章末復習第22章

一元二次方程【2025-2026學年華東師大版】數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：22.3實踐與探索副標題：運用一元二次方程解決實際問題幻燈片2：引入一元二次方程在實際生活中有著廣泛的應用，如增長率問題、面積問題、銷售利潤問題等。本節(jié)課將通過具體實例，學習如何從實際問題中抽象出一元二次方程，并用它解決問題，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系?；脽羝?：用一元二次方程解決實際問題的步驟審題：仔細閱讀題目，理解題意，明確已知條件和所求問題。設元：選擇合適的未知數(shù)，用字母表示（通常設所求問題為未知數(shù)，有時也設中間量）。列方程：根據(jù)題目中的等量關系，列出一元二次方程。解方程：運用合適的方法（直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法）解所列方程。檢驗：檢驗方程的解是否符合實際意義（如長度不能為負、人數(shù)不能為小數(shù)等）。作答：寫出答案，回答題目所提出的問題?；脽羝?：類型一——增長率問題基本公式：若原數(shù)量為\(a\)，平均增長率（或降低率）為\(x\)，經(jīng)過\(n\)次增長（或降低）后，數(shù)量變?yōu)閈(b\)，則有\(zhòng)(a(1+x)^n=b\)（增長時用“\(+\)”，降低時用“\(-\)”）。例題：某工廠2022年的產值為100萬元，2024年的產值為144萬元，求該工廠產值的年平均增長率。解答過程：設該工廠產值的年平均增長率為\(x\)。2023年的產值為\(100(1+x)\)萬元，2024年的產值為\(100(1+x)^2\)萬元。根據(jù)題意，可列方程：\(100(1+x)^2=144\)。解方程：\((1+x)^2=1.44\)，開平方得\(1+x=\pm1.2\)。解得\(x_1=0.2=20\%\)，\(x_2=-2.2\)（增長率不能為負，舍去）。答：該工廠產值的年平均增長率為\(20\%\)?；脽羝?：類型二——面積問題解題關鍵：根據(jù)圖形的面積公式，結合題目中圖形的變化（如拼接、切割等），找出等量關系。例題：一塊長方形的草地，長為\(20m\)，寬為\(15m\)，在它的四周向外修一條寬為\(xm\)的小路，小路的總面積為\(124m^2\)，求小路的寬\(x\)。解答過程：修完小路后，大長方形的長為\((20+2x)m\)，寬為\((15+2x)m\)。小路的面積=大長方形的面積-草地的面積，即\((20+2x)(15+2x)-20\times15=124\)。展開并整理方程：\(300+40x+30x+4x^2-300=124\)，\(4x^2+70x-124=0\)，化簡得\(2x^2+35x-62=0\)。用公式法解方程：\(\Delta=35^2-4\times2\times(-62)=1225+496=1721\)，\(x=\frac{-35\pm\sqrt{1721}}{4}\)。因為\(\sqrt{1721}\approx41.48\)，所以\(x_1\approx\frac{-35+41.48}{4}\approx1.62\)，\(x_2\approx\frac{-35-41.48}{4}\approx-19.12\)（寬度不能為負，舍去）。答：小路的寬約為\(1.62m\)。幻燈片6：類型三——銷售利潤問題基本關系：總利潤=單個利潤

