《直線和圓的位置關(guān)系（第三課時(shí)）》知識回顧經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.1.切線的判定定理2.切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.2.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.課堂導(dǎo)入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB知識點(diǎn)1新知探究P切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫作這點(diǎn)到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識點(diǎn)1新知探究PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？PA，PB有何關(guān)系？∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PAB知識點(diǎn)1新知探究已知，如圖PA，PB是☉O的兩條切線，A,B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.O.PAB知識點(diǎn)1新知探究切線長定理PA，PB分別切☉O于A，BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.經(jīng)過圓上一點(diǎn)作圓的切線，有且只有一條；經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，有兩條.知識點(diǎn)1新知探究若連接兩切點(diǎn)A,B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論？并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB，∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線，∴OP垂直平分AB.O.PABM知識點(diǎn)1新知探究若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連接CA,CB，你又能得出什么新的結(jié)論？并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌

△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC知識點(diǎn)1新知探究活學(xué)巧記過圓外一點(diǎn)作切線，此點(diǎn)與切點(diǎn)間線段長，名稱就叫切線長.圓外一點(diǎn)引兩切，牢記切線長相等，此點(diǎn)圓心兩相連，平分兩切之夾角.跟蹤訓(xùn)練新知探究如圖，已知四邊形ABCD的每條邊都和⊙O相切，且BC=10，AD

=7，則四邊形ABCD的周長為()A.32 B.34 C.36 D.38B解：設(shè)四邊形的各邊與圓的切點(diǎn)分別為P，Q，M，N，則AQ=AM，BN=BM，CN=CP，DP=DQ.所以四邊形ABCD的兩組對邊的和相等，所以四邊形ABCD的周長=2×(7+10)=34．PQMNDCAB知識點(diǎn)2新知探究小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？知識點(diǎn)2新知探究如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切.知識點(diǎn)2新知探究1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI1.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.2.一個(gè)圓可以有無數(shù)個(gè)外切三角形，但是一個(gè)三角形只有一個(gè)內(nèi)切圓.知識點(diǎn)2新知探究如何作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉O與△ABC的三邊都相切，那么圓心O應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心O呢？

圓心O到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心O應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).知識點(diǎn)2新知探究已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.DMNOABC知識點(diǎn)2新知探究三角形內(nèi)切圓的作法：作三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的平分線，以兩條角平分線的交點(diǎn)為圓心，以交點(diǎn)到三角形任意一邊的距離為半徑作圓即可.知識點(diǎn)2新知探究BACI如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段IA，IB，IC有什么特點(diǎn)？線段IA，IB

，IC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.知識點(diǎn)2新知探究如圖，分別過點(diǎn)I

作AB，AC，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，那么線段IE，IF，IG之間有什么關(guān)系？BACIEFGIE=IF=IG知識點(diǎn)2新知探究三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑.BACIEFG名稱外心(三角形的外接圓圓心，即三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)).內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心，即三角形三條角平分線的交點(diǎn)).圖形性質(zhì)三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.位置外心不一定在三角形的內(nèi)部.內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部.角度關(guān)系∠BOC=2∠A.知識點(diǎn)2新知探究三角形外心、內(nèi)心的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練新知探究（2018·湖州中考）如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC邊相切于點(diǎn)D，連接OB，OD.若∠ABC=40°，則∠BOD的度數(shù)是

.70°

A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的內(nèi)心D.△ABC的內(nèi)心隨堂練習(xí)1如圖為4×4的網(wǎng)格，A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)O是()B隨堂練習(xí)2

隨堂練習(xí)3如圖，PA,PB,DE分別切☉O于點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)D在PA上，點(diǎn)E在PB上.(1)若PA=10，求△PDE的周長；(2)若∠P=50°，求∠DOE的度數(shù).解：(1)因?yàn)镻A,PB,DE分別切☉O于點(diǎn)A,B,C,所以PA=PB，DA=DC，

EC=EB，所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，所以△PDE的周長為20.隨堂練習(xí)3

如圖，PA,PB,DE分別切☉O于點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)D在PA上，點(diǎn)E在PB上.(1)若PA=10，求△PDE的周長；(2)若∠P=50°，求∠DOE的度數(shù).課堂小結(jié)切線長切線長定理作用圖形的軸對稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點(diǎn)；連接兩切點(diǎn)；連接圓心和圓外一點(diǎn).三角形內(nèi)切圓運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.有關(guān)概念內(nèi)心概念及性質(zhì)應(yīng)用對接中考1（2020?鎮(zhèn)江模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A(3,0),B(5,0),C(0,4)，

☉P經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()C

FEP對接中考2如圖，☉O與正方形ABCD的兩邊AB,AD相切，且DE與☉O相切于點(diǎn)E.若☉O的半徑為5,AB=11，則DE的長度為()B

解：連接OM，ON，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=11，∠A=90°，∵圓O與正方形ABCD的兩邊AB，AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四邊形ANOM是正方形，∴AM=OM=5，∵AD和DE與圓O相切，圓O的半徑為5，∴AM=5，DM=DE，∴DE=11-5=6.

