最值問題二最值問題中的常用方法極端思考

在分析某些最值問題時，可以考慮把問題推向“極端”，因為當(dāng)某一問題被推向“極端”后，往往能排除許多枝節(jié)問題的干擾，使問題的“本來面目”清楚地顯露出來，從而使問題迅速獲解．枚舉比較

根據(jù)題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案．分析推理

根據(jù)兩個事物在某些屬性上都相同，猜測它們在其他屬性上也有可能相同的推理方法．構(gòu)造調(diào)整

在尋求解題途徑難以進(jìn)展時，構(gòu)造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果．求最大值和最小值的結(jié)論和一定的兩個數(shù)，差越小，積越大；積一定的兩個數(shù)，差越小，和越小；兩點之間線段最短．

用一根長80厘米的鐵絲焊接成一個棱長都是整數(shù)厘米的長方體框架，這個長方體的體積最大是多少立方厘米？

「分析」題目的限制條件是鐵絲長為80厘米，要求體積的最大值，通過什么可以把這二者聯(lián)系起來呢？

練習(xí)1、（1）用一根長100厘米的鐵絲焊接成一個棱長都是整數(shù)厘米的長方體框架，這個長方體的體積最大是多少立方厘米？

（2）有一根鐵絲，它能焊接成的棱長都是整數(shù)厘米的最大長方體的體積是36立方厘米，這根鐵絲的長度是多少厘米？

有5袋糖，其中任意3袋的總塊數(shù)都超過60．這5袋糖塊總共最少有多少塊？

「分析」每3袋的總塊數(shù)都超過60，要求5袋的總塊數(shù)．事實上我們以前做過類似的題：“已知三個數(shù)兩兩的和數(shù)，求這三個數(shù)的總和．”這樣的題大家是怎么處理的呢？它的處理方法能否應(yīng)用到本題中來呢？

練習(xí)2、有5個學(xué)生參加暑期競賽班，每人都拿了不少積分（所有積分都是整數(shù)）．如果其中每三人的積分之和都不少于500分，那這五人的總積分最少是多少？

用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一個組成3個三位數(shù)，使得它們都是9的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請寫出這個乘法算式．

「分析」為了讓這樣的三個數(shù)的乘積最大，我們當(dāng)然要讓三個數(shù)的首位最大．那么首位應(yīng)該是多少呢？注意到這三個數(shù)都是9的倍數(shù)，9的倍數(shù)有什么特征呢？它對這三個數(shù)提出了怎樣的要求？

練習(xí)3、用1、2、3、4、5、6各一個組成兩個三位數(shù)，使得它們都是3的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請寫出這個乘法算式．

把1至99依次寫成一排，行成一個多位數(shù)：．從中劃去99個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個首位不是0的多位數(shù)．請問：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？

「分析」要使得到的數(shù)最大，所得的數(shù)前面幾位應(yīng)該是什么？如果要最小呢？

練習(xí)4、把1至20依次寫成一排，行成一個多位數(shù)：．從中劃去20個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個首位不是0的多位數(shù)．請問：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？

郵遞員送信件的街道如圖所示，每一小段街道長1千米．如果郵遞員從郵局出發(fā)，必須走遍所有的街道，那么郵遞員最少需要走多少千米？

111111郵局

「分析」如果郵遞員恰好沒有重復(fù)地走遍所有的街道，則這樣走的總路程就是最短的．那么郵遞員能做到這一點嗎？實際上這是一個一筆畫問題，同學(xué)們回想一下，什么樣的圖形才能一筆畫出來呢？

111111郵局如圖，有一個長方體的柜子，一只螞蟻要從左下角的A點出發(fā)，沿柜子表面爬到右上角的B點去取食物，螞蟻爬行路線的長度最短是多少？一共有幾條最短路線？請在圖中表示出來．

