題目及答案反函數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=2x+1\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{1}{2}x-1\)B.\(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=2x+\frac{1}{2}\)2.函數(shù)\(y=3^x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\log_3x\)B.\(y=\log_x3\)C.\(y=3^{-x}\)D.\(y=-3^x\)3.若函數(shù)\(f(x)\)的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((1,2)\)，則其反函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（）A.\((1,2)\)B.\((2,1)\)C.\((-1,-2)\)D.\((-2,-1)\)4.函數(shù)\(y=x^2(x\geq0)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\sqrt{x}\)B.\(y=-\sqrt{x}\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}(x\geq0)\)D.\(y=\pm\sqrt{x}\)5.函數(shù)\(y=\lnx\)的反函數(shù)是（）A.\(y=e^x\)B.\(y=\frac{1}{e^x}\)C.\(y=-e^x\)D.\(y=\ln(-x)\)6.函數(shù)\(y=2x-3(x\inR)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{x+3}{2}\)B.\(y=\frac{x-3}{2}\)C.\(y=2x+3\)D.\(y=3-2x\)7.函數(shù)\(y=\sinx(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\arcsinx\)B.\(y=\arccosx\)C.\(y=\arctanx\)D.\(y=\arccotx\)8.函數(shù)\(y=5^x+1\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\log_5(x-1)\)B.\(y=\log_5(x+1)\)C.\(y=\log_{x-1}5\)D.\(y=\log_{x+1}5\)9.函數(shù)\(y=x^3\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\sqrt[3]{x}\)B.\(y=\frac{1}{x^3}\)C.\(y=x^{\frac{1}{3}}\)D.\(y=\pm\sqrt[3]{x}\)10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}(x\neq0)\)的反函數(shù)是（）A.\(y=\frac{1}{x}(x\neq0)\)B.\(y=-\frac{1}{x}(x\neq0)\)C.\(y=x(x\neq0)\)D.\(y=-x(x\neq0)\)答案：1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些函數(shù)存在反函數(shù)（）A.\(y=x^2(x\geq0)\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=\sinx(x\inR)\)D.\(y=e^x\)2.關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)，正確的有（）A.原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱B.若原函數(shù)是奇函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)C.若原函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，則其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也單調(diào)遞增D.原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域互換3.函數(shù)\(y=\log_2x\)的反函數(shù)具有以下哪些特點(diǎn)（）A.定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)B.值域?yàn)閈(R\)C.是指數(shù)函數(shù)D.圖像過點(diǎn)\((1,0)\)4.下列函數(shù)與它的反函數(shù)相同的有（）A.\(y=x\)B.\(y=\frac{1}{x}(x\neq0)\)C.\(y=-x\)D.\(y=x^2(x\geq0)\)5.求反函數(shù)的步驟包含（）A.由\(y=f(x)\)解出\(x=f^{-1}(y)\)B.把\(x,y\)互換C.確定原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域D.檢驗(yàn)反函數(shù)的單調(diào)性6.函數(shù)\(y=3x-2\)的反函數(shù)的性質(zhì)有（）A.是一次函數(shù)B.斜率為\(\frac{1}{3}\)C.截距為\(\frac{2}{3}\)D.單調(diào)遞增7.已知函數(shù)\(f(x)\)存在反函數(shù)\(f^{-1}(x)\)，若\(f(2)=3\)，則（）A.\(f^{-1}(3)=2\)B.點(diǎn)\((2,3)\)在\(f(x)\)圖像上C.點(diǎn)\((3,2)\)在\(f^{-1}(x)\)圖像上D.\(f^{-1}(2)=3\)8.以下函數(shù)中，其反函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減的是（）A.\(y=-x^3\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=(\frac{1}{3})^x\)9.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}(x\geq1)\)的反函數(shù)（）A.定義域?yàn)閈([0,+\infty)\)B.值域?yàn)閈([1,+\infty)\)C.是\(y=x^2+1(x\geq0)\)D.是\(y=x^2+1(x\inR)\)10.關(guān)于函數(shù)\(y=\tanx(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))\)及其反函數(shù)\(y=\arctanx\)，正確的有（）A.原函數(shù)單調(diào)遞增B.反函數(shù)值域?yàn)閈((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)C.原函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.反函數(shù)圖像過點(diǎn)\((0,0)\)答案：1.ABD2.ABCD3.ABC4.ABC5.ABC6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.任何函數(shù)都有反函數(shù)。（）2.函數(shù)\(y=x^2\)的反函數(shù)是\(y=\sqrt{x}\)。（）3.原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性一定相同。（）4.若函數(shù)\(f(x)\)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則其反函數(shù)圖像也經(jīng)過原點(diǎn)。（）5.函數(shù)\(y=\cosx(x\inR)\)存在反函數(shù)。（）6.函數(shù)\(y=2x\)的反函數(shù)是\(y=\frac{1}{2}x\)。（）7.反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。（）8.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的反函數(shù)是\(y=e^x+1\)。（）9.奇函數(shù)的反函數(shù)一定是奇函數(shù)。（）10.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)與它的反函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)。（）答案：1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求函數(shù)\(y=4x-5\)反函數(shù)的步驟。答案：首先由\(y=4x-5\)解出\(x\)，得\(x=\frac{y+5}{4}\)；然后\(x,y\)互換，得到反函數(shù)\(y=\frac{x+5}{4}\)；原函數(shù)值域?yàn)閈(R\)，所以反函數(shù)定義域?yàn)閈(R\)。2.說(shuō)明函數(shù)\(y=x^3+1\)存在反函數(shù)的原因。答案：函數(shù)\(y=x^3+1\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\geq0\)，且僅\(x=0\)時(shí)\(y^\prime=0\)，所以\(y=x^3+1\)在\(R\)上單調(diào)遞增，單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)。3.已知函數(shù)\(f(x)\)的反函數(shù)為\(f^{-1}(x)\)，若\(f(a)=b\)，那么\(f^{-1}(b)\)的值是多少？為什么？答案：\(f^{-1}(b)=a\)。因?yàn)樵瘮?shù)中\(zhòng)(f(a)=b\)，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，反函數(shù)中\(zhòng)(f^{-1}(b)\)的值就是原函數(shù)中\(zhòng)(b\)對(duì)應(yīng)的自變量的值\(a\)。4.函數(shù)\(y=2^x\)與它的反函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？答案：函數(shù)\(y=2^x\)的反函數(shù)是\(y=\log_2x\)，它們的圖像關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱。這是原函數(shù)與反函數(shù)圖像的基本性質(zhì)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際問題中，反函數(shù)有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？答案：在實(shí)際中，如根據(jù)成本計(jì)算產(chǎn)量，成本是產(chǎn)量的函數(shù)，若已知成本求產(chǎn)量，就需用到反函數(shù)。又如根據(jù)路程和速度關(guān)系求時(shí)間，路程是速度和時(shí)間函數(shù)，已知路程求時(shí)間也涉及反函數(shù)，可幫助從結(jié)果倒推條件。2.探討如何通過函數(shù)圖像判斷一個(gè)函數(shù)是否存在反函數(shù)？答案：若函數(shù)圖像與任意一條平行于\(x\)軸的直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，那么該函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，就存在反函數(shù)。即函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí)，其圖像滿足此條件，必然存在反函數(shù)。3.分析原函數(shù)與反函數(shù)在奇偶性、單調(diào)性方面的聯(lián)系。答案：奇偶性上，若原函數(shù)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)，則反函數(shù)也是奇函數(shù)。單調(diào)性上，原函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增（減）