2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練檢測試題一、單選題：本題共10小題，共40分．1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C．1 D．23．如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．4．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．“空氣質(zhì)量指數(shù)（）”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．當(dāng)大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動．某地某天0～24時的空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的趨勢由函數(shù)描述,則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（

）A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時6．已知等差數(shù)列的公差為d,前n項和為,則“d>0”是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.18．有個砝碼，總質(zhì)量為，它們的質(zhì)量從大到小依次構(gòu)成等差數(shù)列，且最重的個砝碼質(zhì)量之和是最輕的個砝碼質(zhì)量之和的倍．用這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．10．設(shè)，數(shù)列中，，,則A．當(dāng) B．當(dāng)C．當(dāng) D．當(dāng)二、填空題：本題共5小題，每小題6分，共30分．11．函數(shù)的定義域是．12．在等差數(shù)列中，公差d不為0，，且成等比數(shù)列，則；當(dāng)時，數(shù)列的前n項和有最大值．13．在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%，女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%，女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論:①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是.14．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，若且，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為.15．對于非空實數(shù)集合，記，設(shè)非空實數(shù)集合滿足條件“若x<1，則”且，給出下列命題：①若全集為實數(shù)集R，對于任意非空實數(shù)集合，必有；②對于任意給定符合題設(shè)條件的集合，，必有；③存在符合題設(shè)條件的集合，，使得；④存在符合題設(shè)條件的集合，，使得．其中所有正確命題的序號是．三、解答題：本題共2小題，共30分．16．“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時，寫出的值．17．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3)證明函數(shù)只有一個零點．1．B【分析】由補集的運算即可求解.【詳解】解：，，故選：B．2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D3．D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D；【詳解】解：因為，所以，故A錯誤；因為，所以，故B錯誤；因為，且在定義域上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤；因為，且在定義域上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：D4．C【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；5．C【分析】當(dāng)大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動,即時適合開展戶外活動,根據(jù)分段函數(shù)的解析式,分情況討論求出不等式解集,再求出區(qū)間長度即可.【詳解】解:由題知,當(dāng)大于200時,表示空氣重度污染,不宜開展戶外活動,即當(dāng)小于等于200時,適宜開展戶外活動,即,因為,所以當(dāng)時,只需,解得:,當(dāng)時,只需,解得:,綜上:適宜開展戶外活動的時間段為,共計7個小時.故選:C6．C【詳解】由，可知當(dāng)時，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件，選C．【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，通過套入公式與簡單運算，可知，結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故互為充要條件．7．A【分析】根據(jù)題意，設(shè)某人愛好滑冰為事件，某人愛好滑雪為事件，由古典概型公式求出和，進(jìn)而由條件概率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，設(shè)選出的同學(xué)愛好滑冰為事件，選出的同學(xué)愛好滑雪為事件，由于中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪，則,而同時愛好兩個項目的占，即，則該同學(xué)愛好滑該同學(xué)也愛好滑冰的概率為．故選：A．8．C【分析】設(shè)個砝碼的質(zhì)量從大到小構(gòu)成的等差數(shù)列為an，公差為，d<0，，，由題意得到基本量的方程求解，然后由等差數(shù)列的前項和公式得到不等式求解即可.【詳解】設(shè)個砝碼的質(zhì)量從大到小構(gòu)成的等差數(shù)列為an，公差為，d<0，，，由題意可得，，即，，解得，，則，令，又，，解得，，故需要的砝碼個數(shù)至少為．故選：C9．A【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集是.故選：A10．A若數(shù)列{an}為常數(shù)列，，則只需使，選項的結(jié)論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數(shù)列{an}為常數(shù)列，則，由可設(shè)方程選項A：時，，，，故此時{a，且，，則，故選項A正確；選項B：時，，，則該方程的解為，即當(dāng)時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，則，故選項B錯誤；選項C：時，，該方程的解為或，即當(dāng)或時，數(shù)列{an}為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項C也錯誤；選項D：時，，該方程的解為，同理可知，此時的常數(shù)列{an}則選項D錯誤.故選：A.遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.11．且【分析】根據(jù)題意得到求解即可.【詳解】由題知：且.故且.12．【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，解得，再計算，，得到答案.【詳解】成等比數(shù)列，故，即，解得或（舍）.，,，，故時，有最大值.故；13．②③根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率，故②正確；因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.故②③.本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.14．【分析】當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象，利用圖象求出函數(shù)的遞增區(qū)間；由得關(guān)于對稱，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性及方程有解判斷范圍.【詳解】當(dāng)時，，其圖象如下圖：由圖知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；，其圖象關(guān)于對稱，顯然當(dāng)時，由二次函數(shù)對稱知且，使得成立，符合題意；則時，當(dāng)時，關(guān)于對稱的曲線為，聯(lián)立，得或（舍去），所以當(dāng)時，滿足，即，符合題意；當(dāng)時，曲線，與曲線無公共點，不符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故；15．②③④【分析】根據(jù)新定義運算、補集、子集、交集和空集等知識對命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于非空實數(shù)集，記，則中元素為不大于中所有值的數(shù)，即不大于中最小元素的數(shù)組成的集合．①當(dāng)集合下邊界趨向負(fù)無窮大時，如，故錯誤；②由于，假設(shè)中最小值為，最小值為，那么因此表示不大于所有數(shù)組成的集合，表示所有不大于的數(shù)組成的集合，則，故正確；③令，則，故，故正確；④令，則，故，故正確；故②③④思路點睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.16．(1)(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可構(gòu)造方程求得的值；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定人中，周平均閱讀時間在，，的人數(shù)，則可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得期望值；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可求得周平均閱讀時間在內(nèi)的概率，利用二項分布概率公式可表示出，由此可確定結(jié)果.【詳解】（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時間在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）用頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，周平均閱讀時間在內(nèi)的概率；則，若最大，則最大，當(dāng)時，取得最大值.17．(1)(2)(3)見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，求出，由點斜式方程即可求出答案；（2）令，，得出在的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再比較的大小，即可得出答案.（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理，討論，和時，的正負(fù)，即可得出證明.【詳解】（1）的定義域為，故，，所以曲線在點