第二章環(huán)路跟蹤性能第一節(jié)線性相位模型與傳遞函數(shù)第二節(jié)環(huán)路暫態(tài)響應(yīng)第三節(jié)環(huán)路穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)第四節(jié)環(huán)路穩(wěn)定性與參數(shù)設(shè)計(jì)第五節(jié)環(huán)路非線性跟蹤性能習(xí)題第一節(jié)線性相位模型與傳遞函數(shù)

一、一般形式

鎖相環(huán)路相位模型的一般形式如圖1-13所示,相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程如(1-28)式。因?yàn)榄h(huán)路應(yīng)用了正弦特性的鑒相器,所以模型與方程都是非線性的。在環(huán)路的同步狀態(tài)下,瞬態(tài)相差θe(t)總是很小的,鑒相器工作在如圖2-1鑒相特性的零點(diǎn)附近。由圖可見(jiàn),零點(diǎn)附近的特性曲線可以用一條斜率等于正弦特性零點(diǎn)處斜率的直線來(lái)進(jìn)行近似。這樣不會(huì)引起明顯的誤差,θe(t)在±30°之內(nèi)的誤差不大于5%。因?yàn)閳D2-1正弦鑒相特性近似為線性鑒相特性用Kdθe(t)取代動(dòng)態(tài)方程(1-28)式中的Udsinθe(t)就得到了線性化動(dòng)態(tài)方程

(2-1)

再令環(huán)路增益

(2-2)

則方程為

(2-3)

相應(yīng)的線性相位模型如圖2-2(a)所示。圖2-2鎖相環(huán)路的線性相位模型(a)線性相位模型；(b)復(fù)頻域表示上述方程與模型都是時(shí)域表達(dá)形式。不難導(dǎo)出其復(fù)頻域的表達(dá)形式,動(dòng)態(tài)方程為

sqe(s)=sq1(s)－KF(s)qe(s)

(2-4)

式中qe(s)、q1(s)為(2-3)式中qe(t)、q1(t)的拉氏變換,(2-3)式中的F(p)是環(huán)路濾波器的傳輸算子,而(2-4)式中的F(s)則為環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)。復(fù)頻域的相位模型則如圖2-2(b)所示。當(dāng)研究在鎖相環(huán)路反饋支路開路狀態(tài)下,由輸入相位q1(t)驅(qū)動(dòng)所引起輸出相位q2(t)的響應(yīng)時(shí),則應(yīng)討論開環(huán)傳遞函數(shù)Ho(s),其定義為

(2-5)

由圖2-2(b)可求得鎖相環(huán)路的開環(huán)傳遞函數(shù)

(2-6)當(dāng)研究在鎖相環(huán)路閉環(huán)狀態(tài)下,由輸入相位q1(t)驅(qū)動(dòng)所引起的輸出相位q2(t)的響應(yīng)時(shí),則應(yīng)討論閉環(huán)傳遞函數(shù),其定義為

(2-7)

由圖

2-2(b)可知,鎖相環(huán)路的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(2-8)當(dāng)研究在鎖相環(huán)路閉環(huán)狀態(tài)下,由輸入相位q1(t)驅(qū)動(dòng)所引起的誤差相位qe(t)的響應(yīng)時(shí),則應(yīng)研究誤差傳遞函數(shù),其定義為

(2-9)

由圖2-2(b)可求得鎖相環(huán)路的誤差傳遞函數(shù)

(2-10)開環(huán)傳遞函數(shù)Ho(s)、閉環(huán)傳遞函數(shù)H(s)和誤差傳遞函數(shù)He(s)是研究鎖相環(huán)路同步狀態(tài)性能最常用的三個(gè)傳遞函數(shù),三者之間的關(guān)系為

(2-11)

(2-12)

(2-13)二、二階鎖相環(huán)路的線性動(dòng)態(tài)方程與傳遞函數(shù)

當(dāng)采用RC積分濾波器作為環(huán)路濾波器時(shí),據(jù)(1-18)式,它的傳遞函數(shù)為

(2-14)

將其代入動(dòng)態(tài)方程(2-4)式,得此種二階鎖相環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程為

(2-15)由(2-15)式可直接導(dǎo)出誤差傳遞函數(shù)

(2-16)

