第1課時(shí)線段的垂直平分線性質(zhì)和判定1．經(jīng)過線段

并且

于這條線段的

，叫作這條線段的垂直平分線．2．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，無論是成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，還是軸對(duì)稱圖形，其

都是任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線．中點(diǎn)垂直直線對(duì)稱軸如圖，直線l垂直平分線段AB，點(diǎn)P1，P2，P3，…在l上，分別比較點(diǎn)P1，P2，P3，…

與點(diǎn)A的距離和這些點(diǎn)與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？探究ABlP1P2P3P1A=

P1B，P2A=

P2B，P3A=

P3B······如果把線段

AB

沿直線l

對(duì)折，線段P1A

與P1B，P2A

與P2B，P3A

與P3B···都重合嗎？它們都分別相等嗎？ABlP1P2P3都重合，都分別相等.P1A=

P1B，P2A=

P2B，P3A=

P3B······猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.已知：一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上.求證：驗(yàn)證這個(gè)點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ABlP1P2P3如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=BC，點(diǎn)P在l上.求證：PA=PB.ABlPC證明：當(dāng)點(diǎn)P

與點(diǎn)C

不重合時(shí)，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然成立幾何語言：∵直線l⊥AB，垂足為C，AC

=BC，點(diǎn)P

在l

上，∴PA

=PB.

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線段的垂直平分線的性質(zhì)ABlPC思考

把上面線段的垂直平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過來，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點(diǎn)P

是否在線段AB

的垂直平分線上呢？已知：如圖，在△ABP中PA=PB.求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.猜想：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上ABP證明：過點(diǎn)P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．ABPCABPC與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.幾何語言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.線段垂直平分線的判定名稱角平分線線段垂直平分線圖示性質(zhì)判定角的平分線與線段的垂直平分線CABODEPABPC角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上思考

分析上面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個(gè)命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系？你還學(xué)習(xí)過其他具有類似關(guān)系的命題嗎？兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上

互逆命題與互逆定理我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題.如果把其中一個(gè)叫作原命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定“對(duì)頂角相等”與“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題可能成立，也可能不成立.兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理，其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理.線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)與判定“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”······

互逆命題與互逆定理3.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.(1)兩直線平行，同位角相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.同位角相等，兩直線平行.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么它們相等.如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等.成立不成立不成立課堂小結(jié)線段的垂直平分線性質(zhì)互逆命題、互逆定理判定1.

如圖,直線l與線段AB交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線l上,且PA=PB,有下列結(jié)論:①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.其中,正確的有 (

)A.1個(gè)

B.2個(gè) C.3個(gè)

D.4個(gè)A1234567891011121314

D12345678910111213143.

在聯(lián)歡晚會(huì)上,有A,B,C三名同學(xué)站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上,他們?cè)谕鎿尩首佑螒?要求在他們中間放一個(gè)木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的

(

)A.三邊中線的交點(diǎn)處B.三條角平分線的交點(diǎn)處C.三邊高的交點(diǎn)處D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)處D12345678910111213144.

如圖,用兩根鋼索加固直立的電線桿.若要使AB與AC的長相等,則需添加條件:

,這樣做的理由是

.

5.

如圖,△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,連接BD.若AC=8,CD=5,則BD=

.

BD=CD線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等312345678910111213146.

如圖,∠ABC=50°,AD垂直平分線段BC于點(diǎn)D,∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E,連接EC,則∠AEC的度數(shù)是

.115°12345678910111213147.

(教材P67練習(xí)第1題變式)如圖,AD⊥BC,BD=CD,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上,若AB=6,DE=10,則BD的長為

.12345678910111213144第7題8.如圖,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OA,OB,OC,且OB=OC.求證:直線AO⊥BC.∵AB=AC,∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.∵OB=OC,∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∵兩點(diǎn)確定一條直線,∴直線AO是BC的垂直平分線,即直線AO⊥BC第8題12345678910111213149.

如圖,P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn),P1,P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn),連接P1P2,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.若P1P2=5cm,則△PMN的周長是 (

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

10.

如圖,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)D.若∠B=70°,∠FAE=19°,則∠C=

.

C24°123456789101112131411.

如圖,在△ABC中,邊BC的垂直平分線DE交邊BC于點(diǎn)D,交邊AB于點(diǎn)E.若△EDC的周長為24,△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12,則線段DE的長為

.6解析:∵DE垂直平分BC,∴BE=EC,BD