×

銷售量；單個利潤=售價-成本；銷售量會隨著售價的變化而變化（通常售價提高，銷售量降低；售價降低，銷售量提高）。例題：某商店銷售一種商品，每件成本為\(40\)元，當售價為\(50\)元時，每天可售出\(50\)件。經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，售價每上漲\(1\)元，銷售量就減少\(1\)件，設售價為\(x\)元（\(x\geq50\)），每天的利潤為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關系式；（2）當售價為多少元時，每天的利潤為\(800\)元？解答過程：（1）每件的利潤為\((x-40)\)元，售價為\(x\)元時，比\(50\)元上漲了\((x-50)\)元，所以銷售量為\(50-(x-50)=(100-x)\)件。則\(y=(x-40)(100-x)=-x^2+140x-4000\)。（2）當\(y=800\)時，\(-x^2+140x-4000=800\)，整理得\(x^2-140x+4800=0\)。因式分解得\((x-60)(x-80)=0\)，解得\(x_1=60\)，\(x_2=80\)。答：（1）\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)關系式為\(y=-x^2+140x-4000\)；（2）當售價為\(60\)元或\(80\)元時，每天的利潤為\(800\)元?；脽羝?：類型四——數(shù)字問題解題關鍵：明確數(shù)字的表示方法（如一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為\(a\)，個位數(shù)字為\(b\)，則這個兩位數(shù)表示為\(10a+b\)），根據(jù)題目中的數(shù)量關系列方程。例題：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為\(7\)，把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積為\(1300\)，求原兩位數(shù)。解答過程：設原兩位數(shù)的十位數(shù)字為\(x\)，則個位數(shù)字為\((7-x)\)，原兩位數(shù)為\(10x+(7-x)=9x+7\)。對調后新兩位數(shù)的十位數(shù)字為\((7-x)\)，個位數(shù)字為\(x\)，新兩位數(shù)為\(10(7-x)+x=70-9x\)。根據(jù)題意，可列方程：\((9x+7)(70-9x)=1300\)。展開并整理方程：\(630x-81x^2+490-63x=1300\)，\(-81x^2+567x-810=0\)，化簡得\(9x^2-63x+90=0\)，即\(x^2-7x+10=0\)。因式分解得\((x-2)(x-5)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=5\)。當\(x=2\)時，原兩位數(shù)為\(9\times2+7=25\)；當\(x=5\)時，原兩位數(shù)為\(9\times5+7=52\)。答：原兩位數(shù)為\(25\)或\(52\)。幻燈片8：易錯點分析審題不清，等量關系錯誤：在增長率問題中，混淆“增長到”和“增長了”，“增長到\(b\)”是指最終數(shù)量為\(b\)，“增長了\(b\)”是指增長的數(shù)量為\(b\)。忽略實際意義，未檢驗解的合理性：解出方程的解后，未考慮實際情況，如長度、人數(shù)等不能為負數(shù)或小數(shù)，導致保留不合理的解。設元不當，列方程困難：設未知數(shù)時沒有選擇合適的量，導致列出的方程復雜或無法列出方程，應盡量設與所求問題直接相關的量為未知數(shù)。計算錯誤：在列方程或解方程過程中，因粗心導致計算錯誤，如展開多項式時漏項、符號錯誤等?；脽羝?：課堂練習1——增長率問題題目：某城市2020年底的人口為\(100\)萬，2022年底的人口為\(104.04\)萬，求該城市人口的年平均增長率。答案：年平均增長率為\(2\%\)?；脽羝?0：課堂練習2——面積問題題目：一塊正方形的鐵皮，邊長為\(10cm\)，在它的四個角各剪去一個邊長為\(xcm\)的小正方形，然后將四周向上折起，做成一個無蓋的長方體盒子，盒子的底面積為\(36cm^2\)，求剪去的小正方形的邊長。答案：剪去的小正方形的邊長為\(2cm\)?；脽羝?1：課堂小結解決實際問題的步驟：審題、設元、列方程、解方程、檢驗、作答。常見類型及關鍵：增長率問題：掌握公式\(a(1+x)^n=b\)。面積問題：根據(jù)圖形面積公式找等量關系。銷售利潤問題：利用“總利潤=單個利潤