據(jù)(2-13)式可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)

(2-17)據(jù)(2-11)式可求出開環(huán)傳遞函數(shù)

(2-18)

若將F(s)直接代入環(huán)路傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式(2-6)、(2-8)和(2-10)式也可得到同樣的結(jié)果。第二節(jié)環(huán)路暫態(tài)響應(yīng)

一、典型二階系統(tǒng)的性能參數(shù)

二階系統(tǒng)在電子技術(shù)中是最常見(jiàn)的,例如圖2-3所示的RLC電路。

應(yīng)用克?；舴蚨?可以建立方程

(2-19)

(2-20)圖2-3

RLC電路設(shè)初始條件為零,經(jīng)拉氏變換得

(2-21)

(2-22)將(2-22)式代入(2-21)式可得

(2-23)

可見(jiàn)這是一個(gè)二階線性微分方程,相應(yīng)的時(shí)域表達(dá)形式可寫成

(2-24)習(xí)慣上,常用無(wú)阻尼振蕩頻率和阻尼系數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的性能。這兩個(gè)參數(shù)的符號(hào)用ωn——無(wú)阻尼振蕩頻率［rad/s］和ζ——阻尼系數(shù)［無(wú)量綱］表示。(2-24)式中令

(2-25)

(2-26)

則(2-24)式可以寫成

(2-27)當(dāng)輸入ui(t)為單位階躍電壓,在ζ小于1時(shí),可求得方程的解為

(2-28)

由此解可以看出,當(dāng)ζ<1時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)是振蕩型的,振蕩頻率為

(2-29)

當(dāng)系統(tǒng)無(wú)阻尼,即ζ=0時(shí),振蕩頻率ωd=ωn,這就是稱ωn為無(wú)阻尼振蕩頻率的原因。此外,(2-28)式還表明,振蕩的幅度是按指數(shù)變化,隨時(shí)間而衰減的。從物理上可以理解為這種衰減是系統(tǒng)中的阻尼元件消耗能量所造成的。RLC電路中的耗能元件顯然就是電阻R,阻尼系數(shù)ζ一定與R有關(guān)。事實(shí)上參數(shù)ζ和ωn常用于表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由(2-23)式可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(2-30)

將(2-25)、(2-26)式代入(2-30)式得

(2-31)圖2-4二階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)二、環(huán)路誤差的時(shí)間響應(yīng)

當(dāng)環(huán)路處于鎖定狀態(tài)時(shí),輸出頻率與輸入頻率相同,兩者之間只有一穩(wěn)態(tài)相差。在此條件下,若輸入信號(hào)發(fā)生相位或頻率的變化(干擾或調(diào)制所引起的),通過(guò)環(huán)路自身的控制作用,環(huán)路輸出信號(hào)也即壓控振蕩器的振蕩頻率和相位會(huì)跟蹤輸入信號(hào)的變化。理想的跟蹤,輸出信號(hào)的頻率和相位應(yīng)時(shí)時(shí)與輸入信號(hào)相同。其實(shí)不然,環(huán)路有一個(gè)時(shí)間的跟蹤過(guò)程。首先出現(xiàn)暫態(tài)過(guò)程,有暫態(tài)相位誤差；其次在到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)之后,據(jù)輸入信號(hào)形式的不同,有不同的穩(wěn)態(tài)相位誤差。

1.輸入相位階躍

輸入相位階躍時(shí)

(2-32)

其拉氏變換

(2-33)

(1)理想二階鎖相環(huán)路。據(jù)表2-3的誤差傳遞函數(shù),可求出其誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-34)

將上式分母因式分解并展成部分分式

(2-35)式中s1與s2為此二階系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)

而對(duì)(2-35)式進(jìn)行拉氏反變換得按照阻尼系數(shù)ζ的值,可區(qū)分為三種不同情況：

(2-36)圖2-5理想二階鎖相環(huán)路對(duì)相位階躍輸入的誤差響應(yīng)曲線

(2)采用無(wú)源比例積分濾波器的二階鎖相環(huán)路。據(jù)表2-3的誤差傳遞函數(shù),可求出其誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-37)按照上述同樣的方法,將表示式的分母因式分解,展成部分分式,進(jìn)行拉氏反變換可得

(2-38)

