2021-2022學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版）五上第七單元《植樹問題》-重難點(diǎn)題型【題型1兩端都植樹的問題】公式：總距離÷株距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1【例1】同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)240米的小路兩旁栽樹，每隔6米栽一棵(兩端都栽)，一共要栽多少棵樹?【變式1-1】在路邊安裝電線桿，每?jī)筛娋€桿之間相隔8米，從第一根到最后一根電線一共長(zhǎng)96米，一共安裝了（）根電線桿。A.11根B.12根C.13根D.14根【變式1-2】園林工人計(jì)劃在一條公路的一旁種37棵樹，每相鄰兩棵樹間隔5米。實(shí)際栽種了46棵樹（兩端的樹不動(dòng)），實(shí)際每相鄰兩棵樹間隔多少米？【變式1-3】在學(xué)校門前小路的兩旁，每隔5.8米放一盆菊花（兩端都放），從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了20盆。這條小路長(zhǎng)多少米？【題型2兩端都不植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)-1【例2】馬路一邊共栽了48棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲g栽一棵楊樹，共有（47）棵楊樹?！咀兪?-1】同學(xué)們?cè)谝粭l長(zhǎng)200米的小路一邊植樹，每隔8米栽一棵（兩端不栽）。一共要栽多少棵樹？【變式2-2】甲、乙兩地相距20千米，每隔4千米設(shè)一個(gè)站牌，甲、乙兩地之間(甲、乙兩地除外)一共設(shè)有多少個(gè)站牌？【變式2-3】一座橋長(zhǎng)116米，在橋的兩側(cè)欄桿上各安裝16塊花紋圖案，圖案的長(zhǎng)為2米，兩頭的圖案離橋兩端都是12米，且每相鄰兩塊圖案間的間隔都相等。問：相鄰兩塊圖案之間應(yīng)間隔多少米?【題型3一端植一端不植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)【例3】學(xué)校有一條長(zhǎng)60米的道路，計(jì)劃在道路一旁栽樹，每隔3米栽一棵。(1)如果兩端都要栽一棵樹，那么一共需要多少棵樹苗？(2)如果兩端都不栽樹，那么一共需要多少棵樹苗？(3)如果只有一端栽樹，那么一共需要多少棵樹苗？【變式3-1】小青：“我和小紅是好朋友，住在同一棟樓上，我從一樓走到三樓要用18秒”。小紅：“我上樓的速度和小青的一樣，你知道我從一樓走到六樓，需要多少時(shí)間嗎?”【變式3-2】每棵樹之間的距離是7米，小燕子從第1棵樹飛到第9棵樹，小燕子飛了多少米？【變式3-3】一游人以均勻的速度在小路上散步，從第1棵樹走到第12棵樹用了11分鐘，如果這個(gè)游人走了25分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？【題型4首尾相接的封閉曲線上植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)【例4】一個(gè)長(zhǎng)方形魚塘的周長(zhǎng)是640m，在它的周圍每隔8m栽一棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲g栽一棵桃樹。魚塘周圍各栽了多少棵桃樹？【變式4-1】在某校周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上，每隔8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備幾面紅旗？幾面黃旗？【變式4-2】圓湖周長(zhǎng)1080米，在湖邊每隔12米種植柳樹一棵，再在兩棵柳樹之間等距離種植3棵桃樹，這樣可種柳樹和桃樹共多少棵？【變式4-3】一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是80米，每隔5米擺一盆菊花，相鄰兩盆花中間擺一盆蘭花，一共需要多少盆花？【題型5多邊形邊上的植樹問題】【例5】一塊三角形地三邊分別是54米、30米、84米，要在三邊上植樹，株距6米，三個(gè)角上各種一棵，共植樹多少棵？【變式5-1】一塊正方形地，沿四周每隔8米種一棵樹，一共種了100棵。又知這塊地里種的玉米共收獲28噸，這塊地平均每公頃收獲玉米多少噸？【變式5-2】一塊正方形草坪的邊長(zhǎng)是8m，四周有一條1m寬的路。在小路靠著草坪的一側(cè)每隔1m放1盆紅花，四個(gè)頂點(diǎn)都要放；小路的另一側(cè)每隔2m放1盆黃花，四個(gè)頂點(diǎn)也要放。