AB331

「分析」眾所周知，兩點之間線段最短．然而在本題中，螞蟻是不能穿過柜子的，只能在柜子表面爬行．這樣一來，我們就要在柜子表面尋找一條從A到BAB331

罐頭裝箱問題我們經(jīng)常遇到把圓柱體罐頭放入長方體包裝箱的問題，怎么擺放才能最有效地利用包裝箱內(nèi)的空間呢？一種顯而易見的辦法是把各圓排列成矩形的形狀，像圖1這樣．它是一種較優(yōu)排法，但不是最優(yōu)的辦法．沒有最大限度地利用空間，浪費不少，圓的面積只占總共的78.5%．

圖2圖圖2圖1比上述辦法好得多的辦法，是將罐頭擺放成圖2所示的六邊形．不難算出，正六邊形內(nèi)圓所覆蓋的面積超過了90％．實際上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了如果空間是無限延展的，這種六邊形擺放法是最緊密的包裝方式．但是正六邊形擺法的最緊密性質(zhì)是有條件的，尤其在盒子不太大的時候．例如要放9個罐頭，正六邊形擺法需要的正方形不是最小的．如圖3，它的放法就不比圖4好．

圖5圖4圖圖5圖4圖3當(dāng)罐頭數(shù)目增加時，放罐頭的最佳包裝法會不斷在變，越來越傾向于正六邊形排法．比如，13個罐頭的最優(yōu)包裝法，用邊長大約為圓直徑3.7倍的正方形就夠了．如圖5，雖然它看上去亂糟糟，但已被證明為最優(yōu)解．我們可以看到，12個罐頭緊緊地靠在一起，而第13個（黃色的那個）則自由自在地放在中間．

最后，大家思考一個問題：設(shè)1角錢硬幣的直徑為a厘米，那么我們在邊長為10a厘米的正方形中，最多可以不重疊地放入多少枚硬幣呢？是100枚嗎？能否放進(jìn)去更多？

作業(yè)用一根長120厘米的鐵絲焊接成一個棱長都是整數(shù)厘米的長方體框架，這個長方體的體積最大是多少立方厘米？

高、婭、莫、萱四人各有若干塊高思勛章，其中任意兩人的勛章合起來都少于10塊，那么這四人的勛章合起來最多有多少塊？

用1、2、3、4、5、6、7、8各一個組成兩個四位數(shù)，使得它們都是3的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請寫出這個乘法算式．

把21至40依次寫成一排，行成一個多位數(shù)：．從中劃去20個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個首位不是0的多位數(shù)．請問：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？

如果例題5中的街道由“土”字形變成如下所示的形狀，那么郵遞員從郵局出發(fā)，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？1111111郵局最值問題二答案答案：294

詳解：長方體滿足：厘米，要使體積最大，就應(yīng)該使三邊長度盡量接近．所以當(dāng)三邊長度分別為7厘米、7厘米和6厘米時，體積最大，為立方厘米．

答案：103

詳解：任意3袋糖果總塊數(shù)都不少于61，必能取出一袋不少于21塊糖果；現(xiàn)在余下4袋，同樣可以有糖果數(shù)超過21塊的袋子，再取走這袋．現(xiàn)在余下三袋了，這三袋糖果總和不少于61，所以總的糖果不少于61+21+21=103塊．由于5袋糖果分別有21、21、21、20、20塊，是符合要求的，所以103就是最小值．

答案：954×873×621

詳解：每個數(shù)都是9的倍數(shù)，說明每個數(shù)的各位數(shù)字之和都是9的倍數(shù)．由于1到9總的數(shù)字和是45，而且每個數(shù)的各位數(shù)字之和都不超過7+8+9=24，因而三個數(shù)的各位數(shù)字之和分別為18、18和9．各位數(shù)字之和為9的數(shù)最大只能是621．其余兩個數(shù)乘積要盡量大且各自的各位數(shù)字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，個位取4和3，有最大乘積954×872，故所求的乘法算式是954×873×621．