NM

對接中考3如圖所示，王奶奶有一塊三角形的布料，∠ABC=90°，她要裁一個(gè)圓片，已知AB=60cm，BC=80cm，為了充分地利用這塊布料，使剪下來的圓片的直徑盡量大些，她應(yīng)該怎樣裁剪?這個(gè)圓的直徑是多少?

切線長定理1.如圖，

PA

切☉

O

于點(diǎn)

A

，

PB

切☉

O

于點(diǎn)

B

，

OP

交☉

O

于點(diǎn)

C

，連接

AB

，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(

D

)A.∠1＝∠2B.

PA

＝

PB

C.

AB

⊥

OP

D.以上都不對第1題圖D1234567891011121314【解析】如圖，連接

AO

，

OB

.

∵

PA

切☉

O

于點(diǎn)

A

，

PB

切☉

O

于點(diǎn)

B

，∴

PA

＝

PB

，即△

ABP

是等腰三角形.∵

OA

＝

OB

，

OP

＝

OP

，∴△

OPA

≌△

OPB

.

∴∠1＝∠2.∴

AB

⊥

OP

.

故選項(xiàng)A，B，C正確，不符合題意，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意.12345678910111213142.如圖，

AB

，

AC

，

BD

均是☉

O

的切線，切點(diǎn)分別是

P

，

C

，

D

.

若

AB

＝10，

AC

＝6，則

BD

的長是(

B

)A.3B.4C.5D.6第2題圖B【解析】∵

AC

，

AP

為☉

O

的切線，∴

AC

＝

AP

＝6.∵

BP

，

BD

為☉

O

的切線，∴

BP

＝

BD

.

∵

AB

＝10，∴

BD

＝

BP

＝

AB

－

AP

＝10－6＝4.12345678910111213143.如圖是一個(gè)玩具從正面看到的圖形，玩具的圓形臉恰好與帽子邊沿

PA

，

PB

分別相切于點(diǎn)

A

，

B

，不倒翁的鼻尖正好是圓心

O

.

若∠

OAB

＝30°，則∠

APB

的度數(shù)為(

B

).A.50°B.60°C.25°D.90°第3題圖B1234567891011121314【解析】∵

PA

切☉

O

于點(diǎn)

A

，

OA

是半徑，∴

PA

⊥

OA

.

∴∠

PAO

＝90°.∵∠

OAB

＋∠

PAB

＝∠

PAO

，∴∠

PAB

＝∠

PAO

－∠

OAB

＝60°.∵

PA

，

PB

分別切☉

O

于點(diǎn)

A

，

B

，∴

PA

＝

PB

.

∴∠

PBA

＝∠

PAB

＝60°.∵∠

PAB

＋∠

PBA

＋∠

APB

＝180°，∴∠

APB

＝180°－60°－60°＝60°.1234567891011121314

三角形的內(nèi)切圓4.三角形的內(nèi)心是三角形的(

A

)A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)A12345678910111213145.如圖，點(diǎn)

O

是△

ABC

的內(nèi)心，若∠

BAC

＝80°，則∠

BOC

的度數(shù)為

(

D

)A.100°B.110°C.120°D.130°第5題圖D1234567891011121314

12345678910111213146.如圖，Rt△

ABC

的內(nèi)切圓與邊

AB

，

AC

，

BC

分別相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

.

若

AD

＝3，

BD

＝4，則△

ABC

的面積為(

C

)A.8B.10C.12D.14第6題圖C1234567891011121314

1234567891011121314

7.(石家莊統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，將△

ABC

折疊，使

AC

邊落在

AB

邊上，展開后得到折痕

AD

.

將△

ABC

再次折疊，使

BC

邊落在

BA

邊

上，展開后得到折痕

BE

，

BE

與

AD

交于點(diǎn)

O

，則以下結(jié)論一定成立的

是(

C

)CA.

AO

＝2

OD

B.

S△

ABO

＝

S四邊形

ODCE

C.點(diǎn)

O

到△

ABC

三邊的距離相等D.點(diǎn)

O

到△

ABC

三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等第7題圖1234567891011121314【解析】∵

AD

，

BE

是折痕，∴

AD

平分∠

BAC

，

BE

平分∠

ABC

，點(diǎn)

O

為△

ABC

的內(nèi)接圓的圓心.如圖所示，作

OF

⊥

BC

于點(diǎn)

F

，

OG

⊥

AB

于點(diǎn)

G

，

OH

⊥

AC

于點(diǎn)

H

，

連接

OC

.

1234567891011121314A.∠

BAC

的度數(shù)無法確定，

OA

與

OD

的數(shù)量關(guān)系也不確定，故該選項(xiàng)

不符合題意；B.

AB

，

AC

，

BC

的長度不確定，

S△

ABO

，

S四邊形

ODCE

的數(shù)量關(guān)系也不

確定，故該選項(xiàng)不符合題意；C.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，

OF

＝

OG

＝

OH

，即點(diǎn)

O

到△

ABC

三邊

的距離相等，故該選項(xiàng)符合題意；D.