一共需要多少盆花？【變式5-3】游樂場(chǎng)里有一個(gè)邊長(zhǎng)為20米的正方形水池，要繞水池一周以相等的距離安裝16盞路燈，四角都要安裝，每相鄰兩盞路燈之間相距多少米?【題型6植樹問題的變式題】【例6】一條道路長(zhǎng)120米，道路兩邊各安裝了一排路燈。原來相鄰兩盞路燈之間相距8米，現(xiàn)要改成相鄰兩盞路燈之間相距6米。如果第一盞路燈不動(dòng)，那么有多少盞路燈不需要移動(dòng)？【變式6-1】紅星小學(xué)四年級(jí)有125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，他們每5人為一行，前后每行間隔為2米。主席臺(tái)長(zhǎng)32米，他們以每分鐘40米的速度通過主席臺(tái)，需要多少分鐘？【變式6-2】園林工人要在周長(zhǎng)300米的圓形花壇邊等距離地栽上風(fēng)景樹。他們首先沿著花壇的邊每隔3米挖一坑，當(dāng)挖完40個(gè)坑時(shí)，突然接到通知：改為每隔5米栽一棵樹，這樣他們要完成挖坑的任務(wù)，還需要挖幾個(gè)坑？【變式6-3】有一根木料，用0.4小時(shí)鋸成5段，如果每鋸一次所用的時(shí)間相同，那么要截7段，一共需要幾小時(shí)？2021-2022學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版）五上第七單元《植樹問題》-重難點(diǎn)題型（答案）【題型1兩端都植樹的問題】公式：總距離÷株距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1【例1】同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)240米的小路兩旁栽樹，每隔6米栽一棵(兩端都栽)，一共要栽多少棵樹?解：(240÷6+1)×2=41×2=82（棵）答：一共要栽82棵樹。點(diǎn)撥：小路兩旁、兩端都栽，全長(zhǎng)為240米，每隔6米栽一棵樹，需要栽的樹的棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔米數(shù)+1，然后由于兩邊都要栽，所以再乘以2即可。【變式1-1】在路邊安裝電線桿，每?jī)筛娋€桿之間相隔8米，從第一根到最后一根電線一共長(zhǎng)96米，一共安裝了（C）根電線桿。A.11根B.12根C.13根D.14根解：96÷8+1=12+1=13（根）點(diǎn)撥：此題屬于植樹問題中的兩端都植樹問題，電線桿的根數(shù)要比間隔數(shù)多1，因此用96除以8求出間隔數(shù)，再加上1就是電線桿的根數(shù)?！咀兪?-2】園林工人計(jì)劃在一條公路的一旁種37棵樹，每相鄰兩棵樹間隔5米。實(shí)際栽種了46棵樹（兩端的樹不動(dòng)），實(shí)際每相鄰兩棵樹間隔多少米？解：（37-1）×5÷（46-1）=180÷45=4（米）答：實(shí)際每相鄰兩棵樹間隔4米。點(diǎn)撥：由于兩端都栽樹，所以一側(cè)的間隔數(shù)比樹的棵數(shù)少1，用37減去1再乘5即可求出公路總長(zhǎng)度；實(shí)際栽種了46棵樹，那么間隔數(shù)是46-1，用公路總長(zhǎng)度除以間隔數(shù)即可求出相鄰兩棵樹間隔的米數(shù)?！咀兪?-3】在學(xué)校門前小路的兩旁，每隔5.8米放一盆菊花（兩端都放），從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了20盆。這條小路長(zhǎng)多少米？解：（20÷2-1）×5.8=52.2（米）答：這條小路長(zhǎng)52.2米。點(diǎn)撥：這條小路的長(zhǎng)度=（從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放菊花的盆數(shù)-1）×每?jī)膳杌ㄖg的長(zhǎng)度?！绢}型2兩端都不植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)-1【例2】馬路一邊共栽了48棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲g栽一棵楊樹，共有（47）棵楊樹。解：48-1=47（棵），答：共有47棵楊樹。點(diǎn)撥：48棵柳樹之間一共的間隔數(shù)是48-1=47（個(gè)），由于每?jī)煽昧鴺渲g栽一棵楊樹，所以屬于兩端都不植樹問題，共有47棵楊樹。【變式2-1】同學(xué)們?cè)谝粭l長(zhǎng)200米的小路一邊植樹，每隔8米栽一棵（兩端不栽）。一共要栽多少棵樹？解：200÷8-1=25（棵）答：一共要栽25棵樹?！咀兪?