七年級(jí)數(shù)學(xué)相交線專題復(fù)習(xí)試題及講解一、專題概述相交線是七年級(jí)數(shù)學(xué)幾何部分的入門內(nèi)容，是研究平行線、三角形、四邊形等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。本專題重點(diǎn)圍繞對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線、點(diǎn)到直線的距離等核心概念展開，旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力，解決與角度計(jì)算、最短路徑相關(guān)的實(shí)際問題。二、核心知識(shí)點(diǎn)回顧在復(fù)習(xí)相交線專題前，需先鞏固以下基礎(chǔ)概念與性質(zhì)：1.對(duì)頂角定義：兩條直線相交后，相對(duì)的角（沒有公共邊）稱為對(duì)頂角。性質(zhì)：對(duì)頂角相等（如∠1=∠3，∠2=∠4，見下圖）。2.鄰補(bǔ)角定義：兩條直線相交后，有公共邊且和為180°的角稱為鄰補(bǔ)角。性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)（和為180°）。如上圖中∠1與∠2、∠2與∠3均為鄰補(bǔ)角，故∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。3.垂線定義：當(dāng)兩條直線相交成直角（90°）時(shí)，稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，交點(diǎn)稱為垂足（用“⊥”表示，如AB⊥CD）。性質(zhì)：（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（“唯一性”）；（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短（“最短路徑”）。4.點(diǎn)到直線的距離定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，稱為點(diǎn)到直線的距離（注意：距離是“長(zhǎng)度”，不是“線段”）。三、典型試題分類講解（一）對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的識(shí)別與計(jì)算例1（識(shí)別題）：下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A.（圖：∠1與∠2有公共邊，一邊同向）B.（圖：∠1與∠2有公共頂點(diǎn)，兩邊反向延長(zhǎng)線）C.（圖：∠1與∠2無公共頂點(diǎn)）D.（圖：∠1與∠2有公共邊，一邊反向）思路分析：對(duì)頂角的關(guān)鍵特征是“有公共頂點(diǎn)，兩邊互為反向延長(zhǎng)線”。逐一排除選項(xiàng)：A有公共邊但非反向；C無公共頂點(diǎn)；D有公共邊但非反向；只有B符合。答案：B例2（計(jì)算題）：已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=25°，求∠BOD與∠BOC的度數(shù)。思路分析：∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，故∠BOD=∠AOC=25°；∠AOC與∠BOC是鄰補(bǔ)角，故∠BOC=180°-∠AOC=155°。解答：∠BOD=25°，∠BOC=155°。方法總結(jié)：識(shí)別對(duì)頂角需抓住“公共頂點(diǎn)+反向延長(zhǎng)線”；計(jì)算時(shí)牢記“對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”。（二）垂線的性質(zhì)應(yīng)用例3（操作題）：過直線l外一點(diǎn)P，畫直線l的垂線，下列畫法正確的是（）A.（圖：用直尺畫線段PQ，PQ與l不垂直）B.（圖：用三角板的直角邊貼住l，另一直角邊過P畫直線）C.（圖：過P畫l的平行線）D.（圖：用直尺畫直線PQ，PQ與l相交但不垂直）思路分析：畫垂線的標(biāo)準(zhǔn)方法是“一貼（三角板直角邊貼已知直線）、二過（另一直角邊過已知點(diǎn)）、三畫（沿直角邊畫直線）”。只有B符合操作規(guī)范。答案：B例4（實(shí)際應(yīng)用）：村莊A位于公路l旁，村民想修一條從A到l的最短路徑，應(yīng)如何設(shè)計(jì)？請(qǐng)說明理由。思路分析：根據(jù)垂線的性質(zhì)“垂線段最短”，最短路徑是從A向l作垂線，垂足為B，線段AB即為最短路徑。解答：從村莊A向公路l作垂線段AB，AB即為最短路徑。理由：垂線段最短。（三）點(diǎn)到直線的距離的理解例5（概念題）：點(diǎn)P到直線l的距離是指（）A.點(diǎn)P到直線l的線段B.點(diǎn)P到直線l的垂線段C.點(diǎn)P到直線l的垂線段的長(zhǎng)度D.點(diǎn)P到直線l的直線思路分析：距離是“長(zhǎng)度”，而非“線段”或“直線”。垂線段是圖形，其長(zhǎng)度才是距離。