專題16三角函數考點01三角函數的定義1．（2023·四川樂山·中考真題）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）

A． B． C． D．2．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．3．（2025·山東東營·中考真題）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積（弦矢＋矢），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則的值為．4．（2023·內蒙古·中考真題）如圖是源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·吉林長春·中考真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則．

7．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點為的中點，，．求的長及的值．

8．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在綜合與實踐活動課上，小強先測得教學樓在水平地面上的影長為．又在點處測得該樓的頂端的仰角是．則用科學計算器計算教學樓高度的按鍵順序正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

考點02解直角三角形的實際應用——俯仰角1．（2025·四川達州·中考真題）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾．已知無人機懸停在湖面上的處，工作人員所乘小船在處測得無人機的仰角為，當工作人員沿正前方向劃行米到達處，測得無人機的仰角為，求無人機離湖面的高度（結果不取近似值）2．（2025·吉林長春·中考真題）如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達海拔高度為米的點處．測得山峰頂端的仰角為．則、兩點之間的距離為（）A．米 B．米C．米 D．米3．（2025·遼寧·中考真題）如圖，為了測量樹的高度，在水平地面上取一點，在處測得，，則樹的高約為（結果精確到．參考數據：，）．4．（2025·吉林·中考真題）綜合與實踐：確定建筑物的打印模型的高度項目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹人中學的打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作打印模型提供數據．項目報告表

時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺項目實施任務一測量數據以下是測得的相關數據，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角．3．測出測角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務二計算實際高度根據上述測得的數據，計算該城市規(guī)劃展覽館的高度．（結果精確到1m）（參考數據：，，）任務三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為________．（結果精確到）項目結果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的打印模型提供數據請結合上表中的測量草圖和相關數據，幫助該社團完成任務二和任務三．5．（2025·陜西·中考真題）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面上的點處安裝測角儀，測得信號桿頂端的仰角為，與坡面的夾角為，又測得點與信號桿底端之間的距離為．已知，點，，在同一條直線上，，均與水平線垂直．求信號桿的高．（參考數據：，，）6．（2025·安徽·中考真題）某公司為慶祝新產品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段和表示，彩帶用線段表示．工作人員在點A處測得點C的俯角為，測得點D的仰角為．已知，求的長（精確到）．參考數據：，，，，，．7．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數學活動小組用高度為米的測角儀，對垂直于地面的建筑物的高度進行測量，于點C．在B處測得A的仰角，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至處，于點G，測得A的仰角，的延長線交于點E，求建筑物的高度（結果保留小數點后一位）．（參考數據：）考點03解直角三角形的實際應用——坡度、坡角1．（2025·四川資陽·中考真題）如圖，已知水平地面上方有一個水平的平臺，該平臺上有一個豎直的建筑物．在處測得建筑物頂端的仰角為，在處測得的仰角為，斜坡的坡度米，．（點在同一豎直平面內）．(1)求平臺的高度；(2)求建筑物的高度（即的長）．2．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．4．（2024·四川廣安·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風力發(fā)電機，如圖（1）某校實踐活動小組對其中一架風力發(fā)電機的塔桿高度進行了測量，圖（2）為測量示意圖（點，，，均在同一平面內，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發(fā)電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風力發(fā)電機塔桿的高度．（結果精確到個位；參考數據：，，，）

5．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結果精確到）

6．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

7．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．(2)測量山高同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業(yè)本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）(3)測量改進由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優(yōu)化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）考點04解直角三角形的實際應用——方位角1．（2025·重慶·中考真題）為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數據：，，，）(1)求的長度（結果保留小數點后一位）；(2)甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發(fā)沿往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結果保留小數點后一位）？2．（2025·山東煙臺·中考真題）【綜合與實踐】煙臺山燈塔被譽為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺山上，為過往船只提供導航服務．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數學興趣小組開展了實踐探究活動．如圖，一艘漁船自東向西以每小時海里的速度向碼頭航行，小組同學收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域將出現濃霧天氣．請注意防范．請根據以上信息，解答下列問題：(1)求漁船在航行過程中到燈塔的最短距離；(2)若不改變航行速度，請通過計算說明漁船能否在濃霧到來前到達碼頭（參考數據：，，，，，）．3．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^(qū)，請計算說明．（參考數據：）4．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）5．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）6．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，燈塔A周圍9海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數據：）