2.輸入頻率階躍

輸入頻率階躍時(shí)

(2-39)

其拉氏變換

(2-40)

(1)理想二階鎖相環(huán)路。用表2-3給出的誤差傳遞函數(shù)和

(2-40)式可以得到環(huán)路相位誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-41)按照同樣的步驟,將分母的因式進(jìn)行分解,然后展成部分分式,并進(jìn)行拉氏反變換,得

(2-42)圖2-6理想二階環(huán)對(duì)輸入頻率階躍的相位誤差響應(yīng)曲線(a)時(shí)間前段；(b)時(shí)間后段

【計(jì)算舉例

】

假如環(huán)路的輸入信號(hào)頻率階躍為100Hz,阻尼系數(shù)ζ=2,

測(cè)得最大相位誤差為0.44rad。問(wèn)40ms之后的相位誤差為多大？

由圖2-6(a)可見(jiàn),當(dāng)ζ=2時(shí),最大相差

故在40ms之后,ωnt=314×40×10－3=12.56rad,由圖2-6(b)查得

因此,40ms后的θe(t)為

(2)采用RC積分濾波器的二階鎖相環(huán)路。由表2-3給出的誤差傳遞函數(shù)和(2-40)式可以得到環(huán)路相位誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-43)式中右邊第一項(xiàng)顯然就是(2-41)式右邊的項(xiàng),所增加的響應(yīng)只是(2-43)式右邊的第二項(xiàng)。因此可算出總的響應(yīng)為

(2-44)圖2-7采用RC積分濾波器二階環(huán)對(duì)輸入頻率階躍的相位誤差響應(yīng)曲線

(3)采用無(wú)源比例積分濾波器的二階鎖相環(huán)路。用表2-3的誤差傳遞函數(shù)和(2-40)式可以得到環(huán)路相位誤差的拉氏變換

(2-45)與(2-41)式相比同樣也多了右邊第二項(xiàng),因此可算得總的響應(yīng)：

(2-46)

3.輸入頻率斜升

輸入頻率斜升時(shí)

(2-47)

其拉氏變換

(2-48)

(1)理想二階鎖相環(huán)路。環(huán)路誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-49)經(jīng)拉氏反變換得：

(2-50)圖2-8理想二階環(huán)對(duì)輸入頻率斜升的相位誤差響應(yīng)曲線

(2)采用RC積分濾波器的二階鎖相環(huán)路。環(huán)路相位誤差響應(yīng)的拉氏變換

(2-51)此式比(2-49)式多了右邊的第二項(xiàng)。經(jīng)拉氏反變換得總的響應(yīng)為

(2-52)

(3)采用無(wú)源比例積分濾波器的二階鎖相環(huán)路。環(huán)路相位誤差的拉氏變換為

(2-53)經(jīng)拉氏反變換得：

(2-54)

【計(jì)算舉例

】

采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán),已知參數(shù)K=2π×

105rad/s,ωn=102rad/s,ζ=1/2,fo=10MHz。

當(dāng)t<0時(shí),環(huán)路鎖定在頻率為10MHz的調(diào)頻振蕩器的輸出信號(hào)上。從t=0的瞬時(shí)起,調(diào)頻振蕩器的頻率以斜率R=2π×103rad/s2隨時(shí)間線性變化。

因?yàn)棣豱／K比1小得多,所以(2-54)式近似為(2-50)式再加上一線性增長(zhǎng)項(xiàng)(R/K)t。

當(dāng)t≤10/ωn=0.1s時(shí),可以忽略線性增長(zhǎng)項(xiàng),因?yàn)樗粫?huì)大于10－3rad。因此,可以用圖2-8查出ζ=1/2曲線的相位誤差。最大暫態(tài)相位誤差出現(xiàn)在t=3.7/ωn=37ms,此時(shí)

當(dāng)t>0.16s時(shí),環(huán)路的暫態(tài)過(guò)程結(jié)束,相位誤差可近似為θe(t)達(dá)到π/2的時(shí)間可由此導(dǎo)出

解得

t=94.2s

這意味著,環(huán)路可以維持94.2s的跟蹤狀態(tài),其間,存在頻率誤差三、穩(wěn)態(tài)相位誤差

前面討論了三種鎖相環(huán)路分別在三種不同的輸入暫態(tài)信號(hào)下相位誤差的時(shí)間響應(yīng)。這個(gè)時(shí)間響應(yīng)既包括了暫態(tài)響應(yīng),也包括了時(shí)間趨于無(wú)限大時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即

