《三角形的高、中線與角平分線》知識回顧概念三角形三角形的分類三角形的三邊關(guān)系按角分類按邊分類三角形兩邊的和大于第三邊三角形兩邊的差小于第三邊邊、頂點、角1.了解三角形的高、中線和角平分線的定義及畫法.2.會利用三角形的高、中線和角平分線解決實際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)你還記得小學(xué)學(xué)過的“三角形的高”的定義嗎？定義：從三角形的一個頂點向它所對的邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的這條邊上的高，這條對邊叫做三角形的底.高底ABC課堂導(dǎo)入D表示方法：從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.記作AD⊥BC于點D.知識點1三角形的高新知探究ABCD三角形的高是一條垂線段三角形高的畫法：用三角板過某一頂點向其對邊或?qū)吽诘闹本€畫垂線，交對邊或?qū)呇娱L線于一點，所得的垂線段就是這條邊上的高.ABCD012345678910012345012345用同樣的方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的高嗎？012345678910111213141516EF用同樣的方法，你能畫出直角三角形和鈍角三角形各條邊上的高嗎？BACFABCDEF觀察圖形，不同三角形的三條高各有什么特點？BACFABCDEFABCEF三角形三條高的位置三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內(nèi)部有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部有兩條高在三角形外部，另一條高在三角形內(nèi)部三條高的交點三條高交于三角形內(nèi)部三條高交于三角形的直角頂點三條高沒有交點，但三條高所在的直線交于三角形外一點例1下列圖形中，AD是△ABC的高的是（）B跟蹤訓(xùn)練新知探究ABCDABCDABCDABCDABCD判斷一條線段是否為三角形的高的方法一看頂點：三角形的高一定過頂點.二看垂足：三角形的高的垂足在頂點的對邊或?qū)呇娱L線上.例2如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.不能確定B跟蹤訓(xùn)練新知探究三角形的內(nèi)部三角形的直角頂點三角形的外部2.表示方法：AD是△ABC的邊BC上的中線，點D是邊BC的中點，BD=CD=BC.1.定義：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點，所得線段叫做三角形的這條邊上的中線.DCBA知識點2三角形的中線

新知探究被三角形的中線分成的兩個小三角形的面積大小有什么關(guān)系？DCBA

如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，證明：△ABD和△ACD的面積相等.DCBAE三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個小三角形.3.畫法：連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.DCBAEF用同樣的方法，你能畫出△ABC的另兩條邊上的中線嗎？4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.DCBAEFO重心一定在三角形內(nèi)例3如圖，有一塊三角形菜地，現(xiàn)要將其分成面積比為1∶1∶2的三塊，已知點A處是三塊菜地的共同水源處，則三塊菜地應(yīng)該怎么分？解：根據(jù)面積比為1∶1∶2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.如圖，作△ABC的中線AD，△ABD的中線AE，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面積比就是1∶1∶2.ABCED跟蹤訓(xùn)練新知探究三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個小三角形1.定義：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.

DBCA知識點3三角形的角平分線新知探究3.畫法：畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線.用同樣的方法，你能畫出△ABC的另外兩條角平分線嗎？DBCAEF觀察三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點.例4如圖，AD，BE，CF分別是△ABC的三條角平分線，請根據(jù)圖中各角之間的關(guān)系填空：DABCEF1234（1）∠1=∠（

）；（2）∠3=（）；（3）∠ACB=（）∠4.2∠ABC2跟蹤訓(xùn)練新知探究1.如圖，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，則下列說法中，正確的是（）A．AD是△ABE的中線B．AE是△ABC的角平分線C．AF是△ACE的高線D．AE是△ABC的中線BABCDEF1234隨堂練習(xí)∠1+∠2=∠3+∠4

CEBC∠CAD∠BAC∠CFABCDEAF

BCDEAF（4）當(dāng)BE=8，AF=7時，求△ABC的面積.思路引導(dǎo)：3.如圖所示，已知△ABC的周長為27cm，AC=9cm，BC邊上的中線AD為6cm，△ABD的周長為19cm，AB=

.

8cmCADBAB+BC+AC=27cm，AC=9cmAB+BD+AD=19cm，AD=6cmAB+BC=18cmAB+BD=13cmAB=8cmBC=2BD高與三角形有關(guān)的線段中線角平分線重心課堂小結(jié)BACFABCDEFABCEFDCBAEFODBCAEF

三角形的高1234567891011121.

如圖，Rt△

ABC

是一塊三角尺，其中∠

C

＝90°，∠

BAC

＝30°.

