4.2 線段的垂直平分線第四章

圖形的軸對稱學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線的判定作線段的垂直平分線過一點作已知直線的垂線逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知1－講感悟新知知識點線段的垂直平分線11.定義：垂直并且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。感悟新知知1－講特別解讀線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：1.經(jīng)過線段的中點；2.垂直于這條線段。感悟新知

知1－講知1－練感悟新知下列說法正確的有()①P

是線段AB

上的一點，直線l經(jīng)過點P

且l⊥AB，則l

是線段AB

的垂直平分線；②直線l

經(jīng)過線段AB的中點P，則l是線段AB的垂直平分線；③經(jīng)過線段AB的中點P

且垂直于線段AB的直線l

是線段AB

的垂直平分線。A.0個 B.1個 C.2個 D.3個例1知1－練感悟新知解：①只滿足垂直條件，而沒有經(jīng)過線段中點的條件，故錯誤；②只滿足經(jīng)過線段中點的條件，而沒有垂直條件，故錯誤；③直線l既經(jīng)過線段AB

的中點P

，又垂直于線段AB

，故正確。解題秘方：本題應(yīng)用定義法，根據(jù)線段垂直平分線的定義進行判斷即可。答案：B知1－練感悟新知1-1.如圖，AB的垂直平分線為直線MN，點P在MN上，連接PA，PB。下列結(jié)論不一定正確的是(

)A.S

△APO=S

△

BPOB.OA=OBC.OP=OBD.PO平分∠APBC感悟新知知2－講知識點線段垂直平分線的性質(zhì)定理21.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。條件：點在線段的垂直平分線上。結(jié)論：這個點到線段兩端點的距離相等。感悟新知知2－講2.幾何語言如圖4.2-2。因為PO⊥AB

于點O，AO=BO，所以PA=PB。知2－講感悟新知特別解讀用線段垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法。感悟新知知2－練如圖4.2-3，AD⊥BC，BD=DC，點C在線段AE

的垂直平分線上，則AB，AC，CE

的長度關(guān)系為（）A.AB>AC=CE

B.AB=AC>CEC.AB>AC>CE

D.AB=AC=CE例2

知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出AB，AC，CE

之間的關(guān)系。解：因為AD⊥BC，BD=DC，所以AB=AC。因為點C在線段AE的垂直平分線上，所以AC=CE。所以AB=AC=CE。答案：D知2－練感悟新知2-1.如圖，直線PD和直線PE

分別是線段AB，BC的垂直平分線，判斷PA和PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。知2－練感悟新知解：PA＝PC。理由如下：如圖，連接PB。因為直線PD是線段AB的垂直平分線，所以PA＝PB。同理可得PC＝PB，所以PA＝PC。知2－練感悟新知[母題教材P105習(xí)題T2]如圖4-2-4，在△ABC

中，AB=5cm，BC

的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E，△ACD的周長為8cm，求線段AC的長.例1知2－練感悟新知解：因為DE為線段BC

的垂直平分線，所以CD=BD.所以△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8cm.又因為AB=5cm，∴AC=3cm.解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理將要求的線段向已知條件轉(zhuǎn)化.知2－練感悟新知3-1.

[期末·煙臺萊山區(qū)]如圖，△ABC

中邊AB的垂直平分線分別交BC，AB于點D，E，連接AD，AE=3cm，△ADC的周長為9cm，則△ABC的周長是_______

。15cm感悟新知知2－練如圖4.2-5，在△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，邊AC的垂直平分線交AB于點M，交AC于點N，求∠BCM的度數(shù)。例4

知2－練感悟新知解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到線段相等，為三角形全等創(chuàng)造條件，從而將要求的角向已知角轉(zhuǎn)化。知2－練感悟新知

知2－練感悟新知4-1.

[模擬·濟寧]如圖，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連接AD，若∠CAD=20°，則∠B=(

)A.20° B.30°C.35° D.40°C知3－講感悟新知知識點線段垂直平分線的判定31.判定：到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。條件：點到線段兩個端點的距離相等。結(jié)論：點在線段的垂直平分線上。2.幾何語言：如圖4.2-6，因為PA=PB，所以點P

在線段AB

的垂直平分線上。感悟新知知3－講特別解讀1.證明一個點在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，證明平分；二是取中點，證明垂直。2.證明線段的垂直平分線，必須證明兩個點在垂直平分線上。感悟新知3.作用：(1)作線段垂直平分線的依據(jù)；(2)可用來證明線段垂直、相等。拓展：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等。知3－講知3－練感悟新知如圖4.2-7，P

