《三角形的內(nèi)角》1.三角形的概念和表示方法、三角形按角分類和按邊分類、三角形的三邊關(guān)系以及實(shí)際應(yīng)用.2.三角形的高、中線、角平分線的概念、表示方法和性質(zhì)，三條高、三條中線、三條角平分線分別在三角形的位置以及它們各自交點(diǎn)分別在三角形的位置.3.三角形的穩(wěn)定性以及實(shí)際應(yīng)用.知識回顧1.學(xué)習(xí)和掌握三角形的內(nèi)角和定理.2.理解三角形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)、驗(yàn)證過程.3.在解決實(shí)際問題時能熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)小學(xué)的時候我們通過測量或者剪拼已經(jīng)驗(yàn)證過三角形的內(nèi)角和等于180°，現(xiàn)在怎么通過推理去驗(yàn)證這個結(jié)論呢？請大家在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起，得到一個平角.在這個操作中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？課堂導(dǎo)入如圖，∠B，∠C分別拼湊在∠A的左右兩側(cè)，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)A的直線l.想一想，直線l與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個圖，你能想出證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？從位置關(guān)系和角度的大小關(guān)系可以看出，直線l與邊BC是平行關(guān)系.知識點(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理新知探究如圖，已知△ABC，求證∠A+∠B+∠C=180°.證明：過點(diǎn)A作直線l，使得l//BC.∵l//BC，∴∠2=∠B，∠3=∠C.∵∠1、∠2、∠3構(gòu)成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.則∠BAC+∠B+∠C=180°.你能想出來其他的證明方法嗎？三角形內(nèi)角和定理的證明AC123lB方法二證明：過點(diǎn)C作直線l，使得l//AB，延長BC.∵l//AB，∴∠2=∠A，∠3=∠B.∵∠1、∠2、∠3構(gòu)成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.則∠ACB+∠A+∠B=180°.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180°三角形內(nèi)角和定理的證明如圖，已知△ABC，求證∠A+∠B+∠C=180°.AC123lB例1

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線.求∠ADB的度數(shù).解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=20°.∵在△ADB中，∠B=75°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=85°.ADCB跟蹤訓(xùn)練新知探究例2

如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?ABCD北北分析：A、B、C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.E例2

如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?ABCD北北E解：因?yàn)椤螩AB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，由AD//BE得，∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，例2

如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?ABCD北北E∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.例2

如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?ABCD北北E答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60度，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90度.例3如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD=45°，從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？┐ABDC解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴∠ACD=60°.∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，∴∠BCD=45°.∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.解：∠A+∠B=90°.∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，則∠A+∠B=180°-∠C.∴∠A+∠B=90°.例4在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩個銳角有什么關(guān)系？CBA┐知識點(diǎn)2直角三角形的性質(zhì)與判定

新知探究性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形AB可以寫成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個頂點(diǎn)的大寫字母，不能單獨(dú)使用.直角三角形的性質(zhì)與判定例5

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC，在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE跟蹤訓(xùn)練新知探究等角的余角相等判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.幾何語言：在△ABC中，由∠A+∠B=90°，得∠C

=90°，即△ABC是直角三角形.注意：在直角三角形中，若已知一個銳角或者兩個銳角之間的關(guān)系，可以直接運(yùn)用兩個銳角互余求解，不需要再利用三角形的內(nèi)角和定理求解.直角三角形的性質(zhì)與判定3.如圖，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：

∵AB//CD，

∴∠1+45°+∠2+45°=______.

∴∠1+∠2=______.

∴∠E=______.

∴△AEC是_____________.ABDCE1245°45°180°90°90°直角三角形例6如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？ADBC解：∠ACD與∠B大小相等.在△BCD中，CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∠B+∠BCD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，則∠ACD=∠B.┌跟蹤訓(xùn)練新知探究例7如圖，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACEBD12解：△ADE是直角三角形.∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°，∴△ADE是直角三角形.1.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)M，且∠DCM=∠MAE.求證：△ACE是直角三角形.證明：∵AD是BC邊上的高，∴∠DMC+∠DCM=90°.∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE，∴∠AME+∠MAE=90°.∴∠AEC

=90°.