因此,只要令前面分析得到的響應(yīng)θe(t)中隨時(shí)間指數(shù)衰減的暫態(tài)項(xiàng)為零,就可以得到環(huán)路的穩(wěn)態(tài)相差。

此外,應(yīng)用拉氏變換的終值定理,可以不經(jīng)拉氏反變換,直接從θe(s)求出環(huán)路的穩(wěn)態(tài)相差。

討論一：

對(duì)于同一種環(huán)路來(lái)說(shuō),輸入信號(hào)變化得越快,跟蹤性能就

越差。

討論二：

同一信號(hào)加入不同的鎖相環(huán)路,其穩(wěn)態(tài)相差是不同的。對(duì)于相位階躍信號(hào),各種環(huán)路都能無(wú)誤差地跟蹤。對(duì)于頻率階躍信號(hào),一階環(huán)及采用RC積分濾波器或采用無(wú)源比例積分濾波器的非理想二階環(huán),將有固定的穩(wěn)定相差,而理想的二階環(huán)和三階環(huán)則能無(wú)誤差地跟蹤。對(duì)于頻率斜升信號(hào),一階環(huán)以及采用RC

積分濾波器或采用無(wú)源比例積分濾波器的非理想二階環(huán)已無(wú)法跟蹤,理想二階環(huán)跟蹤時(shí)有固定的穩(wěn)態(tài)相差,理想三階環(huán)則可無(wú)誤差地跟蹤。

討論三：

關(guān)于環(huán)路的“階”與“型”。從討論二中我們看到,對(duì)于同一種信號(hào)而言,環(huán)路跟蹤性能的好壞似乎并不取決于“階”。當(dāng)輸入頻率階躍時(shí)

用終值定理求解

(2-55)一階環(huán)具有一個(gè)理想積分環(huán)節(jié),即壓控振蕩器的理想積分作用,其開環(huán)傳遞函數(shù)具有一個(gè)處于原點(diǎn)的極點(diǎn)

誤差傳遞函數(shù)

將此誤差傳遞函數(shù)代入(2-55)式得采用RC積分濾波器或無(wú)源比例積分濾波器的非理想二階環(huán),因環(huán)路濾波器未引入新的理想積分環(huán)節(jié),故其開環(huán)傳遞函數(shù)中仍只有一個(gè)處于原點(diǎn)的極點(diǎn),穩(wěn)態(tài)跟蹤性能仍得不到改善。以采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán)為例,其開環(huán)傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)

將此誤差傳遞函數(shù)代入(2-55)式得對(duì)于理想二階環(huán),環(huán)中增加了一個(gè)理想積分環(huán)節(jié),開環(huán)傳遞函數(shù)多了一個(gè)處于原點(diǎn)的極點(diǎn),即

誤差傳遞函數(shù)即為

將此誤差傳遞函數(shù)代入(2-55)式得

討論四：

表2-4中有些情況下的穩(wěn)態(tài)相差等于零,鑒相器輸出的誤差電壓ud(t)=0,那么環(huán)路的跟蹤狀態(tài)是如何得以維持的呢?

對(duì)于輸入相位階躍而言,因?yàn)樵跁簯B(tài)過(guò)程中誤差電壓ud(t)≠0,壓控振蕩器的相位已得到調(diào)整,最終并不再要求壓控振蕩器的頻率得到調(diào)整,可以允許控制電壓uc(t)=0,所以它的穩(wěn)定狀態(tài)還不難理解。第三節(jié)環(huán)路穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)

一、環(huán)路對(duì)正弦相位信號(hào)的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)

二階鎖相環(huán)路在同步狀態(tài)下經(jīng)線性化近似之后,作為一個(gè)二階線性系統(tǒng),不難求得它的頻率響應(yīng)。要著重指出的是，研究鎖相環(huán)路的頻率響應(yīng)不是研究它對(duì)輸入電壓頻譜的響應(yīng),而是研究它對(duì)輸入相位頻譜的響應(yīng)。