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銷售量”列方程。數(shù)字問題：正確表示多位數(shù)，根據(jù)數(shù)字間關系列方程。注意事項：解要符合實際意義，計算時細心，避免出錯?；脽羝?2：布置作業(yè)基礎作業(yè)：某商品原價為\(200\)元，連續(xù)兩次降價后售價為\(162\)元，求平均每次降價的百分率。一個長方形的周長為\(30cm\)，面積為\(54cm^2\)，求這個長方形的長和寬。提升作業(yè)：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價\(1\)元，商場平均每天可多售出\(2\)件。若商場平均每天要盈利\(1200\)元，每件襯衫應降價多少元？一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大\(3\)，將這個兩位數(shù)的數(shù)字順序顛倒后，得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為\(143\)，求原兩位數(shù)。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解知識結構實驗問題直接開平方法公式法因式分解法一元二次方程分析數(shù)量關系配方平方根一元二次方程一元二次方程的解法一元二次方程的根根的判別式根與系數(shù)的關系1.一元二次方程的解法釋疑解惑方法名稱理論根據(jù)使用方程的形式直接開平方法配方法公式法因式分解法平方根的定義完全平方公式配方法兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0x2=p

或(mx+n)2=p(p

≥0)所有的一元二次方程所有的一元二次方程一邊是0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積的一元二次方程①②③優(yōu)先選擇2.一元二次方程根的判別式Δ=b2–4ac（1）當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當Δ<0時，方程無實數(shù)根.在應用時，要根據(jù)根的情況限定Δ的取值，同時應注意二次項系數(shù)不為0這一條件.3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系，在應用時要注意變形.同時要明確根與系數(shù)的關系成立的兩個條件：（1）a≠0，（2）Δ≥04.應用一元二次方程解決實際問題，要注重分析實際問題中的等量關系，列出方程，求出方程的解，同時要注意檢驗其是否符合題意.典例精析用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2+12x+27=0（2）x(x–2)+x–2=0（3）x2+x–2=4（4）4(x+2)2=9(2x–1)2例1（1）(x+3)(x+9)=0x1=–3，x2=–9.（2）(x+1)(x–2)=0x1=–1，x2=2.解（3）x2+x–6=0(x–2)(x+3)=0解得

x1=2，x2=–3.（4）32x2–52x–7=0(4x–7)(8x+1)=0關于x

的方程ax2–(3a+1)x+2(a+1)=0，有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且有x1–x1x2+x2=1–a，則a

的值是(

).A.1B.–1C.1或–1D.2例2解得a1=1，a2=–1.a=1時Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，與題意不符.Bx1–x1x2+x2=x1+x2–x1x2為了倡導節(jié)能低碳生活，某公司對集體宿舍用電收費作如下規(guī)定：一間宿舍一個月用電量不超過a

千瓦時，則一個月的電費為20元；若超過a

千瓦時，則除交20元外，超過部分每千瓦時要交元，某宿舍3月份用電80千瓦時，交電費35元；4月份用電45千瓦時，交電費20元.（1）求a

的值；（2）若該宿舍5月份交電費45元，那么該宿舍當月用電量為多少千瓦時？例3a

≥45解（1）由題意得20+(80–a)×=35，解得a1=30，a2=50，顯然由題意可知a

≥45，∴a=50.（2）設5月份用電x

千瓦時，依題意得20+(x–50)×=45，解得x=100，則該宿舍當月用電量為100千瓦時.隨堂演練1.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A.(x+2)2=3 B.(x–2)2=3C.(x–2)2=5 D.(x+2)2=5A2.已知關于x

的一元二次方程(k–2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k

的取值范圍是（）C3.設α，β

是一元二次方程x2+3x–7=0的兩個根，則α2+4α+β=____.α2+4α+β=(α2+3α)+(α+β)=7+(–3)=444.一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，請問該校共購買了多少棵樹苗？解：∵60棵樹苗的售價為120×60=7200（元），而7200<8800，∴該校購買的樹苗超過60棵.設該校共購買了x

棵樹苗，由題意得x［120–0.5(x–60)］=8800，解得x1=220，x2=80.當x1=220時，120–0.5×(220–60)=40<100，∴x=220不合題意，舍去；當x2=80時，120–0.5×(80–60)=110>100，∴x=80，即該校共購買了80棵樹苗.D返回返回2．[2025鄭州月考]將一元二次方程2x2－4x＝－5化成一般形式之后，若二次項系數(shù)是2，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為(

