6應(yīng)用一元二次方程第1課時應(yīng)用一元二次方程求解幾何問題教師備課素材示例●情景導(dǎo)入我國古代對代數(shù)的研究，特別是對方程解法的研究，有著優(yōu)良的傳統(tǒng)，并取得了重要成果．我國古代數(shù)學(xué)家研究過二次方程的解法，已與近代的解法相似．下面是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1275年提出的一個問題：“直田積(矩形面積)八百六十四步(平方步).只云闊(寬)不及長一十二步(寬比長少一十二步)，問闊及長各幾步．答：闊二十四步，長三十六步．”這里，我們不談楊輝的解法，你能用已學(xué)過的知識解決上面的問題嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：用古代文獻(xiàn)導(dǎo)入課題，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，建立方程的模型．●類比導(dǎo)入小明把一張邊長為20cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子(如圖)．(1)如果要求長方體的底面面積為256cm2，那么剪去的正方形邊長為多少？(2)如果按下表列出的長方體底面面積的數(shù)據(jù)要求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化？長方體底面積2561961441006436164正方形邊長23456789長方體體積51258857650038425212836【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過生活中的實(shí)際問題的引入，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系．建議：讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于我們的生活．命題角度1列一元二次方程解決等積變形問題在列一元二次方程解決等積變形問題時，要抓住以下三個等量關(guān)系：①圖形面積不變，周長變了；②容器形狀改變，但容積沒變；③原料體積＝成品體積．找出題中的等量關(guān)系，列出方程．【例1】(1)直角三角形的兩條直角邊的和為7，面積是6，則斜邊長為(B)A．eq\r(37)B．5C．eq\r(38)D．7(2)從正方形鐵皮的一邊切去一個2cm寬的長方形，若余下的長方形的面積為48cm2，則原來正方形的鐵皮的面積為__64__cm2__．命題角度2列一元二次方程解決存在性問題列一元二次方程解決存在性問題的一般步驟：先根據(jù)題意列出方程再根據(jù)根的判別式判斷是否存在．【例2】用長為35m的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場，如圖，一邊靠墻(墻足夠長)，另三邊用籬笆圍成．設(shè)圍成的矩形與墻平行的一邊長為xm，面積為ym2.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時，圍成的養(yǎng)雞場面積為150m2?(3)能否圍成面積為160m2的養(yǎng)雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說明理由．解：(1)y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(35,2)x；(2)20或15；(3)不能，理由略．命題角度3列一元二次方程解決幾何動點(diǎn)問題解決動點(diǎn)問題的關(guān)鍵是根據(jù)動點(diǎn)運(yùn)動時的起點(diǎn)和終點(diǎn)等條件列出方程．【例3】如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm，某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的eq\f(1,9)？解：設(shè)經(jīng)過ts，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的eq\f(1,9).由題意，得AM＝tcm，AN＝(6－2t)cm，由△AMN的面積公式，得eq\f(1,2)AN·AM＝eq\f(1,9)AD·AB，eq\f(1,2)t·(6－2t)＝eq\f(1,9)×3×6，整理，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝2，t2＝1.答：經(jīng)過1s或2s，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的eq\f(1,9).命題角度4列一元二次方程解決閱讀理解問題閱讀理解問題是給出一些材料，讓學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上理解材料中所提供的定義、公式、思想方法及解題技巧等知識，用于解決后面的問題．【例4】(涼山州中考)試驗(yàn)與探究：三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算如圖是一個三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)……第n行有n個點(diǎn)．容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和．你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)和嗎？如果用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1＋2＋3＋…＋23＋24＝300，得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)和，但是這樣尋找答案需要花費(fèi)較多時間，能否更簡捷地得出結(jié)果呢？我們先探究三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和與n的數(shù)量關(guān)系．前n行的點(diǎn)數(shù)和是1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n.可以發(fā)現(xiàn)：2×[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n]＋[n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1].把上述等式右邊兩個中括號中的第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)相加……第n項(xiàng)相加，通過變形，得到1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1).這就是說，三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和是eq\f(1,2)n(n＋1).下面用一元二次方程解決上述問題：設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和為300，則有eq\f(1,2)n(n＋1)＝300.整理這個方程，得n2＋n－600＝0.解方程得n1＝24，n2＝－25.根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n＝24，即三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)和是300.