014190環(huán)節(jié)四

例題練習，總結方法環(huán)節(jié)四

例題練習，總結方法∴n＝10，解：解：基礎鞏固：組合數(shù)的應用1.設集合A={0,2,3,7,9},則集合A的含有3個元素的子集有_____個.2.10名同學分成人數(shù)相同的兩個數(shù)學研究性學習小組,有_____種分法.3.從4男3女中選出4人擔任亞青會志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有_____種．析：(間接法)排除都選男生的情況(直接法)先選男生，再選女生.分三類：①1男3女；②2男2女；③3男1女；10基礎鞏固：組合數(shù)的應用4.元宵燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要逐一取下，如圖所示，有______種不同的取法。ABCDEFGH析：記花燈為A,B,C,D,E,F,G,H.燈A,B,C,D定序且燈E,F,G,H定序.

環(huán)節(jié)四

例題練習，總結方法環(huán)節(jié)四

例題練習，總結方法兩個組合數(shù)公式的適用范圍：公式適用范圍

環(huán)節(jié)五課堂小結，形成結構【問題5】

回顧本節(jié)課所學內容,并回答下列問題(1)組合與組合數(shù)有何不同?(2)組合數(shù)公式推導的關鍵是什么?你能利用這個關鍵來分析組合數(shù)公式嗎？(3)應用組合數(shù)公式時要注意什么?組合數(shù)有哪些性質?(4)你能繪制出本節(jié)課的學習路徑嗎?本節(jié)知識結構：環(huán)節(jié)六布置作業(yè)，應用遷移作業(yè)1:題卡；作業(yè)2:教科書第26~28頁習題6.2第2、10、13、14、16、18題第六章

計數(shù)原理6.2.4組合數(shù)（2）2.組合數(shù)公式：規(guī)定性質1性質23.組合數(shù)的性質：1.組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.環(huán)節(jié)一

復習回顧探究建構例1（教材P）

在100件產品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產品中任意抽出3件．(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

1.“至少/多”問題——直/間接法(正難則反)1.“至少/多”問題—直/間接法(正難則反)探究建構1.“至少/多”問題——直/間接法(正難則反)練1.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業(yè)水平考試成績，現(xiàn)要從中選3門考試成績.(1)共有多少種不同的選法?(2)如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法?(3)如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?解：1.“至少/多”問題—直/間接法(正難則反)反思領悟

有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即將“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)．(2)“至多”與“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏．1.“至少/多”問題—直/間接法(正難則反)2.多面手問題合理分類與分步策略例2

某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

6人只會英語，2人只會日語，1多面手反思領悟

解決多面手問題時，依據(jù)多面手參加的人數(shù)和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理．2.多面手問題合理分類與分步策略【練】

某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？[解]

分三類：第一類，4名鉗工中無“多面手”，第二類，4名鉗工中有1名“多面手”，第三類，4名鉗工中有2名“多面手”，由分類加法計數(shù)原理得，共有75＋100＋10＝185(種)不同的選法

2.多面手問題合理分類與分步策略[例3]有6本不同的書，(1)分成3份，每份各1本、2本、3本，有___種不同的分法；(2)分給甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,___種不同的分法；先分組，后分配：①完全不均勻分組：各組分步選取(3)分成3份，每份2本，有___種不同的分法；(4)分給甲、乙、丙3人，每人2本，有___種不同的分法；\②完全均勻分組：各組分步選取，除以組數(shù)的全排列.(法1)先分組，后分配：(法2)甲、乙、丙分步選：3.不同元素的分組及分配問題[例3]有6本不同的書，(4)分給5個人，每人至少一本，有___種不同的分法；③部分均勻分組：各組依次選取,有k組均勻,則除以k的全排列.先分組(2,1,1,1,1)，后分配：(法1)先選2本為一組，其余4本各成1組；再對5組書進行分配.(法2)依次分組(涉及均勻分組)；再對5組書進行分配.3.不同元素的分組及分配問題3.不同元素的分組及分配問題[變1]7本不同的書，分成3份，兩份各2本，另一份3本，有___種不同的分法.13254672513467③部分均勻分組：各組依次選取,有k組均勻,則除以k的全排列.[變2]將標號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入3個不同的盒子中，若每個盒子放2個，其中標號為1,2的小球放入同一個盒子中，有___種不同的放法.先分組，后分配：[例4]某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的3所中學進行支教，每所中學至少派到一名教師，有____種不同的分配方法.①“3、1、1型”：②“2、2、1型”：150先分組，后分配：[練習3]6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，有___種不同的分法。①“1、1、4型”②“1、2、3型”③“2、2、2型”3.不同元素的分組及分配問題(1)完全平均分組：在分組時，每組元素的個數(shù)都相等.①只分組無分配時，需要除以這幾組的“全排列”，以確保消去重復；②分組且分配時，一種方法是先分組再分配；另一種方法是可以用分步乘法計數(shù)原理解題.(2)部分平均分組：在分組時，每組的個數(shù)是不均等的，而是有一部分個數(shù)相同．需要除以相同的組的“全排列”，保證沒有重復．(3)非平均分組：每組所要分的元素個數(shù)是不相同的．這種分組不考慮重復現(xiàn)象.解題思想：先分組、后分配3.不同元素的分組及分配問題【小結】不同元素分組、分配問題【練習】有9件不同的玩具，求符合下列條件的分配方案的種數(shù).（1）平均分成三堆；（2）按數(shù)量分為2，2，2，3四堆；（3）分給甲、乙、丙三個人，甲得2件，乙得3件，丙得4件；（4）分給甲、乙、丙三個人，一人得2件，一人得3件，一人得4件.3.不同元素的分組及分配問題4.相同元素分組—隔板法[例5]將6個相同的球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一球，有____種不同的放法.分組方法：①1、1、4型②1、2、3型③2、2、2型(分組分配法)共3+6+1=10種分法.分配方法：甲乙丙甲乙丙相同元素分3份，需2個不相鄰的隔板4.相同元素分組—隔板法[變式1]將14個相同的球放入4個不同盒子，每個盒子至少一球，有____種方法.相同元素分4份，需3個不相鄰的隔板14個球間有13個間隔[例5]將20個相同的球放入編號為1,2,3,4的4個盒子，每個盒內的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有____種放法.先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再將剩下的14個球放入4個盒子，每個盒子至少再放一球，即在14個球形成的13個空隙中插入3塊隔板12344.相同元素分組—隔板法[變1]方程x+y+z=18的正整數(shù)解有_______組.析：把18看成18個1相加，相當于在17個間隔中插入2塊隔板[變2]方程x+y+z=18的非負整數(shù)解有_______組.111111111111111111析：即(x+1)+(y+1)+(z+1)=21的非負整數(shù)解，即X+Y+Z=21的正整數(shù)解相當于在20個間隔中插入2塊隔板

4.相同元素分組—隔板法基本的解題方法：(1)“至少”“至多”的問題(2)多面手問題：合理分類與分步策略(3)不