輸入正弦相位信號(hào)是指輸入相位信號(hào)θ1(t)是受正弦調(diào)制的,可以是調(diào)頻信號(hào)也可以是調(diào)相信號(hào)。以輸入正弦調(diào)相信號(hào)為例,輸入信號(hào)的瞬時(shí)電壓可表示為就此電壓信號(hào)ui(t)本身來(lái)說(shuō),其頻譜分量是很復(fù)雜的,但以載波相位ωot為參考的瞬時(shí)相位

θ1(t)=misinΩt

卻是單頻Ω的相移量。

對(duì)于鎖相環(huán)路來(lái)說(shuō),頻率響應(yīng)H(jΩ)表明了在頻率為Ω的正弦輸入相位θ1(t)的作用之下,環(huán)路輸出相位θ2(t)的幅度、相位與輸入相位θ1(t)之間的關(guān)系,即

θ2(jΩ)=H(jΩ)θ1(jΩ)

(2-56)設(shè)鎖相環(huán)路的輸入電壓為

其輸入相位即為

(2-57)

這是一個(gè)頻率為Ω的正弦輸入相位,此輸入相位的幅度是mi,初相是θi。由于鎖相環(huán)路已近似為線性系統(tǒng),在此正弦輸入相位作用之下,輸出相位一定是同頻的正弦相位,因此,它可表示為

(2-58)

式中mo是輸出相位的幅度,它與輸入相位幅度mi之間的關(guān)系

取決于閉環(huán)頻率響應(yīng)H(jΩ)的模,即

(2-59)

(2-58)式中的θo是輸出相位的初相,它等于輸入相位的初相再加上閉環(huán)頻率響應(yīng)H(jΩ)的相位,即

(2-60)在單一頻率的正弦輸入相位作用之下,環(huán)路的誤差相位θe(t)也必然是同頻的正弦相位。它可表示為

(2-61)

正弦誤差相位θe(t)的幅度m以及相位θ與輸入相位之間的關(guān)系

取決于環(huán)路的誤差頻率響應(yīng)He(jΩ)。它們之間的關(guān)系為

(2-62)

(2-63)圖2-9

θ2(t)與θ1(t)的關(guān)系二、二階鎖相環(huán)的頻率響應(yīng)

下面討論三種常用的二階環(huán)的頻率響應(yīng)。

1.理想的二階環(huán)

用s=jΩ代入理想的二階環(huán)路的閉環(huán)傳遞函數(shù),可得到它

的閉環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-64)

引入?yún)⒘縿t可改寫成

(2-65)

其模和相位分別為

(2-66)

(2-67)圖2-10理想二階環(huán)的閉環(huán)對(duì)數(shù)振幅頻率響應(yīng)圖2-11理想二階環(huán)的閉環(huán)相位頻率響應(yīng)令

(2-68)

得方程

從中可解出

(2-69)用類似的方法可求得誤差頻率響應(yīng)

(2-70)

相應(yīng)的振幅頻率響應(yīng)和相位頻率響應(yīng)分別為

(2-71)

(2-72)圖2-12理想二階環(huán)的誤差對(duì)數(shù)振幅頻率響應(yīng)圖2-13理想二階環(huán)的誤差相位頻率響應(yīng)

2.采用RC積分濾波器的二階環(huán)

用上面相同的方法,得到閉環(huán)頻率響應(yīng)

(2-73)

(2-74)

(2-75)

可見(jiàn),它呈現(xiàn)低通特性。誤差頻率響應(yīng)為

(2-76)

(2-77)

(2-78)

作出伯德圖,如圖2-14和圖2-15所示?？梢?jiàn),它呈現(xiàn)高通特性。圖2-14采用RC積分濾波器二階環(huán)的誤差對(duì)數(shù)振幅頻率響應(yīng)圖2-15采用RC積分濾波器二階環(huán)的誤差相位頻率響應(yīng)

3.采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán)

閉環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-79)

(2-80)

(2-81)誤差頻率響應(yīng)為

(2-82)

(2-83)

(2-84)三、調(diào)制跟蹤與載波跟蹤

1.調(diào)制跟蹤

當(dāng)Ω小于ωn,即處于閉環(huán)低通特性的通帶之內(nèi)時(shí),θ2(t)將跟蹤θ1(t)的瞬時(shí)變化,壓控振蕩器的輸出電壓uo(t)也就成為一個(gè)正弦調(diào)相信號(hào)