請你根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理；(2)如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，你能探究出前n行的點(diǎn)數(shù)之和滿足什么規(guī)律嗎？這個三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．解：(1)不能，說明略；(2)前n行的點(diǎn)數(shù)之和為n(n＋1).這個三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和能是600，此時n＝24.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決問題．2．能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性．▲重點(diǎn)在實(shí)際問題中找等量關(guān)系．▲難點(diǎn)根據(jù)等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)列方程．◆活動1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（1）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（2）))提出問題：還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？(1)在這個問題中，梯子頂端下滑1m時，梯子底端滑動的距離大于1m，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？(2)如果梯子的長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？◆活動2實(shí)踐探究交流新知【探究1】問題1：怎樣設(shè)未知數(shù)？這個問題中存在什么樣的等量關(guān)系？如何用勾股定理列方程．(1)設(shè)梯子頂端下滑xm時，梯子底端滑動的距離和它相等．先求梯子底端原來離墻的距離：__eq\r(102－82)＝eq\r(36)＝6(m)__．等量關(guān)系是：梯子頂端現(xiàn)在離地的距離與梯子底端現(xiàn)在離墻的距離組成了直角三角形的兩條__直角邊__，斜邊是__梯子的長度__，根據(jù)勾股定理可得：__(8－x)2＋(6＋x)2＝102__，解得__x1＝0，x2＝2__．【探究2】x1＝0是否符合題意．∵x＝0時，梯子沒有下滑，∴__x＝0不合題意，舍去，x＝2__．問題2：你能根據(jù)(1)的分析解答出(2)嗎？(2)解：梯子底端原來離墻的距離為eq\r(132－122)＝eq\r(25)＝5(m).設(shè)梯子頂端下滑xm時，梯子底端滑動的距離和它相等．由題意，得(12－x)2＋(5＋x)2＝132，解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝7.答：梯子頂端下滑7m時，梯子底端滑動的距離和它相等．歸納：列方程解應(yīng)用題的步驟是①審；②設(shè)；③列；④解；⑤驗(yàn)；⑥答．◆活動3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P52例1)如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200nmile處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200nmile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC的中點(diǎn)．一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦．已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時補(bǔ)給船航行了多少海里？(結(jié)果精確到0.1nmile)【方法指導(dǎo)】(1)要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？(2)怎樣建立含未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？(3)利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？(4)選定直角三角形后，三條邊長都是已知的嗎？解：連接DF.∵AD＝CD，BF＝CF，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AB，且DF＝eq\f(1,2)AB.∵AB⊥BC，AB＝BC＝200nmile，∴DF⊥BC，DF＝100nmile，BF＝100nmile.設(shè)相遇時補(bǔ)給船航行了xnmile，那么DE＝xnmile，AB＋BE＝2xnmile，EF＝AB＋BF－(AB＋BE)＝(300－2x)nmile.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2＝1002＋(300－2x)2，整理，得3x2－1200x＋100000＝0.解這個方程，得x1＝200－eq\f(100\r(6),3)≈118.4，x2＝200＋eq\f(100\r(6),3)(不合題意，舍去).答：相遇時補(bǔ)給船大約航行了118.4nmile.例2如圖是長方形雞場的平面示意圖，一邊靠墻，另外三邊用竹籬笆圍成，且竹籬笆總長為35m.(1)若所圍的面積為150m2，試求此長方形雞場的長和寬；(2)若墻長為18m，則(1)中長方形雞場的長和寬分別是多少？(3)能圍成面積為160m2的長方形雞場嗎？說說你的理由．【方法指導(dǎo)】(1)若設(shè)BC＝xm，則AB的長為eq\f(35－x,2)m，若設(shè)AB＝xm，則BC＝(35－2x)m，再利用題設(shè)中的等量關(guān)系，可求出(1)的解；(2)墻長為18m，意味著BC邊的長應(yīng)小于或等于18m，從而對(1)的結(jié)論進(jìn)行甄別即可；(3)可借助(1)的解題思路構(gòu)建方程，依據(jù)方程的根的情況可得結(jié)論．解：(1)設(shè)BC＝xm，則AB＝CD＝eq\f(35－x,2)m.依題意可列方程為x·eq\f(35－x,2)＝150，整理，得x2－35x＋300＝0.解這個方程，得x1＝20，x2＝15.當(dāng)BC＝20m時，AB＝CD＝7.5m，當(dāng)BC＝15m時，AB＝CD＝10m.即這個長方形雞場的長與寬分別為20m，7.5m或15m，10m；(2)當(dāng)墻長為18m時，顯然BC＝20m時，所圍成的雞場會在靠墻處留下一個缺口，不合題意，應(yīng)舍去，此時所圍成的長方形雞場的長與寬只能是15m，10m；(3)不能圍成面積為160m2的長方形雞場．理由如下：設(shè)BC＝xm，則AB＝eq\f(35－x,2)m．依題意可列方程為x·eq\f(35－x,2)＝160，整理，得x2－35x＋320＝0.此時Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0，原方程沒有實(shí)數(shù)根，從而知用35m的籬笆按圖示方式不可能圍成面積為160m2的雞場．◆活動4隨堂練習(xí)1．直角三角形的兩條直角邊的和為7，面積是6，則斜邊長為(B)A．eq\r(37)B．5C．eq\r(38)D．72．從正方形鐵皮的一邊切去一個2cm寬的長方形，若余下的長方形面積是48cm2，則原來正方形鐵皮的面積是__64__cm2__．3．課本P53隨堂練習(xí)解：設(shè)相遇時用的時間為x，依題意可列方程為(3x)2＝(7x－10)2－102，整理，得2x2－7x＝0.解這個方程，得x1＝0(