第一節(jié)空間的幾何體及其直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第七章立體幾何與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖．0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相______且______多邊形互相______且______側(cè)棱_____________相交于______，但不一定相等延長(zhǎng)線(xiàn)交于______側(cè)面形狀________________________梯形平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線(xiàn)互相平行且相等，______于底面相交于______延長(zhǎng)線(xiàn)交于______

軸截面____________________________圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖____________扇環(huán)

垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形矩形扇形

2.空間幾何體的直觀圖(1)畫(huà)法：常用的畫(huà)直觀圖的方法叫作_____________．(2)規(guī)則：①在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠x(chóng)Oz＝_____，且∠yOz＝______．②畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x(chóng)′O′y′＝_____________，∠x(chóng)′O′z′＝______，x′O′y′所確定的平面表示水平平面．③已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成_________x′軸，y′軸或z′軸的線(xiàn)段．④已知圖形中平行于x軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度______，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度取原來(lái)的______．斜二測(cè)畫(huà)法90°90°45°或135°90°平行于不變一半3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝_______S圓錐側(cè)＝_______S圓臺(tái)側(cè)＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝________臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋h球S＝________V＝________微提醒(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素間的關(guān)系．(2)在求解組合體的表面積時(shí)，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少減．

4πR2

常用結(jié)論

自主檢測(cè)1.(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)C．菱形的直觀圖仍是菱形D．兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方√√√2.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是A．棱臺(tái)

B．四棱柱C．五棱柱

D．簡(jiǎn)單組合體√由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．故選C．

√

4.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_______．1∶47

返回5.(2021·全國(guó)甲卷)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．39π

考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一基本立體圖形

多維探究典例1角度1結(jié)構(gòu)特征(1)下列命題正確的是A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．直角梯形以一條直角腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓面或矩形面√如圖所示，可排除A，B選項(xiàng)．對(duì)于D選項(xiàng)，只有截面與圓柱的母線(xiàn)平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分．故選C．(2)(多選)下列說(shuō)法正確的是A．以直角三角形的一條邊所在的直線(xiàn)為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B．以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形D．圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑√√√A不正確，直角三角形繞斜邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線(xiàn)長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑)．故選BCD．空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧1.緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．2.通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可．規(guī)律方法典例2

√

(2)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說(shuō)法正確的是

A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形√

在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線(xiàn)段．平行于x軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度減半．規(guī)律方法

√典例３

√

幾何體的表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．注意：利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖可求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題．規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練1.(1)(多選)下列命題正確的是A．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C．棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180?所形成的曲面√√對(duì)于A，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，故C正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)180?所形成的曲面，故D正確．故選CD．(2)已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺(tái)的一條母線(xiàn)(點(diǎn)B在圓臺(tái)的上底面圓周上)，M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面爬行一周到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為A．30 B．40C．50 D．60√

(3)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝1，則一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到C1點(diǎn)的最短距離是_______．5

考點(diǎn)二空間幾何體的表(側(cè))面積

師生共研

√典例４

(2)(2020·全國(guó)Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為A．64π B．48πC．36π D．32π√

√

幾何體表面積的類(lèi)型及求解方法規(guī)律方法求多面體的表面積直接求各面面積然后求和或?qū)⑺鼈冄刂狻凹糸_(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給不規(guī)則幾何體的表面積

√

(2)已知一個(gè)圓柱的體積為2π，底面直徑與母線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，與圓柱等高，底面是頂點(diǎn)在圓周上的正三角形，則三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______．

考點(diǎn)三空間幾何體的體積

多維探究典例５

角度2割補(bǔ)法求體積

(1)如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30?，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是10和16，則容器內(nèi)液體的體積是

A．36π B．39πC．42π D．45π√典例６

(2)如圖，在六面體ABC-FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，F(xiàn)E∥GD，∠FGD＝90?，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四邊形AEDC是菱形，則六面體ABC-FEDG的體積為_(kāi)_______．8

典例7角度3等體積法求體積(2022·新高考Ⅱ卷)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為_(kāi)____．1

規(guī)律方法

√

√

√

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)1.(2024·全國(guó)甲卷)已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為_(kāi)_____．

(人教A必修二P117思考)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系？點(diǎn)評(píng)：高考題與教材思考題都考查臺(tái)體的體積公式．教材呈現(xiàn)

√

真題再現(xiàn)返回教材呈現(xiàn)(人教A必修二P120T4)如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過(guò)PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．點(diǎn)評(píng)：高考題與教材習(xí)題設(shè)問(wèn)的本質(zhì)是一樣的，都考查了圓錐的側(cè)面積與體積的求解．課時(shí)測(cè)評(píng)1.下列說(shuō)法中正確的是A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)√對(duì)于A，如圖①所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各個(gè)面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖②③所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由過(guò)中心和定點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)圓錐母線(xiàn)的定義知，D正確．故選D．2.如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線(xiàn)分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是A．8 B．16C．32 D．64√

3.(2024·四川廣元模擬)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為36，E為棱CC1上的點(diǎn)，且CE