《垂直于弦的直徑》知識(shí)回顧連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.(2)圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．1.圓的定義(1)在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．2.弦的定義3.弧的定義圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題.3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問(wèn)題.課堂導(dǎo)入你能通過(guò)折疊的方式找到圓形紙片的對(duì)稱軸嗎？在折的過(guò)程中你有何發(fā)現(xiàn)？知識(shí)點(diǎn)1新知探究（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？（2）你是怎么得出結(jié)論的？圓的對(duì)稱性：

圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.●O不能說(shuō)圓的直徑是圓的對(duì)稱軸，因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，而直徑是線段.知識(shí)點(diǎn)1新知探究例

求證：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.

導(dǎo)引：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.知識(shí)點(diǎn)1新知探究證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C,D以外的任意

一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AA′⊥CD，交⊙O于點(diǎn)A′，垂足為M，連接OA，OA′.

在△OAA′中，∵OA=OA′,

∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分線.

這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，

在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.即圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.

知識(shí)點(diǎn)1新知探究如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB，垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD)(((理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC和BC，AD與BD重合．((((·OABDEC知識(shí)點(diǎn)1新知探究垂徑定理*·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE，((AC=BC，((AD=BD.推導(dǎo)格式：知識(shí)點(diǎn)1新知探究垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC知識(shí)點(diǎn)1新知探究如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.在一個(gè)圓中，一條直線只要滿足上面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，都可以推出其他三個(gè)結(jié)論(知二推三).知識(shí)點(diǎn)1新知探究“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD知識(shí)點(diǎn)1新知探究例

趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形.知識(shí)點(diǎn)1新知探究

解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.((在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)C，(連接OA，根據(jù)垂徑定理，得D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.(由題設(shè)可知AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.知識(shí)點(diǎn)1新知探究在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法OABC·知識(shí)點(diǎn)1新知探究弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系

d+h=r

ABCDOhrd跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖，AB是圓O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若圓O的半徑為5，AB=8，則CD的長(zhǎng)是()A.2 B.3 C.4 D.5A

隨堂練習(xí)1（2018?綏化中考）如圖，下水管道橫截面為圓形，直徑為100cm，下雨前水面寬為60cm，一場(chǎng)大雨過(guò)后，水面寬為80cm，則水位上升

cm.10或70

隨堂練習(xí)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(13，0)，直線y=kx-3k+4與圓O交于B，C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為

.24

隨堂練習(xí)3已知圓O的半徑為10cm，AB，CD是圓O的兩條弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是

cm.解：分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1所示，過(guò)O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點(diǎn)E，連接OC，OA，∵AB//CD，∴

OE⊥AB，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2

cm.圖1已知圓O的半徑為10cm，AB，CD是圓O的兩條弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是

cm.隨堂練習(xí)32或14解：②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，過(guò)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，連接OC，OA，如圖2所示，∵AB//CD，∴

OF⊥AB，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm；綜上所述：AB和CD之間的距離為2cm或14cm．圖2課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其他三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形對(duì)接中考1

對(duì)接中考1C

對(duì)接中考2

B對(duì)接中考3某地有一座弧形的拱橋，橋下的水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎?解：如圖，設(shè)這座拱橋的截面為AB，AB為水面，O為AB所在圓的圓心，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，在線段AB上作線段EF=3m，使點(diǎn)D為EF的中點(diǎn)，作矩形MNFE，使點(diǎn)M，N在AB上，MN交OC于點(diǎn)H，連接OA，ON.((((

對(duì)接中考3某地有一座弧形的拱橋，橋下的水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎?

圓的對(duì)稱性1.下列命題中，不正確的是(

D

)A.圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形B.圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與它自身重合C.圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條，對(duì)稱中心只有一個(gè)D.圓的每一條直徑都是它的對(duì)稱軸D12345678910111213141516

垂徑定理及其推論2.如圖，

DC

是☉

O

的直徑，弦

AB

⊥

CD

于點(diǎn)

F

，連接

BC

，

BD

，則錯(cuò)

誤結(jié)論為(

A

)A.

OF

＝

CF

B.