答案：C例6（圖形題）：如圖，點(diǎn)P在直線l外，過P作l的垂線，垂足為Q，線段PQ=5cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是（）A.5cmB.PQC.5D.直線PQ思路分析：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，故為5cm。答案：A（四）相交線中的角度綜合計(jì)算例7（綜合題）：直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠EOD=35°，求∠AOC的度數(shù)。思路分析：1.OE⊥AB，故∠AOE=90°（垂線定義）；2.∠EOD=35°，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角（相等）；3.∠BOD=∠AOE-∠EOD？不，等一下：∠BOE=180°-∠AOE=90°？不，OE⊥AB，所以∠AOE=∠BOE=90°（AB是直線，OE垂直于AB，故兩邊都是90°）。哦，對(duì)，∠EOD=35°，而∠BOD=∠BOE-∠EOD=90°-35°=55°（因?yàn)椤螧OE=90°，∠EOD是其中一部分）；4.∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，故∠AOC=∠BOD=55°。解答：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°（垂線定義）?！摺螮OD=35°，∴∠BOD=∠BOE-∠EOD=90°-35°=55°?！摺螦OC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠AOC=∠BOD=55°（對(duì)頂角相等）。方法總結(jié)：綜合計(jì)算時(shí)，需先標(biāo)記已知角，再通過對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂線的性質(zhì)建立角度關(guān)系，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù)（如∠x）列方程求解。四、易錯(cuò)點(diǎn)警示1.對(duì)頂角識(shí)別錯(cuò)誤：誤認(rèn)為有公共頂點(diǎn)的角就是對(duì)頂角（如∠1與∠2有公共頂點(diǎn)，但兩邊不是反向延長(zhǎng)線）。糾正：對(duì)頂角必須滿足“兩邊互為反向延長(zhǎng)線”。2.鄰補(bǔ)角理解錯(cuò)誤：認(rèn)為只要角度和為180°就是鄰補(bǔ)角（如∠1=120°，∠2=60°，但無公共邊）。糾正：鄰補(bǔ)角需同時(shí)滿足“有公共邊”和“和為180°”。3.垂線性質(zhì)混淆：過一點(diǎn)畫垂線時(shí)，誤將“線段”當(dāng)“直線”（如過點(diǎn)P畫線段AB的垂線，應(yīng)畫線段AB所在直線的垂線）。糾正：垂線是直線，需向兩邊無限延伸。4.點(diǎn)到直線的距離錯(cuò)誤：將“垂線段”等同于“距離”（如答“點(diǎn)P到l的距離是線段PQ”）。糾正：距離是垂線段的長(zhǎng)度，是數(shù)值。五、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)題1.下列圖形中，∠1與∠2是鄰補(bǔ)角的是（）（選項(xiàng)略）2.已知∠α與∠β是對(duì)頂角，∠α=40°，則∠β=（）3.過直線上一點(diǎn)畫該直線的垂線，能畫（）條A.1B.2C.3D.無數(shù)中檔題4.如圖，直線AB⊥CD于O，∠AOE=30°，求∠DOE的度數(shù)。5.點(diǎn)P到直線l的距離是5cm，點(diǎn)Q在直線l上，則PQ的長(zhǎng)度最小值是（）A.5cmB.小于5cmC.大于5cmD.無法確定綜合題6.直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=120°，求∠COF的度數(shù)。答案1.選有公共邊且和為180°的圖形；2.40°；3.A；4.60°（提示：∠AOC=90°，∠COE=∠AOC-∠AOE=60°，∠DOE=180°-∠COE=120°？不，等一下，AB⊥CD，所以∠AOD=90°？不，AB⊥CD，所以∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°？哦，對(duì)，AB⊥CD，所以四個(gè)角都是90°，∠AOE=30°，則∠DOE=∠AOD+∠AOE=90°+30°=120°？或者要看E的位置，假設(shè)E在∠AOC內(nèi)部，那么∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-30°=60°，∠DOE=180°-∠COE=120°，對(duì)。）；5.A（垂線段最短）；6.60°（提示：∠AOD=120°，則∠AOC=60°（鄰補(bǔ)角），OE平分∠AOC，故∠AOE=30°，OF⊥OE，故∠AOF=60°，∠COF=∠AOC+∠AOF=60°+30°？不，等一下，∠AOC=60°，OE平分∠AOC，所以∠EOC=30°，OF⊥OE，所以∠EOF=90°，則∠COF=∠EOF-