∴△ACE是直角三角形.ABCDEM┌隨堂練習(xí)2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B.求證：△ABC是直角三角形.證明：∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B=90°.∵∠1=∠B，

∴∠BAD+∠1=90°，∴∠BAC=90°.∴△ABC是直角三角形.ABDC1┌三角形的內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理直角三角形的性質(zhì)直角三角形的判定課堂小結(jié)有兩個角互余的三角形是直角三角形直角三角形的兩個銳角互余三角形的內(nèi)角和為180°1.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE//BC交AC于點(diǎn)E，若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小是（）A.44°B.40°C.39°D.38°EACBD拓展提升解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=39°.∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°.C2.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù).分析：利用三角形內(nèi)角和定理，將已知的角度與未知角之間聯(lián)系起來.利用等量代換將相等的角進(jìn)行替換.ACBD12342.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù).ACBD1234解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠3=∠1+∠2.∵∠3=∠4，∠1=∠2，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1.∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°，2.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù).ACBD1234∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1.∵∠BAC=∠1+∠DAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°，∴∠1=39°，∴∠DAC=24°.

三角形的內(nèi)角和定理1.

【教材第16頁習(xí)題11.2第1題改編】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得

x

＋

y

的

值為(

B

)A.

180B.

110C.

100D.

70第1題圖【解析】由題圖可知，

x

＋

y

＝180－70＝110.B12345672.

(廊坊霸州市期中)如圖，∠

ABC

＝50°，點(diǎn)

D

，

E

分別在射線

BA

，

BC

上，將三角形

BED

沿著

DE

折疊，若點(diǎn)

B

恰好落在射線

DA

的

B'處，則∠BEB'的度數(shù)是(

B

)A.

50°B.

80°C.

100°D.

130°第2題圖B1234567【解析】∵將三角形

BED

沿著

DE

折疊，點(diǎn)

B

恰好落在射線

DA

的

B'處，∴∠

B

＝∠BB'E＝50°.∴∠BEB'＝180°－∠

B

－∠BB'E＝180°－50°－50°＝80°.第2題圖12345673.

銳角三角形中任意兩個銳角的和必大于(

D

)A.

120°B.

110°C.

100°D.

90°D1234567

方向角4.

【教材第12頁例2改編】如圖，

C

處在

B

處的北偏西40°方向，

C

處

在

A

處的北偏西75°方向，則∠

ACB

的度數(shù)為(

A

)A.

35°B.

38°C.

40°D.

45°A1234567【解析】如圖，由題意得∠

CAD

＝75°，∠

CBE

＝40°，

AD

∥

BE

，∴∠

EBA

＋∠

BAD

＝180°.∴∠

EBA

＋∠

BAC

＝180°－∠

DAC

＝105°.∴∠

ACB

＝180°－(∠

CBE

＋∠

EBA

＋∠

BAC

)＝35°.1234567

5.

(石家莊平山縣月考)如圖，將△

ABC

折疊，使邊

AC

落在邊

AB

上，展開后得到折痕

l

，若∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，則∠1＝(

D

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

80°D1234567【解析】設(shè)折痕

l

與

BC

邊交于點(diǎn)

D

，如圖所示.∵∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，∴∠

BAC

＝180°－(∠

B

＋∠

C

)＝180°－(50°＋70°)＝60°.

∴∠1＝180°－(∠

C

＋∠

CAD

)＝180°－(70°＋30°)＝80°.12345676.

如圖，將△

ABC

沿

DE

，

HG

，

EF

翻折，三個頂點(diǎn)均落在點(diǎn)

O

處，若∠1＝131°，求∠2的度數(shù).解：由折疊的性質(zhì)，得∠

B

＝∠

HOG

，∠

A

＝∠

DOE

，∠

C

＝∠

EOF

，∴∠

DOE

＋∠

HOG

＋∠

EOF

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°.∴∠2＝360°－∠1－(∠