考點05解直角三角形的實際應用——其他1．（2025·貴州·中考真題）某小區(qū)在設計時，計劃在如圖①的住宅樓正前方建一棟文體活動中心．設計示意圖如圖②所示，已知，該地冬至正午太陽高度角為．如果你是建筑設計師，請結合示意圖和已知條件完成下列任務．任務一：計算冬至正午太陽照到住宅樓的位置與地面之間的距離的長；任務二：為符合建筑規(guī)范對日照的要求，讓整棟住宅樓在冬至正午太陽高度角下恰好都能照射到陽光，需將活動中心沿方向移動一定的距離（活動中心高度不變），求該活動中心移動了多少米？（參考數據：．結果保留小數點后一位）2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）數學實踐【問題背景】中國傳統(tǒng)農業(yè)智慧遇上現代數學模型．“豇豆不上架，產量少一半”的農諺流傳至今，現代科學揭示了其秘密：當支架與地面形成夾角時，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強光，就像給豇豆裝了智能遮陽篷．【問題呈現】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點在何處會使支架與地面形成夾角？【模型建立】環(huán)節(jié)一：數據收集兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為．環(huán)節(jié)二：數學抽象如圖：已知線段與交于點，，與直線分別交于點，，，，，，求的長度．（結果精確到0.1，參考數據：，，）【模型求解】【問題總結】交叉點距頂端的長度即為______時，支架與地面形成夾角，這樣更貼合作物的生長規(guī)律．3．（2025·湖南·中考真題）如圖，某處有一個晾衣裝置，固定立柱和分別垂直地面水平線于點，，分米，．在點，之間的晾衣繩上有固定掛鉤，分米，一件連衣裙掛在點處（點與點重合），且直線．(1)如圖1，當該連衣裙下端點剛好接觸到地面水平線時，點到直線的距離等于12分米，求該連衣裙的長度；(2)如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤處再掛一條長褲（點在點的右側），若，求此時該連衣裙下端點到地面水平線的距離約為多少分米？（結果保留整數，參考數據：，，）4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，扇形為某運動場內的投擲區(qū)，所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線與所在相切于點．此時測得；從點處沿方向前進8.0米到達B處．直線與所在相切于點，此時測得．（參考數據：）(1)求圓心角的度數；(2)求的弧長（結果精確到米）．5．（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：，求線段的長度．（結果用含非特殊角的三角函數表示）6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求的長．（結果精確到）參考數據：，．7．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質，入射角為，折射角為，且，，求該介質的折射率；(2)現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．8．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．9．（2023·山東濟南·中考真題）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結果精確到，參考數據：，，，）考點06三角函數與四邊形的綜合1．（2025·四川資陽·中考真題）在四邊形中，是邊上的一點，是對角線的中點．(1)如圖1，四邊形是正方形，連接，作交于點，求證：；(2)如圖2，四邊形是平行四邊形，，連接，作交于點，連接，求的值；(3)如圖3，四邊形是菱形，，連接交于點是邊上的一點，，若，求的長．2．（2025·北京·中考真題）如圖，在中，D，E分別為的中點，，垂足為F，點G在的延長線上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求和的長．3．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點在邊上（不與點B、C重合），點E在的延長線上，且，連接、、，過點作于點，分別交、、于點、、．則下列結論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個等腰三角形．其中正確的結論是（

）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點F，．若，則．5．（2025·貴州·中考真題）如圖，在矩形中，點E，F，M分別在，，邊上，分別交對角線、線段于點G，H，且是的中點．若，則的