)A．4，5 B．－4，5C．－4，－5 D．5，4B1返回3．若關于x的一元二次方程kx2＋4x＋k(k－1)＝0的一個實數(shù)根為0，則k＝________．A返回4.將方程x2－6x＋1＝0配方，可變形為(

)A．(x－3)2＝8 B．(x－3)2＝－10C．(x＋3)2＝－10 D．(x＋3)2＝8D返回5．解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的適當方法是(

)A．直接開平方法

B．配方法C．公式法

D．因式分解法B返回6．若多項式x2＋px＋q能分解成(x＋5)(x－1)的形式，則方程x2＋px＋q＝0的兩個根為(

)A．x1＝－5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝5，x2＝－1 D．x1＝5，x2＝1返回3或－57．[2025新鄉(xiāng)月考]如圖是一個數(shù)值運算程序，若輸出的值為12，則輸入的x的值為________．返回6解：配方，得x2＋4x＋4＝5＋4，∴(x＋2)2＝9，∴x＋2＝±3，∴x1＝1，x2＝－5.9．解下列方程：(1)x2＋4x＝5；(2)3(x－2)2＝x2－4；解：原方程可化為3(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0，∴(x－2)[3(x－2)－(x＋2)]＝0，∴2(x－2)(x－4)＝0，∴x1＝2，x2＝4.返回(3)(x＋2)(2x－3)＝3x＋2.(用公式法解)返回D返回無實數(shù)根11．若關于x的一元二次方程x2－x－m＝0中m<－2，則這個方程的根的情況是____________．12．若關于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是______________．返回13．[2025北京期中]已知關于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；證明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋9，m2≥0，∴Δ＝4m2＋9>0.∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．返回(2)當該方程的判別式的值最小時，寫出m的值，并求出此時方程的解．解：由題意可知，當m＝0時，Δ＝4m2＋9的值最?。畬＝0代入x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0，得x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.返回14.一元二次方程x2＋x－3＝0的兩根分別為x1，x2，則代數(shù)式x21x2＋x1x22的值為________．315．若α，β為方程2x2－5x－1＝0的兩個實數(shù)根，則2α2＋3αβ＋5β的值為________．12返回16．[2025駐馬店期中]已知關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩個實數(shù)根x1，x2.(1)m的取值范圍為________；m≥2返回(2)若x1，x2恰好是對角線長為6的矩形的相鄰兩邊的邊長，求m的值．解：由根與系數(shù)的關系可知x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∵x1，x2恰好是對角線長為6的矩形的相鄰兩邊的邊長，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[2(m＋1)]2－2(m2＋5)＝62，整理，得m2＋4m－21＝0，解得m1＝3，m2＝－7，又∵m≥2，且x1＋x2＝2(m＋1)>0，∴m＝3.返回17.超市某商品的進價為40元/件，原售價為75元/件，為盡快清倉，對該商品連續(xù)兩次打折，且折扣相同，打折后每件仍可獲利20%，則每次打________折．八返回818．某女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了雙循環(huán)比賽，雙循環(huán)比賽共進行了56場，則參加比賽的隊伍共有________支．19．如圖，用長為12m的鋁合金條制成“日”字形窗框，若窗框的寬為xm(鋁合金條的寬度不計)，窗戶的透光面積能是6m2嗎？如果能，求出x的值；如果不能，說明理由．返回20．[2025臨汾期中]閱讀素材，完成下列問題．素材1：某商店銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．素材2：為了擴大銷售，增加利潤并盡快減少庫存，商店決定降價銷售．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，商店平均每天可多售出2件．(1)若商店平均每天要獲得利潤1200元，則每件襯衫應降價多少元？解：設每件襯衫應降價x元．根據(jù)題意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2＝20.∵要盡快減少庫存，∴x＝20.答：若商店平均每天要獲得利潤1200元，則每件襯衫應降價20