專題四立體幾何建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系[高考點(diǎn)撥]立體幾何專題是浙江新高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)和空間位置關(guān)系及空間角，一大題?？伎臻g位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求．本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能．突破點(diǎn)8空間幾何體表面積或體積的求解(對應(yīng)學(xué)生用書第29頁)[核心知識提煉]提煉1求解幾何體的表面積或體積 (1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算． (2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.提煉2球與幾何體的外接與內(nèi)切 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長為a，由正四面體本身的對稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a. (2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，O為其對稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為圖8-1 ①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ＝eq\f(a,2)； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝eq\f(\r(2)a,2)； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝eq\f(\r(3)a,2).[高考真題回訪]回訪1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖1．(2015·浙江高考)如圖8-2，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點(diǎn)P滿足∠PAB＝30°，則點(diǎn)P的軌跡是()圖8-2 A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 C[因為∠PAB＝30°，所以點(diǎn)P的軌跡為以AB為軸線，PA為母線的圓錐面與平面α的交線，且平面α與圓錐的軸線斜交，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓．]2．(2014·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-3所示，則該幾何體的體積是()圖8-3 A．72cm3 B．90cm3 C．108cm3 D．138cm3 B[該幾何體為一個組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長方體，如圖所示．V＝V三棱柱＋V長方體＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．]3．(2013·浙江高考)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-4所示，則該幾何體的體積是()圖8-4 A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3 B[此幾何體為一個長方體ABCD-A1B1C1D1被截去了一個三棱錐A-DEF，如圖所示，其中這個長方體的長、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長分別為4、4、3，故其體積為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3))×4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．]回訪2幾何體的表面積或體積4．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8-5所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()圖8-5 A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3 C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3 A[由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是eq\r(2)的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， ∴該幾何體的體積 V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.]5．(2015·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8-6所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()圖8-6 A．8cm3 B．12cm3 C.eq\f(32,3)cm3D.eqD.eq\f(40,3)cm3 C[由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長為2cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長為2cm，高為2cm的正四棱錐，體積V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3)．]6．(2014·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-7所示，則此幾何體的表面積是()圖8-7 A．90cm2 B．129cm2 C．132cm2 D．138cm2 D[該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3cm,4cm,5cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(cm2)．]7．(2016·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8-8所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.圖8-8 8040[由三視圖還原幾何體如圖所示，下面長方體的長、寬都是4，高為2；上面正方體的棱長為2.所以該幾何體的表面積為(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；體積為4×4×2＋23＝40(cm3)．]8．(2013·浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8-9所示，則此幾何體的體積等于________cm3.圖8-9 24[由三視圖可知該幾何體為一個直三棱柱被截去了一個小三棱錐，如圖所示．三棱柱的底面為直角三角形，且直角邊長分別為3和4，三棱柱的高為5，故其體積V1＝eq\f(1,2)×3×4×5＝30(cm3)，小三棱錐的底面與三棱柱的上底面相同，高為3，故其體積V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝6(cm3)，所以所求幾何體的體積為30－6＝24(cm3)．](對應(yīng)學(xué)生用書第31頁)熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解.【例1】(1)如圖8-10，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()圖8-10 A．17π B．18π C．20π D．28π (2)如圖8-11，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()【導(dǎo)學(xué)號：】圖8-11 A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5) C．90 D．81 (1)A(2)B[(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面積為eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3eq\r(5))×2＝54＋18eq\r(5).故選B.][方法指津]1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解．2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計算求解．[變式訓(xùn)練1](1)某幾何體的三視圖如圖8-12所示，則該幾何體的體積為()圖8-12 A.eq\f(13,3)＋eq\f(π,3) B．5＋eq\f(π,2) C．5＋eq\f(π,3) D.eq\f(13,3)＋eq\f(π,2) (2)(2017·溫州市普通高中4月高考模擬考試12)某幾何體的三視圖如圖8-13所示，則此幾何體的體積是________，表面積是________.【導(dǎo)學(xué)號：】圖8-13 (1)D(2)eq\f(8,3)6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5)[(1)由三視圖知該幾何體是由一個長方體，一個三棱錐和一個eq\f(1,4)圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝2×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＋eq\f(1,4)×π×12×2＝eq\f(13,3)＋eq\f(π,2). (2)由三視圖知，該幾何體為四棱錐，其底面是邊長為2的正方形，高為2，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3)，表面積S＝2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5).]熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)——球面上任意一點(diǎn)對直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解.【例2】(1)一個幾何體的三視圖如圖8-14所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖8-14 A.eq\f(8π,3) B.eq\f(16π,3) C.eq\f(48π,3) D.eq\f(64π,3) (2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V A．4π B.eq\f(9π,2) C．6π D.eq\f(32π,3) (1)D(2)B[(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S-ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2eq\r(3)，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2eq\r(3)－R|， 由球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝eq\r(OH2＋HB2)＝eq\r(|2\r(3)－R|2＋22)，解得R＝eq\f(4\r(3),3)，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).故選D. 法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S-ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS＝2eq\r(3)，由正視圖和側(cè)視圖可得HA＝HB＝HC＝2. 由幾何體的對稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑， 由點(diǎn)A在球面上可得SA⊥AP. 又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH. 在Rt△ASH中，SA＝eq\r(SH2＋AH2)＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4. 設(shè)球的半徑為R，則SP＝2R， 在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝2eq\r(3)×2R，解得R＝eq\f(4\r(3),3)， 所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×eq\f(16,3)＝eq\f(64π,3).故選D. (2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R.因為△ABC的內(nèi)切圓半徑為eq\f(6＋8－10,2)＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤eq\f(3,2)，所以Vmax＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.故選B.][方法指津]解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定.對于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來.[變式訓(xùn)練2](1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1【導(dǎo)學(xué)號：】 A.eq\f(40π,3) B.eq\f(40\r(30)π,27) C.eq\f(320\r(30)π,27) D．20π (2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖8-15(網(wǎng)格中每個正方形的邊長為1)，若這個幾何體的頂點(diǎn)