-2】甲、乙兩地相距20千米，每隔4千米設(shè)一個(gè)站牌，甲、乙兩地之間(甲、乙兩地除外)一共設(shè)有多少個(gè)站牌？解：20÷4-1＝4(個(gè))答：一共設(shè)有4個(gè)站牌。點(diǎn)撥：由于兩端都沒有站牌，所以站牌數(shù)比間隔數(shù)少1，用兩地距離除以間隔的米數(shù)求出間隔數(shù)，再減去1就是站牌數(shù)?！咀兪?-3】一座橋長(zhǎng)116米，在橋的兩側(cè)欄桿上各安裝16塊花紋圖案，圖案的長(zhǎng)為2米，兩頭的圖案離橋兩端都是12米，且每相鄰兩塊圖案間的間隔都相等。問：相鄰兩塊圖案之間應(yīng)間隔多少米?解：16塊圖案的長(zhǎng)度：2×16=32（米），橋的兩端空余的長(zhǎng)度：12×2=24（米），相鄰兩塊圖案之間的距離：（116-32-24）÷（16-1）=4（米）。答：相鄰兩塊圖案之間應(yīng)間隔4米。點(diǎn)撥：16塊花紋圖案的長(zhǎng)度=每塊花紋圖案的長(zhǎng)度×16，空余的長(zhǎng)度=兩頭的圖案離橋兩端的距離×2，16塊花紋圖案之間間隔15個(gè)長(zhǎng)度，所以相鄰兩塊圖案之間的距離=（橋的長(zhǎng)度-16塊花紋圖案的長(zhǎng)度-橋的兩端空余的長(zhǎng)度）÷間隔數(shù)，據(jù)此代入數(shù)據(jù)作答即可?！绢}型3一端植一端不植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)【例3】學(xué)校有一條長(zhǎng)60米的道路，計(jì)劃在道路一旁栽樹，每隔3米栽一棵。(1)如果兩端都要栽一棵樹，那么一共需要多少棵樹苗？(2)如果兩端都不栽樹，那么一共需要多少棵樹苗？(3)如果只有一端栽樹，那么一共需要多少棵樹苗？解：60÷3=20(棵)(1)20+1=21(棵)答：一共需要21棵樹苗。(2)20－1=19(棵)答：一共需要19棵樹苗。(3)20棵。答：一共需要20棵樹苗。點(diǎn)撥：根據(jù)兩端都要栽時(shí)，植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端都不栽時(shí)，植樹棵數(shù)=間隔數(shù)－1；只有一端栽時(shí)，植樹棵數(shù)=間隔數(shù)；先求出間隔數(shù)再進(jìn)行解答。【變式3-1】小青：“我和小紅是好朋友，住在同一棟樓上，我從一樓走到三樓要用18秒”。小紅：“我上樓的速度和小青的一樣，你知道我從一樓走到六樓，需要多少時(shí)間嗎?”解：18÷(3-1)×(6-1)=18÷2×5=9×5=45(秒)答：需要45秒。【變式3-2】每棵樹之間的距離是7米，小燕子從第1棵樹飛到第9棵樹，小燕子飛了多少米？解：7×(9-1)=7×8=56(米)。答：小燕子飛了56米。點(diǎn)撥：第1棵樹到第9棵樹之間有8個(gè)間隔，用間隔數(shù)乘間隔的距離即可求出小燕子飛的距離?！咀兪?-3】一游人以均勻的速度在小路上散步，從第1棵樹走到第12棵樹用了11分鐘，如果這個(gè)游人走了25分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？解：25÷[11÷（12-1）]＋1＝25÷1＋1＝25＋1＝26（棵）答：應(yīng)走到第26棵樹。點(diǎn)撥：根據(jù)從第1棵走到第12棵樹，共走了12-1個(gè)間隔，用了11分鐘，可以求出每個(gè)間隔所用時(shí)間，再根據(jù)這個(gè)人走了25分鐘，可以求出走了幾個(gè)間隔，由此即可求出要求的答案?！绢}型4首尾相接的封閉曲線上植樹的問題】公式：總距離÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)【例4】一個(gè)長(zhǎng)方形魚塘的周長(zhǎng)是640m，在它的周圍每隔8m栽一棵柳樹，每?jī)煽昧鴺渲g栽一棵桃樹。魚塘周圍各栽了多少棵桃樹？解：640÷8=80（棵）答：池塘周圍栽了80棵柳樹、80棵桃樹。點(diǎn)撥：圍成一個(gè)封閉圖形植樹時(shí)：植樹棵數(shù)=間隔數(shù)；由此先求出間隔數(shù)，從而得出柳樹的棵數(shù)；而柳樹和桃樹是間隔出現(xiàn)的，故桃樹棵數(shù)和柳樹相等?！咀兪?-1】在某校周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上，每隔8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備幾面紅旗？幾面黃旗？解：紅旗：400÷8＝50（面），每?jī)擅婕t旗間插黃旗：8÷2-1=3（面），應(yīng)準(zhǔn)備黃旗：50×3＝150（面）。答：應(yīng)準(zhǔn)備50面紅旗，150面黃旗。