這種情況下,環(huán)內(nèi)壓控振蕩器的輸出電壓uo(t)跟蹤了輸入電壓ui(t)的相位調(diào)制。這種跟蹤狀態(tài)稱為調(diào)制跟蹤。在調(diào)制跟蹤狀態(tài),誤差相位θe(t)=θ1(t)－θ2(t)一定是比較小的。設(shè)有一角頻率為Ω、初相為θi的正弦調(diào)制信號(hào)

(2-85)

用它來(lái)調(diào)制一個(gè)角頻率等于ωo的載波,那么可以得到瞬時(shí)角頻率為

(2-86)

的已調(diào)波。式中Kt［rad/s·V］為調(diào)制器的靈敏度；Δω=Kt·UΩ

為峰值頻偏。已調(diào)波的瞬時(shí)相位為調(diào)頻波的完整表達(dá)式為

(2-87)此信號(hào)加到調(diào)制跟蹤鎖相環(huán)路,環(huán)內(nèi)壓控振蕩器的輸出電壓uo(t)將跟蹤輸入的相位調(diào)制,于是得到

(2-88)

即輸出相位

(2-89)根據(jù)壓控振蕩器的控制特性

(2-90)

用Δω=KtUΩ代入上式得

(2-91)圖2-16調(diào)制跟蹤環(huán)用作鑒頻器

2.載波跟蹤

當(dāng)Ω大于ωn,即調(diào)制頻率處于閉環(huán)低通特性的通帶之外時(shí),θ2(t)已不能跟蹤θ1(t)的變化。此時(shí),壓控振蕩器就沒(méi)有相位調(diào)制,是一個(gè)未調(diào)載波

(2-92)圖2-17載波跟蹤環(huán)用作同步檢波

【計(jì)算舉例

】

設(shè)計(jì)一用作鑒頻器的二階調(diào)制跟蹤環(huán)。信號(hào)載頻fo=90～100MHz,最大調(diào)制角頻率Ωm=2π×3×103rad/s,K=2π×104rad/s,試計(jì)算環(huán)路濾波器參數(shù)。

選用有源比例積分濾波器的二階環(huán),其閉環(huán)頻率響應(yīng)低通特性的截止頻率Ωc可據(jù)(2-69)式計(jì)算。按調(diào)制跟蹤環(huán)設(shè)計(jì)，令

Ωc=Ωm

則據(jù)此可計(jì)算濾波器的時(shí)間常數(shù)選C=0.22μF,則

取電阻標(biāo)稱值R1=3.3kΩ,R2=680Ω。第四節(jié)環(huán)路穩(wěn)定性與參數(shù)設(shè)計(jì)

一、穩(wěn)定性問(wèn)題及其判別方法

鎖相環(huán)路是一個(gè)反饋控制系統(tǒng),它一定存在是否穩(wěn)定的問(wèn)題。如本章第二節(jié)中所述的二階線性系統(tǒng)那樣,一旦阻尼系數(shù)ζ小于零,系統(tǒng)就變成了振蕩系統(tǒng),當(dāng)然就不穩(wěn)定了。前面討論環(huán)路的各項(xiàng)跟蹤性能時(shí),都假設(shè)環(huán)路處于同步狀態(tài),不言而喻,有一個(gè)前提條件,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。那么,常用的二階鎖相環(huán)路是否都是穩(wěn)定的呢？圖2-18用開環(huán)伯德圖判定閉環(huán)穩(wěn)定性(a)閉環(huán)穩(wěn)定；(b)閉環(huán)不穩(wěn)定二、常用二階鎖相環(huán)路的穩(wěn)定性與參數(shù)設(shè)計(jì)

1.理想二階環(huán)

此種環(huán)路的開環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-93)這里包括兩個(gè)理想積分因子。其中一個(gè)是壓控振蕩器的理想積分作用,另一個(gè)是環(huán)路濾波器的理想積分作用。這兩者引起開環(huán)相移達(dá)到π時(shí),就有可能導(dǎo)致負(fù)反饋控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。好在式中還有一個(gè)相位超前校正因子(1+jWt2),這就保證了開環(huán)相移不會(huì)達(dá)到π,保證了環(huán)路的穩(wěn)定。據(jù)(2-93)式作出伯德圖如圖2-19所示。圖2-19理想二階環(huán)的開環(huán)伯德圖(a)增益圖；(b)相位圖若選擇

