第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)三里屯一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.從集合{1,2,3,4,5}中選取兩個不同的元素，組成平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，則可確定的點的個數(shù)為(

)A.10 B.15 C.20 D.252.(x2+1A.30 B.20 C.15 D.103.已知函數(shù)f(x)=ln(3x)，則f′(3)=(

)A.3 B.1 C.13 D.4.若函數(shù)f(x)=log2(x+a)的圖象過點(?2,0)，則a=A.3 B.1 C.?1 D.?35.若隨機變量X～N(3,σ2)，且P(X≥5)=0.2，則P(1<X<5)=A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.36.如圖(1)、(2)、(3)分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點圖，其對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3A.r3<r2<r1 B.7.某校為全體高中學(xué)生開設(shè)了15門校本課程，其中人文社科類6門，科學(xué)技術(shù)類6門，體育美育類3門．學(xué)校要求每位高中學(xué)生需在高中三年內(nèi)選學(xué)其中的8門課程．從全校高中學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，設(shè)該學(xué)生選擇的人文社科類的校本課程為X門，則下列概率中等于C65C9A.P(X≤3) B.P(X=3) C.P(X≤5) D.P(X=5)8.已知函數(shù)f(x)=x2?sinx，則f′(A.0 B.π C.π24 9.隨機變量X的分布列是．若E(X)=1，則D(X)=(

)X?212Pab1A.0 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù)f(x)=x3+3x2+bx+c.若函數(shù)g(x)=e?xf(x)有三個極值點m，1，A.(?∞,1) B.(?∞,14) C.(?∞,?1)二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.函數(shù)y=x?1x的定義域為

.(12.已知事件A，B相互獨立，P(A)=0.7，P(B)=0.4，則P(B|A)=

．13.設(shè)函數(shù)f(x)=x，g(x)=x，?(x)=x3，當(dāng)自變量x從0變到1時，它們的平均變化率分別記為m1，m2，m3，則m1，m2，m3之間的大小關(guān)系為

(用“>”“<”“=”連接14.“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個重要成就，本身包含許多有趣的性質(zhì)，如圖：

則第8行的第7個數(shù)是______．15.將若干紅球與黃球放進(jìn)一個不透明的袋子中，這些球的大小與重量完全相同．已知袋子中紅球與黃球個數(shù)之比為6：4，其中13的紅球印有商標(biāo)，34的黃球印有商標(biāo)．現(xiàn)從袋子中隨機抽取一個小球，則小球印有商標(biāo)的概率為

．16.合理使用密碼是提升網(wǎng)絡(luò)空間安全的重要手段．密碼安全性強弱與其長度、使用字符種類數(shù)及排列規(guī)律等相關(guān)，其中字符可以是數(shù)字、字母及一些特殊符號等．某密碼的安全性評分主要分為以下四個方面：長度小于等于4個字符5至7個字符大于等于8個字符得5分得10分得30分字母不含字母含字母，全用小寫或全用大寫含字母，既含小寫又含大寫得0分得10分得25分特殊符號不含符號含1個符號含大于1個符號得0分得10分得25分?jǐn)?shù)字不含數(shù)字含1至2個數(shù)字含大于等于3個數(shù)字得0分得10分得20分設(shè)密碼安全性評分為x，若x≥80為安全性較強；60≤x<80為安全性中等；x<60為安全性較弱．

現(xiàn)有一個長度大于8個字符的密碼，其安全性評分為85分，給出如下判斷：

①該密碼既含有小寫字母又含有大寫字母；

②該密碼至少含有3個數(shù)字；

③該密碼含多于1個特殊符號；

④該密碼一定同時含有字母，特殊符號和數(shù)字．

其中所有正確判斷的序號是______．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=ex?3x+1．

(1)求曲線f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求f(x)18.(本小題14分)

毛猴是老北京的傳統(tǒng)手工藝品，制作材料都取自中藥材，工序大致分為三步，第一步用蟬蛻做頭和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同學(xué)在每個環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為34，45，23，只有當(dāng)每個環(huán)節(jié)制作都合格時．這件作品才算制作成功，

(1)求小萌同學(xué)制作一件作品成功的概率；

(2)若小萌同學(xué)制作了3件作品，假設(shè)每次制作成功與否相互獨立．設(shè)其中成功的作品數(shù)為X.求19.(本小題15分)