點(diǎn)撥：因?yàn)槊扛?米插一面紅旗，根據(jù)總距離÷間距=棵數(shù)，得紅旗50面，也是50個(gè)間隔，再根據(jù)每?jī)擅婕t旗之間，相隔2米插一面黃旗，求解答案?！咀兪?-2】圓湖周長(zhǎng)1080米，在湖邊每隔12米種植柳樹一棵，再在兩棵柳樹之間等距離種植3棵桃樹，這樣可種柳樹和桃樹共多少棵？解：1080÷12+（1080÷12）×3=90+270=360（棵）答：可種柳樹和桃樹共360棵。點(diǎn)撥：柳樹棵數(shù)與柳樹的間隔數(shù)相同，為1080÷12；桃樹的棵數(shù)為：間隔數(shù)×3，即（1080÷12）×3，再利用加法即可解決問題?！咀兪?-3】一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是80米，每隔5米擺一盆菊花，相鄰兩盆花中間擺一盆蘭花，一共需要多少盆花？解：菊花：80÷5=16（盆），蘭花：16盆。一共需要：16+16=32（盆）。答：一共需要32盆花。點(diǎn)撥：菊花盆數(shù)、間隔數(shù)，均為80÷5=16，因?yàn)槊績(jī)膳柚虚g有一盆蘭花，那也就是說每?jī)膳杼m花中間有一盆菊花，所以菊花=蘭花=16盆，一共需要擺16+16=32（盆）?！绢}型5多邊形邊上的植樹問題】【例5】一塊三角形地三邊分別是54米、30米、84米，要在三邊上植樹，株距6米，三個(gè)角上各種一棵，共植樹多少棵？解：（54+30+84）÷6=168÷6=28（棵）答：共植樹28棵。點(diǎn)撥：圍成封閉圖形栽樹，樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，由此求出54+30+84=168（米）里有幾個(gè)6米的間隔，進(jìn)行解答?！咀兪?-1】一塊正方形地，沿四周每隔8米種一棵樹，一共種了100棵。又知這塊地里種的玉米共收獲28噸，這塊地平均每公頃收獲玉米多少噸？解：正方形邊長(zhǎng)：100×8÷4=200（米），正方形面積：200×200=40000（平方米）=4（公頃），每公頃收玉米重量：28÷4=7（噸）。答：這塊地平均每公頃收獲玉米7噸。點(diǎn)撥：利用植樹問題知識(shí)，求出正方形的周長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵?！咀兪?-2】一塊正方形草坪的邊長(zhǎng)是8m，四周有一條1m寬的路。在小路靠著草坪的一側(cè)每隔1m放1盆紅花，四個(gè)頂點(diǎn)都要放；小路的另一側(cè)每隔2m放1盆黃花，四個(gè)頂點(diǎn)也要放。一共需要多少盆花？解：紅花：8×4÷1=32（盆）黃花：（8+1+1）×4÷2=10×4÷2=20（盆）20+32=52（盆）答：一共可以放52盆花。點(diǎn)撥：根據(jù)正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，分別求出內(nèi)外兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)，要注意外面正方形的邊長(zhǎng)比里面正方形的邊長(zhǎng)長(zhǎng)兩個(gè)1米；再根據(jù)在封閉路上植樹規(guī)律：植樹棵樹=間隔數(shù)，總長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)，可以求出內(nèi)外兩個(gè)正方形分別擺了多少盆花，把它們加起來就是一共擺的盆數(shù)?！咀兪?-3】游樂場(chǎng)里有一個(gè)邊長(zhǎng)為20米的正方形水池，要繞水池一周以相等的距離安裝16盞路燈，四角都要安裝，每相鄰兩盞路燈之間相距多少米?解：（16-4）÷4=3（盞），20÷（3+1）=5（米）。答：每相鄰兩盞路燈之間相距多少5米。點(diǎn)撥：正方形四角都要安裝，每條邊安裝5盞路燈，每條邊上有4個(gè)間隔?！绢}型6植樹問題的變式題】【例6】一條道路長(zhǎng)120米，道路兩邊各安裝了一排路燈。原來相鄰兩盞路燈之間相距8米，現(xiàn)要改成相鄰兩盞路燈之間相距6米。如果第一盞路燈不動(dòng)，那么有多少盞路燈不需要移動(dòng)？解：8和6的最小公倍數(shù)是24，道路一旁，需要移動(dòng)路燈：120÷24+1=6（盞），道路兩旁，需要移動(dòng)路燈：6×2=12（盞）。答：有12盞路燈不需要移動(dòng)。點(diǎn)撥：分析題目，首先求出8與6的最小公倍數(shù)，利用120除以8與6的最小公倍數(shù)，再加上1，列式計(jì)算可求出道路一邊不需要移動(dòng)的盞數(shù)；接下來依據(jù)道路兩邊都有，用上步所得結(jié)果再乘以2，即可求出兩邊不需要移動(dòng)的盞數(shù)?！咀兪?-1】紅