(2-94)

參看表2-2,此環(huán)路有下列關(guān)系：

(2-95)

據(jù)上兩式可得

(2-96)

此時(shí)環(huán)路已相當(dāng)穩(wěn)定,具有π/4以上的相位余量?？紤]了這兩個(gè)不可避免的寄生相移因素之后,(2-93)式的開環(huán)頻率響應(yīng)修正為

(2-97)

這兩個(gè)寄生相移顯然對(duì)環(huán)路的穩(wěn)定是不利的。

【計(jì)算舉例

】

理想二階環(huán),鑒相器靈敏度Kd=10V/rad,寄生時(shí)間常數(shù)τ=15.9μs(即－3dB截止頻率Fc=1/(2pt)=10kHz),壓控振蕩器靈敏度Ko=10kHz/V,其寄生時(shí)間常數(shù)t‘=31.8μs(即－3dB截止頻率Fc′=1/(2pt′)=5kHz),環(huán)路濾波器時(shí)間常數(shù)t1=62.8s,t2=0.02s。

在未考慮寄生相移時(shí),用(2-93)式可近似計(jì)算增益臨界頻

率ΩT

令|Ho(jΩT)|=1,可得用此代入(2-97)式,計(jì)算在此頻率上的相移量

故相位余量為

180°－104.54°=75.46°

是足夠穩(wěn)定的。

2.采用RC積分濾波器的二階環(huán)

此種環(huán)路的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2-98)

顯然開環(huán)相移不能達(dá)到π,環(huán)路肯定是穩(wěn)定的。但為了保證具有足夠的相位余量,τ1不能選得過(guò)大。

據(jù)(2-98)式作出開環(huán)伯德圖,如圖2-20。按表2-2知,此環(huán)具有下列關(guān)系：

(2-99)

故隨τ1加大,ζ將會(huì)減小,導(dǎo)致穩(wěn)定余量減小。圖2-20采用RC積分濾波器的二階環(huán)的開環(huán)伯德圖(a)增益圖；(b)相位圖

【計(jì)算舉例】

若環(huán)路增益K=105rad/s,RC濾波器的時(shí)間常數(shù)τ1=10s,求環(huán)路的相位余量。據(jù)(2-98)式得

相位余量為180°－179.94°=0.06°。顯然相位余量過(guò)少?？紤]了寄生相移之后,環(huán)路實(shí)際上是不穩(wěn)定的。

3.采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán)

此種環(huán)路的開環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-100)

與(2-98)式相比多了一個(gè)相位超前校正因子(1+jWt2)。所以這個(gè)環(huán)路更趨于穩(wěn)定。圖2-21采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán)的開環(huán)伯德圖(a)增益圖；(b)相位圖

【計(jì)算舉例

】

采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán),K=105rad/s,ωn=100rad/s,ζ=1。應(yīng)如何確定濾波器參數(shù)？

因?yàn)棣?n=K/t1,所以

又據(jù)表2-2增益臨界頻率ΩT近似為

該處的相移量三、三階鎖相環(huán)

1.三階3型環(huán)

設(shè)采用兩節(jié)理想積分濾波器作環(huán)路濾波器，如圖2-22所示。環(huán)路濾波器傳遞函數(shù)為

(2-101)

對(duì)應(yīng)的開環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-102)圖2-22三階3型環(huán)路濾波器電路圖由(2-102)式看出，環(huán)路包含三個(gè)理想積分因子、兩個(gè)相位超前校正因子。做出的伯德圖如圖2-23所示。由圖可以看出，相位特性在－3π/2至－π/2之間，環(huán)路是否穩(wěn)定要看1/τ2的選擇。顯然，在Ω=1/τ2頻點(diǎn)上，相移為－π，所以1/τ2是一個(gè)相位臨界頻率Ωk，應(yīng)當(dāng)保證在Ωk上開環(huán)增益為

(2-103)