答案：最大為999997585960…9899；最小是10000012345061626364…9899

詳解：（1）要使剩下的數(shù)盡量大，就要讓數(shù)的最前面剩下盡可能多的9．首先，最開頭的12345678這8個數(shù)字是要去掉的，留下了第一個9；然后去掉1011121314151617181共19個數(shù)字，留下了第二個9；再去掉3次的19個數(shù)，使得剩下第3、4、5個9．現(xiàn)在已經(jīng)去掉了一共8+19×4=84個數(shù)，剩下的數(shù)前5個數(shù)字都是9，然后是50515253545556575859一直寫到9899，還能再去掉15個數(shù)．但我們到下一個9要去掉19個數(shù)，到下一個8要去掉17個數(shù)，到下一個7要去掉15個數(shù)，于是最后結(jié)果的第6個數(shù)字最大是7，應(yīng)該去掉的15個數(shù)字為505152535455565．所以剩下的數(shù)最大為999997585960…9899．

（2）要使剩下的數(shù)盡量小，就要讓數(shù)的首位是1，第二位起是盡量多的0．首位上的1取第一個數(shù)字1就行了．然后去掉234567891共9個數(shù)，留下第一個0；再去掉1112131415161718192共19個數(shù)，留下第2個0；再去掉3次的19個數(shù)，就能得到第3、4、5個0．現(xiàn)在一共去掉了個數(shù)，剩下的數(shù)前六個數(shù)字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859一直寫到9899，還能再去掉14個數(shù)．下一位取不到0了，只能去掉一個5，留下1；再下一位連1都取不到，只能去掉1個5，取2；再去掉一個5，留下3；去掉一個5，留下4．現(xiàn)在還能再去掉10個數(shù)字，而剩下的是55565758596061……，接下來11個數(shù)中最小的數(shù)是5，所以取一個5．然后剩下的數(shù)前11個數(shù)字為55657585960，因而我們?nèi)サ?0個數(shù)字5565758596，使下一位達(dá)到最小數(shù)字0．所以最后剩下的數(shù)最小是10000012345061626364…9899．

答案：26

詳解：如圖1，由于的A、B兩點連出的邊是3條，也就是奇數(shù)條，僅當(dāng)A與B為出發(fā)點和終點時，才能一筆畫．我們不能從郵局出發(fā)一筆把這個圖畫出，即郵遞員不能只把每條街道走一遍就回到郵局，他至少應(yīng)該多走1千米街道，最小是26千米．在圖2中，我們給出了郵遞員走26千米走遍所有街道的一種方法．

11111111郵局AB圖1111111郵局AB圖2答案：最短的長度是5；4

詳解：為了表示方便，我們把長方體的各個頂點都標(biāo)上字母，如圖3．螞蟻要從A處爬到B處，途中必須經(jīng)過兩個相鄰的面，兩個相鄰面的交線必是EH、HF、FG、GC、CD、DE六條線段中的一條．一共六種情況，但由對稱性，可分為三類，每類兩種：交線是FG、DE的情形為一類，交線是HE、GC的情形為一類，交線是FH、DC的情形為一類．

AB331CDEFGH圖33BA31CFGH圖43BA31CFGD圖5

情況1：如果螞蟻所經(jīng)過的兩相鄰面是ACGF和FGBH，那么我們可以沿著它們的交線FG把這兩個面展開到同一個平面上，如圖4．這樣螞蟻的整個行走路線就在這一個平面上，而且以A為起點，B為終點．此時從A到B的最短連線就是A、B兩點的連線，它恰好直角三角形ABC的斜邊．由于，，因此．

ACGEDB133圖6圖7AB331CDEFGHAB3AB331CDEFGH圖33BA31CFGH圖43BA31CFGD圖5ACGEDB133圖6圖7AB331CDEFGHAB331CDEFGH

練習(xí)1、答案：576

簡答：，．

練習(xí)2、答案：834

簡答：總積分最少是，此時5人分?jǐn)?shù)可以是166、167、167、167、167．

練習(xí)3、答案：642×531

簡答：6和5分別放在兩個數(shù)的百位上，結(jié)合各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，可得到乘積最大的算式．

練習(xí)4、答案：95617181920；10111111110

簡答：同例4，由于題目中數(shù)位較少枚舉即可，注意計算的準(zhǔn)確性．

作業(yè)答案：1000

簡答：，．

答案：17

簡答：