13.2.2三角形的中線、角平分線、高主講：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第十一章

三角形復(fù)習(xí)引入回顧：什么叫垂線？線段中點(diǎn)？角平分線？垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。線段中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)。角平分線：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。ABOBA回顧：過一點(diǎn)畫如何畫已知直線的垂線?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放靠過012345678910012345012345012345678910012345012345畫.復(fù)習(xí)引入DCBA思考：如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，連接AD,AD叫做三角形的什么呢？三角形的中線定義：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)，所得線段叫做三角形的這條邊上的中線.三角形中線的符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=12BC新知探究（三角形的中線）與三角形有關(guān)的線段，除了三條邊，還有三種重要的線段：三角形的中

線、角平分線、高.新知探究ODCBA思考：如圖，在△ABC中，還能畫出幾條中線呢？你發(fā)現(xiàn)了什么特征？還能畫出2條，3條中線交于一點(diǎn).重心重心：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.新知探究（三角形的角平分線）DBCA思考：如圖，∠BAD=∠CAD，AD叫做三角形的什么呢？三角形的角平分線.定義：在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角平分線.三角形角平分線的符號(hào)語(yǔ)言：∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠CAD=１２∠BACDBCA思考：如圖，在△ABC中，還能畫出幾條角平分線呢？你發(fā)現(xiàn)了什么特征？還能畫出2條，3條角平分線交于一點(diǎn).O新知探究探究新知三角形的“高”的定義：A從三角形的一個(gè)頂點(diǎn),向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段,叫作三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的字母BCD012345678910012345012345∵AD是△ABC的高線.推導(dǎo)格式：∴AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90o.探究新知ABCDEF問題1.你能畫出銳角三角形的高嗎？問題2.還能畫出銳角三角形其它的高嗎？還能畫出幾條高？可以，還可畫出2條1.銳角三角形的三條高探究新知OABCDEF問題3.銳角三角形共有多少條高？發(fā)現(xiàn)這幾條高有什么特征嗎？3條，銳角三角形三條高交于一點(diǎn).問題4.銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?垂心銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.問題5.那三條高的交點(diǎn)叫做什么呢？垂心：三角形三條高所在直線的交點(diǎn).1.銳角三角形的三條高探究新知(2)斜邊AC邊上的高是

；直角邊BC邊上的高是

；直角邊AB邊上的高是

.2.直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,它們有怎樣的位置關(guān)系？ABBCD直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).BD探究新知3.鈍角三角形的三條高(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？(2)AC邊上的高是_____；

BC邊上的高是_____；

AB邊上的高是_____；

BFCEAD(3)鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎?(4)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎?鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn).鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn).ACBFDEO例1

下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高（）例2

如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（

）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定BB典例精析思考：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系，

為什么？BCDEA答：相等，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形等底同高，所以它們面積相等.思考：通過以上問題你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線能將三角形的面積平分.新知探究三角形的中線1.三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.拓展：三角形重心的性質(zhì)ACDBG總結(jié)歸納例3如圖，AD為△ABC的中線，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周長(zhǎng)差是4cm，求△ABC的邊AC的長(zhǎng)（AC＜AB）.解:∵AD為△ABC的中線

∴BD＝CD

∵△ABD和△ADC的周長(zhǎng)差是4cm

∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)

＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD＝AB﹣AC＝4cm

∵AB＝12cm

∴AC＝AB﹣4cm＝8cm

∴△ABC的邊AC的長(zhǎng)為8cm.典例精析例4

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）.若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE的度數(shù).解：∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=70°.∵AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.

∵∠BAC=70°，∴∠BAE=35°.

∵AD⊥BC，∠B=80°，∴∠BAD=10°.

∴

∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°.DE┐BAC典例精析隨堂檢測(cè)1.如圖，CM是△ABC的中線，AB＝10cm，則BM的長(zhǎng)為（

）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（

）A．2條B．3條C．4條

D．5條BC3.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC=_____cm2.4.BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長(zhǎng)的差是

.隨堂檢測(cè)1221.如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水源處，應(yīng)該怎么分？

解：根據(jù)面積比值為1：1：2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.利用三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形的性質(zhì).如圖，分別作出兩條中線，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積之比就是1：1：2.ABCED能力提升2.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，求BP的最小值.解：根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP有最小值．此時(shí)由△ABC的面積公式可知，

AD·BC=BP·AC.代入數(shù)值，可解得BP=.P能力提升三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段.∵AD是△ABC的高線，∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段.三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段.課堂小結(jié)1.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE中點(diǎn)，且△ABC的面積等于4cm2，則陰影部分圖形面積等于（

）.A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2A課后作業(yè)2.如圖，在△ABC中，∠BAC=100