【初中數(shù)學(xué)】最經(jīng)典的九大解題方法，內(nèi)附例題，建議收

藏！

01

配方法

通過把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式

正整數(shù)次冪的和形式解決數(shù)學(xué)問題的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，

它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、

求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

例：用配方法將二次函數(shù)一般式變?yōu)轫旤c式

02

因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，是恒等變形的基礎(chǔ)，

它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著

重要的作用。

因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解

法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

例：用因式分解法解一元二次方程

03

換元法

把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新

的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

例：換元法化簡整式

04

判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程中，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變

形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應(yīng)

用。

韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求

這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對

稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

例：

05

待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定

的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的

值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待

定系數(shù)法。

它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

例:

06

構(gòu)造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元

素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，

架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，

我們稱為構(gòu)造法。

運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問

題的解決。

07

面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不

僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。

運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一

種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已

知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達(dá)到求證的結(jié)果。

所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，

有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

例：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，

垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．問：DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的

等量關(guān)系？并加以證明：

DE＋DF＝CG．

證明：連接AD，

則S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即

∵AB＝AC，

∴CG＝DE＋DF

08

幾何變換法

在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得

到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。

中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的

習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。

另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下

的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對稱。

例：

如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P、Q是BC上兩點，且滿足BP2＋CQ2＝PQ2，

則∠PAQ的度數(shù)是？

證明：做AD⊥AP,且AD=AP，連接DQ

09

反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這

個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命

題正確的一種方法。

反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不

只一種)。

用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形

式是有必要的，例如：

是/不是；

存在/不存在；

平行于/不平行于；

垂直于/不垂直于；

等于/不等于；

大(小)于/不大(小)于；

都是/不都是；

至少有一個/一個也沒有；

至少有n個/至多有(n一1)個；

至多有一個/至少有兩個；

唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，

否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。

導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公

式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。

例：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°”時，

應(yīng)先假設(shè)（）

A．有一個銳角小于45°

B．每一個銳角都小于45°

C．有一個銳角大于45°