才能保證環(huán)路是穩(wěn)定的。由(2-103)式可得三階3型環(huán)路穩(wěn)定條件為

(2-104)圖2-23三階3型環(huán)的伯德圖(a)增益圖；(b)相位圖

2.三階2型環(huán)

若采用圖2-24所示的環(huán)路濾波器電路，其傳輸函數(shù)為

(2-105)

式中，τ1=R1C1，τ2=R2(C1+C2)，τ3=R2C2。圖2-24二階環(huán)路濾波器電路圖環(huán)路開環(huán)頻率響應(yīng)為

(2-106)圖2-25三階2型環(huán)開環(huán)伯德圖(a)增益圖；(b)相位圖分析表明，用W2與W3表示的最佳增益臨界頻率

為在WT上得到足夠的相位余量，通常選擇W3=10W2，從而有

(2-107)

【計(jì)算舉例】

若已知三階2型環(huán)路的環(huán)路增益K=2π×104rad/s，試設(shè)計(jì)環(huán)路濾波器的參數(shù)，使得環(huán)路的3dB帶寬Wc=2π×220rad/s。

由于在三階2型環(huán)路中，起主導(dǎo)作用的是理想積分濾波器。因此可根據(jù)理想二階環(huán)WT值來(lái)選擇W2與W3。在理想二階環(huán)中，WT=Kt2/t1，在ζ=0.707時(shí)，環(huán)路3dB帶寬WC=2.06ωn，所以從而有

(2-108)選擇W3=10W2，則由(2-107)式有

又由得τ2≈0.0035s，由得τ3≈0.00035s。

由于W3>WT，在環(huán)路中起輔助濾波作用的

因子對(duì)WT的影響可以忽略，但對(duì)相位余量的影響不能忽略。

由得到

相位余量第五節(jié)環(huán)路非線性跟蹤性能

一、鎖定時(shí)的穩(wěn)態(tài)相差

非線性跟蹤的穩(wěn)態(tài)相差不能再用線性化方程(2-1)式來(lái)求解,而必須從動(dòng)態(tài)方程的一般形式出發(fā),即

(2-109)

在輸入固定頻率的條件下

(2-110)在環(huán)路鎖定的條件之下,瞬時(shí)頻差等于零。即

(2-111)

將(2-111)和(2-110)式代入(2-109)式可求出鎖相環(huán)路鎖定條件下穩(wěn)態(tài)相差的表達(dá)式

(2-112)

對(duì)于理想二階環(huán),則用代入(2-112)式,得

所以

θe(t)=0(2-113)

即鎖定后穩(wěn)態(tài)相差為零。對(duì)于采用RC積分濾波器的二階環(huán),則用

代入(2-112)式,得

所以

(2-114)

即存在穩(wěn)態(tài)相差,且隨著Δwo的加大而加大。由(2-114)式可見(jiàn),

當(dāng)Δwo>K時(shí)方程無(wú)解,此時(shí)環(huán)路就失鎖。

對(duì)于采用無(wú)源比例積分濾波器的二階環(huán),則用

代入方程(2-112)式，得因?yàn)殒i定時(shí)故上式可化簡(jiǎn)為

所以

(2-115)

此結(jié)果與(2-114)式相同,說(shuō)明這兩種環(huán)路同是二階1型環(huán),穩(wěn)態(tài)相差也就相同。二、同步帶

前面已證明,理想二階環(huán)鎖定時(shí)的穩(wěn)態(tài)相差為零。這就是說(shuō),在鎖定條件之下,緩慢加大固有頻差,直至Dwo到達(dá)無(wú)限大,環(huán)路相差一直是零。這樣就可導(dǎo)出環(huán)路的同步帶等于無(wú)限大,即

(2-116)采用RC積分濾波器和采用無(wú)源比例積分濾波器的環(huán)路同屬于二階1型環(huán),鎖定時(shí)的穩(wěn)態(tài)相差如(2-114)和(2-115)式。從這兩式可以看到,允許Dwo／K的最大值為1。當(dāng)Dwo／K>1時(shí),qe(t)就無(wú)解。所以,這兩種環(huán)路的同步帶為

(2-117)三、最大同步掃描速率

在輸入頻率斜升的條件下

代入環(huán)路方程的一般形式(2-109)式,再考慮同步條件

于是得到將理想比例積分濾波器的條件代入上

式,得同步條