線性代數(shù)（第二版）112.1矩陣的概念2.2矩陣的運算2.3可逆矩陣2.4分塊矩陣2.5矩陣的初等變換2.6矩陣的秩第2章矩陣22.5矩陣的初等變換32.5矩陣的初等變換(2)用數(shù)乘以矩陣的某一行；定義2.5.1矩陣的下述三種變換稱為矩陣的初等行變換．(3)將矩陣的某一行的k倍加到另外一行．將定義中的行換成列，則稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣初等變換．(1)交換矩陣的兩行；

2.5.1矩陣的初等變換定義2.5.2若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記作A→B.4等價具有下列基本性質(zhì):(1)自反性：A→A；

(2)對稱性：A→B，則B→A；

(3)傳遞性：A→B，B→C，則A→C.形如

的矩陣稱為行階梯形矩陣.其特點是：非零行（元素不全為零的行）排在矩陣的上方，且每行的非零首元（第一個非零元素）所在的列自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增．

5形如

的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣.

其特點是：非零行的第一個非零元都為1，的列的其他元素都為0.若矩陣可用分塊矩陣的形式記為

，稱該矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．6例2.5.1將

化為行階梯形，行最簡形，標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．解

利用矩陣的初等行變換，有行階梯形矩陣7行最簡形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣8證若A=O，則A已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.以下設(shè)

為非零矩陣，不失一般性，設(shè)

，對A進(jìn)行初等變換，將第1行的

倍加到第i行

，將第1列的

倍加到第j列

，然后將第1行乘以

，變換后的矩陣以分塊矩陣的形式表示為其中A1為

階矩陣，對A1

重復(fù)以上步驟，即可將A化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.定理2.5.1任何一個矩陣A都可經(jīng)過有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.9證設(shè)A為n階方陣，且其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為由定理2.5.1的證明易見，其中k為非零常數(shù).若A可逆，則，從而

，這必要求r=n，所以D=E

.推論2.5.2如果A為可逆矩陣，則A可經(jīng)過有限次初等變換化為E，即A→E.推論2.5.1任何一個矩陣A都可經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣，進(jìn)而化為行最簡形矩陣.10例2.5.2用初等變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形．解

利用矩陣的初等變換，有112.5.2初等矩陣定義2.5.3由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.(1)交換E的第i，j行(列)，得12(2)用非零數(shù)c乘E的第i行(列)，得(3)將E的第j行的k倍加到第i行上，得13初等矩陣可逆具有如下性質(zhì)：定理2.5.2

對A施以一次初等行變換，等價于在A的左側(cè)乘以一個相應(yīng)的初等矩陣；對A施以一次初等列變換，等價于在A的右側(cè)乘以一個相應(yīng)的初等矩陣．證只證明行變換的情形.A為m×n階矩陣，其按行分塊記為14由矩陣的分塊乘法有這相當(dāng)于交換A的第i行與第j行.這相當(dāng)于用c乘以A的第i行.15這相當(dāng)于將A的第j行的k倍加到第i行.16證由于初等矩陣可逆，充分性顯然.必要性.設(shè)方陣A可逆，由推論2.5.2有A→E，根據(jù)定理2.5.2，這等價于存在初等矩陣及使得整理有因為初等矩陣的逆仍然是初等矩陣，故A可以表示為初等矩陣的乘積.推論2.5.3方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為若干個初等矩陣的乘積.172.5.3用矩陣的初等變換求矩陣的逆公式如下：18例2.5.3設(shè)，求.解對矩陣(A

E)施以初等行變換所以19例2.5.4已知，