發(fā)展純電動、插電式混合動力等新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路.為調(diào)查研究，某地統(tǒng)計了轄區(qū)內(nèi)從2017年至2024年這8年的新能源汽車和純電動汽車的銷量，得到如下折線圖(單位：百輛)：

在每一年中，記該年純電動汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為Q．

(Ⅰ)從2017年至2024年這8年中隨機抽取1年，求該年Q值超過50%的概率；

(Ⅱ)現(xiàn)從2019年至2024年這6年中依次隨機抽取，每次抽取1個年份，若該年的Q值超過50%，則停止抽取，否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超過50%的年份.記抽取的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)記2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為s12，且這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為s22，寫出s12與s220.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)ex．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的極值點個數(shù)；

(Ⅲ)若x>0時，f(x)x21.(本小題12分)

設(shè)A是非空實數(shù)集，且0?A.若對于任意的x，y∈A，都有xy∈A，則稱集合A具有性質(zhì)P1；若對于任意的x，y∈A，都有xy∈A，則稱集合A具有性質(zhì)P2．

(1)寫出一個恰含有兩個元素且具有性質(zhì)P1的集合A；

(2)若非空實數(shù)集A具有性質(zhì)P2，求證：集合參考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.A

6.B

7.D

8.B

9.B

10.D

11.[1,+∞)

12.0.4

13.m?(x)14.28

15.1216.②④

17.解：(1)由f(x)=ex?3x+1，得f′(x)=ex?3，

∴f′(0)=e0?3=?2，又f(0)=e0+1=2，

∴切線方程為y?2=?2x，即2x+y?2=0；

(2)函數(shù)的定義域為R，由(1)可知f′(x)=ex?3，

令f′(x)=0，得ex?3=0，∴x=ln3，

當(dāng)x<ln3時，f′(x)<0，當(dāng)x>ln3時，f′(x)>0，18.解：(1)根據(jù)題意知，由相互獨立事件的概率乘法公式得小萌同學(xué)制作一作品成功的概率為：P=34×45×23=25．

(2)根據(jù)題意知，X的可能值為：0，1，2，3，顯然X～B(3,25)，X0123P2754368所以X的數(shù)學(xué)期望：E(X)=3×2519.解：(Ⅰ)設(shè)從2017年至2024年這8年中隨機抽取1年，且該年的Q值超過50%為事件A，

由圖表知，

2017年的Q值為3580×100%<50%，2018年的Q值為55121×100%<50%，2019年的Q值為62163×100%<50%，2020年的Q值為85182×100%<50%，

2021年的Q值為121221×100%>50%，2022年的Q值為298398×100%>50%，2023年的Q值為312412×100%>50%，2024年的Q值為366528×100%>50%，

所以在2017年至2024年這8年中，有且僅有2021年至2024年這4年的Q值超過50%，

所以P(A)=48=12；

(Ⅱ)由圖表知，在2019年至2024年這6年中，Q值超過50%的有4年，

X

1

2

3

P

2

41所以E(X)=1×23+2×415+3×115=75；

(Ⅲ)s12>s22，理由如下：

從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15(182+221+398+412+528)=17415=348.2，

所以從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差s12=15[(182?348.2)2+(221?348.2)2+(398?348.2)2+(412?348.2)2+(528?348.2)2]=16536.16，

從2020年至2024年這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15(85+121+298+312+366)=11825=236.4，

從2020年至2024年這5年純電動汽車銷量數(shù)據(jù)的方差s22=15[(85?236.4)2+(121?236.4)2+(298?236.4)2+(312?236.4)2+(366?236.4)2]=12509.04，

所以s12>s22．

20.解：(Ⅰ)易知f(x)的定義域為(?1,+∞)，

可得f′(x)=1x+1?ex?ln(x+1)?exe2x=1x+1?ln(x+1)ex，

此時f′(0)=1，

又f(0)=0，

所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y?0=1(x?0)，

即y=x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=1x+1?ln(x+1)ex，

設(shè)g(x)=1x+1?ln21.A是非空實數(shù)集，且0?A.若對于任意的x，y∈A，都有xy∈A，則稱集合A具有性質(zhì)P1；

若對于任意的x，y∈A，都有xy∈A，則稱集合A具有性質(zhì)P2；

(1)由(?1)×(?1)=1，(