OA

≠

OB

≠

OC

，故該選項(xiàng)不符合題意.12345678910111213148.如圖，☉

O

是四邊形

ABCD

的內(nèi)切圓.若∠

AOB

＝70°，則∠

COD

的

度數(shù)為(

A

)A.110°B.125°C.140°D.145°第8題圖A1234567891011121314【解析】∵☉

O

是四邊形

ABCD

的內(nèi)切圓，∴∠

OAB

＝∠

OAD

，∠

ODA

＝∠

ODC

，∠

OCD

＝∠

OCB

，∠

OBC

＝∠

OBA

.

∵∠

OAB

＋∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

OCB

＋∠

OBC

＋∠

OBA

＝360°，∴∠

OAB

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

OBA

＝∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

OCB

＋∠

OBC

＝180°.1234567891011121314∵∠

AOB

＝70°，∠

OAB

＋∠

OBA

＋∠

AOB

＝180°①，∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

COD

＝180°②，①＋②，得∠

OAB

＋∠

OBA

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

AOB

＋∠

COD

＝

180°＋180°.∴∠

COD

＝180°－70°＝110°.12345678910111213149.如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝8，

BC

＝6，☉

O

為△

ABC

的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)

D

，

E

，

F

，則☉

O

的半徑是(

C

)A.1C.2D.3第9題圖C【解析】如圖，連接

OE

，

OF

.

設(shè)☉

O

的半徑為

r

1234567891011121314由題意，知在四邊形

OECF

中，

OE

＝

OF

＝

r

，∠

OEC

＝∠

OFC

＝∠

C

＝90°，∴四邊形

OECF

是正方形.由切線長定理，得

AD

＝

AF

，

BD

＝

BE

，

CE

＝

CF

，

即☉

O

的半徑為2.123456789101112131410.(邢臺校考階段練習(xí))如圖，半圓

O

的圓心在梯形

ABCD

的底邊

AB

上，且半圓

O

與梯形的其他三邊均相切，若

AB

＝6，

CD

＝2，則梯

形的周長為(

C

)A.8B.10C.14D.18第10題圖C1234567891011121314【解析】如圖，連接

OD

，

OC

.

∵

AD

，

CD

是☉

O

的切線，∴∠

ADO

＝∠

ODC

.

由題意，知

CD

∥

AB

，∴∠

ODC

＝∠

AOD

.

∴∠

ADO

＝∠

AOD

.

∴

AD

＝

OA

.

同理，可得

OB

＝

BC

，∴

AD

＋

BC

＝

OA

＋

OB

＝

AB

＝6.∵

CD

＝2，∴梯形的周長為

AB

＋

BC

＋

AD

＋

CD

＝6＋6＋2＝14.123456789101112131411.(石家莊校考階段練習(xí))如圖，點(diǎn)

O

是△

ABC

外接圓的圓心，點(diǎn)

I

是△

ABC

的內(nèi)心，連接

OB

，

IA

.

若∠

CAI

＝35°，則∠

OBC

的度數(shù)為

(

C

)A.15°B.17.5°C.20°D.25°C1234567891011121314【解析】如圖，連接

OC

.

∵點(diǎn)

I

是△

ABC

的內(nèi)心，∠

CAI

＝35°，∴∠

BAC

＝2∠

CAI

＝70°.∴∠

BOC

＝2∠

BAC

＝140°.∵

OB

＝

OC

，

123456789101112131412.【教材第100頁練習(xí)第1題改編】如圖，在△

ABC

中，點(diǎn)

O

是△

ABC

的內(nèi)心，∠

BOC

＝110°，求∠

A

的度數(shù).解：∵∠

BOC

＋∠

OBC

＋∠

OCB

＝180°，∠

BOC

＝110°，∴∠

OCB

＋∠

OBC

＝180°－110°＝70°.∵點(diǎn)

O

是△

ABC

的內(nèi)心，∴∠

ABC

＝2∠

OBC

，∠

ACB

＝2∠

OCB

.

∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝2×70°＝140°.∴∠

BAC

＝

180°－(∠

ABC

＋∠

ACB

)＝180°－140°＝40°.123456789101112131413.如圖，△

ABC

是直角三角形，以斜邊

AB

為直徑作半圓，半圓的圓

心為

O

，過

A

，

C

兩點(diǎn)作半圓的切線，交點(diǎn)為

D

，連接

DO

交

AC

于點(diǎn)

E

.

(1)求證：

OD

∥

BC

；證明：(1)如圖所示，連接

OC

.

∵

DA

，

DC

是半圓

O

的切線，∴

AD

＝

CD

，且

OA

⊥

AD

，

OC

⊥

CD

.

1234567891011121314又∵

OA

＝

OC

，

OD

＝

OD

，∴△

OAD

≌△

OCD

(SSS).∴∠

ADO

＝∠

CDO

，即

DO

是∠

ADC

的平分線.∴

DO

⊥

AC

.

又由題意，得

BC

⊥

AC

，∴

OE

∥

BC

.

1234567891011121314(2)若

AC

＝2

BC

，求證：

AB

＝

AD

.

證明：(2)由(1)知，

OE

∥

BC

，

DO

⊥

AC

，∴∠