AF

＝

BF

A123456789101112131415163.下列說(shuō)法正確的是(

D

)A.垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的兩條弧B.平分弦的直徑垂直于弦C.垂直于直徑的弦平分這條直徑D.過(guò)弦(不是直徑)的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧D【解析】A.過(guò)圓心且垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的兩條弧，故該選項(xiàng)

不符合題意；B.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故該選項(xiàng)不符合題

意；C.垂直于弦的直徑平分這條弦，故該選項(xiàng)不符合題意；D.過(guò)弦(不

是直徑)的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，正確，故該選項(xiàng)符合題意.12345678910111213141516

垂徑定理及其推論的應(yīng)用4.如圖，在半徑為5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于點(diǎn)

C

，則

OC

的長(zhǎng)為(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第4題圖A12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OA

，則

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

∴在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2.∴

OC

＝3cm.123456789101112131415165.如圖，以

CD

為直徑的☉

O

中，弦

AB

⊥

CD

于點(diǎn)

M

.

若

AB

＝16，

CM

＝16，則

MD

的長(zhǎng)為(

A

)A.4B.6C.8D.10第5題圖A12345678910111213141516【解析】如圖，連接

OB

.

∵

AB

⊥

CD

，且

CD

為☉

O

的直徑，

AB

＝16，

設(shè)☉

O

的半徑為

r

，則

OM

＝16－

r

.在Rt△

OBM

中，

BM2＋

OM2＝

OB2，即82＋(16－

r

)2＝

r2，解得

r

＝10.∴

CD

＝2

r

＝20.∴

MD

＝

CD

－

CM

＝20－16＝4.123456789101112131415166.(唐山期中)如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦

AB

長(zhǎng)8m，

輪子的吃水深度

CD

為2m，則該槳輪船的輪子直徑為(

A

)A.10mB.8mC.6mD.5m第6題圖A12345678910111213141516【解析】設(shè)該槳輪船的半徑為

rm，則

OA

＝

OC

＝

r

，又∵

CD

＝2m，

∴

OD

＝(

r

－2)m，∵

AB

＝8m，

OC

⊥

AB

，∴

AD

＝4m.在Rt△

ODA

中，由勾股定理，得

OA2＝

OD2＋

AD2，即

r2＝(

r

－2)2＋42，解得

r

＝

5，∴2

r

＝10.∴該槳輪船的輪子直徑為10m.123456789101112131415167.(石家莊第四十中學(xué)期中)往直徑為26cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一

些水以后，截面如圖所示，若水面

AB

的寬度為24cm，則水的最大深

度為(

D

)A.5cmB.10cmC.13cmD.8cm第7題圖D12345678910111213141516【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)

O

作

OC

⊥

AB

于點(diǎn)

D

，交☉

O

于點(diǎn)

C

，連接

OA

.

∵

OC

⊥

AB

，

AB

＝24cm，

∵直徑為26cm，

∴

CD

＝

OC

－

OD

＝13－5＝8(cm).123456789101112131415168.(保定涿州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖，☉

O

的直徑為10，

AB

為弦，

半徑

OC

⊥

AB

，垂足為

E

，如果

CE

＝2，那么

AB

的長(zhǎng)是(

C

)A.4B.6C.8D.10第8題圖C【解析】如圖，連接

OA

.

∵半徑

OC

⊥

AB

.

∵☉

O

的直徑為10，∴

OA

＝

OC

＝5.又∵

CE

＝2，∴

OE

＝

OC

－

CE

＝5－2＝3.

12345678910111213141516

C.5m第9題圖A12345678910111213141516

1234567891011121314151610.【教材第83頁(yè)練習(xí)第2題改編】如圖，在☉

O

中，

AB

，

AC

為互相垂

直且相等的兩條弦，

D

，

E

分別為弦

AB

，

AC

的中點(diǎn)，則

OD

與

OE

的

數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是

?.OD

＝

OE

，

OD

⊥

OE

12345678910111213141516

11.(石家莊期末)

P

是☉

O

內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P

的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm，

最短弦的長(zhǎng)為6cm，則

OP

的長(zhǎng)為(

C

)A.7cmB.5cmC.4cmD.3.5cmC【解析】如圖所示，

CD

⊥

AB

于點(diǎn)

P

.

根據(jù)題意，得

AB

＝10cm，

CD

＝6cm.∴

OC

＝5cm，

CP

＝3cm，

1234567891011121314151612.如圖，

AB

是☉

O

的直徑，弦

CD

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，

BE

＝1cm，

CD

＝6

cm，則

AE

的長(zhǎng)為(

B

)A.4cmB.9cmC.5cmD.8cmB12345678910111213141516

12345678910111213141516

第13題圖D12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.5B.6C.7D.8第14題圖B

1234567891011121314151615.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人

民的智慧，圖1，點(diǎn)

M

表示筒