直尺的一邊

DE

經(jīng)過頂點

A

.

若

DE

∥

CB

，則∠

DAB

的度數(shù)為(

B

)A.

100°B.

120°C.

135°D.

150°B2.

(唐山路北區(qū)二模)下列各圖中，△

ABC

的邊

AB

上的高線畫法正

確的是(

B

)B123456789101112

三角形的中線3.

(石家莊三模)在△

ABC

中，

AD

是△

ABC

的中線.看到圖形，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)給出四個不同的結(jié)論，其中正確的是(

D

)甲：

AD

⊥

BC

；乙：∠

BAD

＝∠

CAD

；丙：

AB

＝

AC

；丁：

BD

＝

CD

.

DA.

甲B.

乙C.

丙D.

丁123456789101112【解析】∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

D

是

BC

的中點.∴

BD

＝

CD

，故丁同學(xué)的結(jié)論正確.1234567891011124.

(廊坊安次區(qū)月考)如圖所示，在△

ABC

中，點

D

，

E

，

F

分別

為

BC

，

AD

，

CE

的中點，且

S△

ABC

＝4

cm2，則陰影部分的面積為

.

cm2.1

第4題圖【解析】∵中線能平分三角形的面積，易得△

ABD

，△

ACD

的面積均為△

ABC

面積的一半，同理可得△

BEC

的面積等于△

ABC

面積的一半，為2，那么陰影部分的面積等于△

BEC

面積的一半，為1.123456789101112【變式】若圖中

CF

＝3

EF

，其他條件不變，則△

BEF

的面積為

.

cm2.

第4題圖1234567891011125.

如圖，已知

AD

為△

ABC

的中線，

AB

＝12，

AC

＝9，△

ACD

的周長為27，則△

ABD

的周長為

?.第5題圖30

123456789101112

三角形的角平分線6.

如圖，將△

ABC

折疊，使

AC

邊落在

AB

邊上，展開后得到折痕

l

，則

l

是△

ABC

的(

C

)A.

中線B.

高線C.

角平分線D.

以上都不對C1234567891011127.

如圖，

D

是△

ABC

中

BC

邊上的一點，

DE

∥

AC

，交

AB

于點

E

.

若

∠

ADE

＝∠

DAE

.

試說明：

AD

是△

ABC

的角平分線.解：∵

DE

∥

AC

，∴∠

ADE

＝∠

CAD

.

∵∠

ADE

＝∠

DAE

，∴∠

CAD

＝∠

DAE

.

∴

AD

是△

ABC

的角平分線.123456789101112【變式】如圖，

AD

是△

ABC

的角平分線.(1)若

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，

DE

，

DF

分別交

AB

，

AC

于點

E

，

F

.

請

在圖中作出

DF

，探究∠

ADE

與∠

ADF

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解：(1)如圖，

DF

即為所求.∠

ADE

＝∠

ADF

.

理由：如圖，∵

AD

是△

ABC

的角平分線，123456789101112∴∠1＝∠2.∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.∴∠3＝∠4，即∠

ADE

＝∠

ADF

.

123456789101112(2)若

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分別為

E

，

F

，直接寫出∠

ADE

與∠

ADF

的數(shù)量關(guān)系.解：(2)∠

ADE

＝∠

ADF

.

123456789101112

8.

小明在一個質(zhì)地均勻的三角形硬紙板上找到一點，過這個點鉆一個小孔，通過小孔系一條線將三角形紙板吊起，若三角形紙板處于平衡狀

態(tài)，則這個點是(

A

)A.

三角形三條中線的交點B.

三角形三條高的交點C.

三角形三條角平分線的交點D.

三角形的一個頂點A123456789101112【解析】若三角形紙板處于平衡狀態(tài)，則這個點是三角形的重心，即三

角形三條中線的交點.1234567891011129.

如圖，在△

ABC

中，

AE

是高，

BD

是角平分線，

CF

是中線，下列

說法不正確的是(

C

)A.

∠

AEC

＝∠

AEB

C.

∠

ACF

＝∠

BCF

D.

AB

＝2

BF

C12345678910111210.

【教材第28頁復(fù)習(xí)題11第1題改編】如圖，在△

ABC

中，

AE

，

AD

分別是邊

BC

上的中線和高，

BE

＝3，

S△

AEC

＝6，求

AD

的長.

12345678910111211.

小七家有一塊三角形的花圃，小七準(zhǔn)備將其分成面積相等的四部

分，分別種上不同的花卉.請你幫小七設(shè)計三種不同的方案.123456789101112解