培優(yōu)課10數(shù)列中的增、減項(xiàng)及交、并項(xiàng)問題高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第五章數(shù)列

數(shù)列中的增、減項(xiàng)與交、并項(xiàng)問題是?？嫉臒狳c(diǎn)問題，也是易錯(cuò)問題，理清增、減項(xiàng)與交、并項(xiàng)的特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.0403題型三兩個(gè)數(shù)列的交、并項(xiàng)問題課時(shí)測(cè)評(píng)02題型二數(shù)列中的減項(xiàng)問題題型一數(shù)列中的增項(xiàng)問題01內(nèi)容索引題型一數(shù)列中的增項(xiàng)問題

典例1

解決此類問題的基本思路有兩種：一是分析新數(shù)列是否是某一類特殊數(shù)列(等差、等比)，然后利用新數(shù)列的性質(zhì)求解；二是分組處理，如本例(2)，可分別求出數(shù)列{an}的前41項(xiàng)和及{bn}的前9項(xiàng)和，然后求T50.

注意：解決此類問題的關(guān)鍵是搞清新數(shù)列{cn}是由原數(shù)列{an}、{bn}中的哪些項(xiàng)構(gòu)成的. 規(guī)律方法

返回題型二數(shù)列中的減項(xiàng)問題

典例2

解決此類問題的關(guān)鍵是明確新數(shù)列與原數(shù)列的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，關(guān)注數(shù)列的下標(biāo)，尤其在求和時(shí)要搞清楚原數(shù)列中項(xiàng)的數(shù)量. 規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練2.已知等差數(shù)列{an}和正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足a1=4，b1=2，bn+2=bn+1+2bn，a3=b3+2.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由bn+2

=bn+1+2bn得q2=q+2，解得q=2或q=－1(舍去).因?yàn)閍3=b3+2，所以4+2d=2q2+2，所以q=2，d=3，所以an=3n+1，bn=2n.

返回題型三兩個(gè)數(shù)列的交、并項(xiàng)問題

典例3

典例4

求解兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)的常用方法1.不定方程法：列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識(shí)，求出符合條件的項(xiàng)，并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式.

2.周期法：即尋找下一項(xiàng).通過觀察找到首項(xiàng)后，從首項(xiàng)開始向后，逐項(xiàng)判斷變化較大(如公差的絕對(duì)值大)的數(shù)列中的項(xiàng)是否為另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并找到規(guī)律(周期)，分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到通項(xiàng)公式.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練3.(2020·新高考Ⅰ卷)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為

.

3n2－2n

√√

返回課時(shí)測(cè)評(píng)1.(數(shù)學(xué)文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)問題，所有被3除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{an}，所有被5除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{bn}，把{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則A．a(chǎn)3+b5=c3 B．b28=c10C．a(chǎn)5b2>c8 D．c9－b9=a26√

2.將數(shù)列{2n}與{3n+1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則其通項(xiàng)an=

.

4n數(shù)列{2n}中的項(xiàng)為：2，4，8，16，32，64，128，256，…經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列{2n}中的偶數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列{3n+1}中的項(xiàng).即4，16，64，256，…可以寫成3n+1的形式，觀察，歸納可得an=4n.

19

(2)設(shè)an=5n，bn=4n－1，1≤n≤29，則數(shù)列an&bn與bn&an有

個(gè)公共項(xiàng).

2

5.(15分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=7，a4+a5+a6=56.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(5分)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3=7=a1+a2+a3，a4+a5+a6=56，所以q3=8，即q=2，所以a1+2a1+4a1=7，即a1=1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n－1.

(2)若將數(shù)列{an}中滿足ai=aj的項(xiàng)ai，aj(i≠j)稱為數(shù)列{an}中的相同項(xiàng)，將數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中所有的相同項(xiàng)都剔除，求數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中余下項(xiàng)的和.(12分)解：由(1)可知，bn=3n，設(shè)cn=a2n，同理可證數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為12，公差為9的等差數(shù)列，cn=3+