為∠MON

平分線上一點，PA⊥OM

于A，PB⊥ON

于B。求證：OP垂直平分AB。例5知3－練感悟新知解題秘方：判定線段垂直平分線的方法有兩種：一是判定方法，二是定義法。一般習(xí)慣用定義法進行判定，而利用判定方法判定更簡單。用判定方法判定一條直線是線段的垂直平分線時，一定要證明直線上有兩點到線段兩個端點的距離相等。知3－練感悟新知證法一（判定方法）：因為P

為∠MON

平分線上一點，所以∠AOP=∠BOP。因為PA⊥OM，PB⊥ON，所以∠PAO=∠PBO=90°。又因為OP=OP，所以△AOP≌△BOP（AAS）。所以PA=PB，OA=OB。所以點P，點O

均在AB

的垂直平分線上。所以O(shè)P垂直平分AB。知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知5-1.如圖，AC=BC，AD=BD，這個圖形叫作“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD。其中正確結(jié)論的序號是(

)A.①③④ B.①②③C.①②④ D.②③④B知3－練感悟新知5-2.如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED。求證:OE⊥BD。知3－練感悟新知知3－練感悟新知如圖4.2-8，已知AB=AD，BC=DC，E

是AC

上一點。求證：(1)

BE=DE。(2)∠ABE=∠ADE。例6

知3－練感悟新知解題秘方：連接BD，要證明BE=DE，只需證明AC所在的直線是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到BE=DE；(1)

BE=DE。知3－練感悟新知證明：如圖4.2-8，連接BD。因為AB=AD，BC=CD，所以A，C兩點均在線段BD

的垂直平分線上。所以AC所在的直線是線段BD

的垂直平分線。又因為E

是AC

上一點，所以BE=DE。知3－練感悟新知

解題秘方：證明△ABE≌△ADE即可。(2)∠ABE=∠ADE。知3－練感悟新知6-1.如圖，在△ABC中，DM，EN

分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M，N

兩點，DM與EN相交于點F。求證：點F

在AB

的垂直平分線上。知3－練感悟新知證明：連接AF,CF，BF。因為DM垂直平分邊AC，所以AF＝CF。因為EN垂直平分邊BC，所以BF＝CF。所以AF＝BF。所以點F在AB的垂直平分線上。感悟新知知4－講知識點作線段的垂直平分線4作已知線段的垂直平分線已知：線段AB（如圖4.2-9）。求作：線段AB

的垂直平分線。感悟新知知4－講

知4－講感悟新知

感悟新知知4－練如圖4.2-11，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在A，B，C三個住宅小區(qū)之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個住宅小區(qū)的距離相等？例7知4－練感悟新知解題秘方：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個點，使它到三個點的距離相等。連接AB，BC，到A，B

兩點距離相等的點在線段AB

的垂直平分線上，到B，C

兩點距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，因此兩條垂直平分線的交點即為所求。知4－練感悟新知解：如圖4.2-11，連接AB，BC，分別作AB，BC

的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點M，則點M

就是所要確定的修建購物中心的位置。知4－練感悟新知7-1.某通訊工程隊準(zhǔn)備在一段筆直的公路l上修建一個5G信號基站，以服務(wù)公路旁的A，B兩個工業(yè)園區(qū)（如圖），要求該基站到A，B

兩個工業(yè)園區(qū)的距離相等，通過作圖，確定該基站修建的位置。（不寫作法，但要保留作圖痕跡）解：如圖，點P即為所求。感悟新知知5－講知識點過一點作已知直線的垂線51.過已知直線上一點作垂線已知：直線l和l

上一點P（如圖4.2-12）。求作：過點P

的直線l

的垂線。作法：如圖4.2-13。(1)在直線l

上作出以點P

為中點的線段AB；(2)作線段AB

的垂直平分線CD。直線CD

為經(jīng)過點P

的直線l的垂線。感悟新知知5－講2.過已知直線外一點作垂線已知：直線l和l外一點P（如圖4.2-14）。求作：過點P的直線l

的垂線。感悟新知知5－講作法：如圖4.2-15。(1)任意取一點K，使點K

與點P

分別在直線l

兩側(cè)，以點P

為圓心，PK

長為半徑作弧交直線l

于A，B

兩點；(2)作線段AB的垂直平分線CD。直線CD為經(jīng)過點P的直線l的垂線。知5－講感悟新知特別提醒因為點與直線的位置關(guān)系有點在直線上和點在直線外兩種情況，因此，過一點作已知直線的垂線需要分類討論。知5－講感