1.2矩形的性質(zhì)與判定學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，矩形的邊、分別在x軸、y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．以為底邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)F是邊上的定點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，若，則為（

）（用含的式子表示）A． B． C． D．3．如圖，矩形中，直線垂直平分，與，分別交于點(diǎn)M，N．若，，則矩形的對角線的長為（

）A． B． C． D．44．如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若，．則四邊形MBND的周長為（

）A． B．5 C．10 D．205．如圖，矩形中，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），F(xiàn)為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P由B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，下面對變化情況描述正確的是（）

A．由小變大 B．由大變小 C．先變大后邊小 D．先變小后變大6．如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，且，．下列四種說法：

①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果，且，那么四邊形是菱形．其中，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，，，于點(diǎn)E．則下列條件中，不能使四邊形成為矩形的條件是（

）

A． B．C． D．8．如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，連接，．若的面積等于的面積，則和的面積比等于（

）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶49．如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，連按AF，將線段AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP，則線段PE的最小值為(

)A． B． C．4 D．11．如圖，矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，垂直平分，，則等于（

）

A．4 B．5 C．6 D．712．如圖，在矩形中，對角線、相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．二、填空題13．在矩形中，，點(diǎn)P是直線一動(dòng)點(diǎn)，若將沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接，若P、E、D三點(diǎn)在同一條直線上，則．14．在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，，則cm．15．如圖，將一張長方形紙片按圖中那樣折疊，若，，則重疊部分（陰影）的面積是．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，且CP＝1，將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，AQ的長為．17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，若直線與長方形的邊，有交點(diǎn)，且恰好將長方形分為面積相等的兩部分，則m的值為．三、解答題18．如圖所示，在中，，分別是，邊上的高，求證：，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．19．如圖，在矩形中，，若點(diǎn)P在邊上，連接是以為腰的等腰三角形，求的長．20．有兩個(gè)全等的三角形紙片和，其中，，將和按如圖所示方式擺放，斜邊和的中點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)），交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．21．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長方形的邊在軸上，邊在軸上，且，．(1)在長方形的邊上找一點(diǎn)，使得直線將長方形的面積分成1:3兩部分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．(2)如圖，已知點(diǎn)在邊上，且，請你在邊上找一點(diǎn)，將沿翻折，使得點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處．求線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線將四邊形的面積分成2：3兩部分？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．如圖，在長方形紙片中，，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿直線所在直線折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，求的長．23．如圖，已知以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作等邊三角形ABD、BCE和ACF．(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是菱形？是矩形？并說明理由；(3)這樣的平行四邊形ADEF是否總是存在？請說明理由．24．已知線段，以為斜邊作和，連接，分別是線段、的中點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，和在線段的兩側(cè)．①求證：；②若，；請求出的度數(shù)；(2)如圖2，和在線段的同側(cè)，若、，則的度數(shù)為______（用含、的代數(shù)式表示）《1.2矩形的性質(zhì)與判定》參考答案題號12345678910答案ADACBDCAAB題號1112答案CB1．A【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，坐標(biāo)與圖形，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，連接交x軸于點(diǎn)，則最小值為，此時(shí)點(diǎn)P位于處，利用矩形的性質(zhì)得到，則，再求出直線的解析式為，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，連接交x軸于點(diǎn)，∴，∵，∴最小值為，此時(shí)點(diǎn)P位于處，∵四邊形是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，即當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選：A．2．D【分析】如圖，取的中點(diǎn)H，連接，交于，作直線，交于，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，證明，則在直線上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最短，從而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)H，連接，交于，作直線，交于，∵，，∴，，，∵等腰直角三角形，，∴，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，且，∵，∴是的垂直平分線，∴，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最短，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明在直線上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵．3．A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴，∵直線垂直平分，∴，再中，，∵，∴在中，，故選：A．4．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)菱形的判定可得四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可得的值，最后根據(jù)菱形的周長公式即可得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由作圖過程可知，垂直平分，，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，，即，解得，則四邊形的周長為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．B【分析】連接，則為的中位線，當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，由大變小，利用中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，

為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為的中位線，，在中，由勾股定理得，，當(dāng)點(diǎn)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長度逐漸減小，減小，由大變小．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接，構(gòu)造三角形中位線．6．D【分析】先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)，，得出為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)，根據(jù)推出的平行四邊形，利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若平分，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等又得到一對角相等，等量代換可得，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由，，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得平分，同理可得四邊形是菱形，④正確，進(jìn)而得到正確說法的個(gè)數(shù)．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)①正確；若，平行四邊形為矩形，選項(xiàng)②正確；若平分，，又，，，，平行四邊形為菱形，選項(xiàng)③正確；若，，平分，同理可得平行四邊形為菱形，選項(xiàng)④正確，則其中正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．7．C【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法，先證明，得出，然后根據(jù)矩形的判定方法，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴；A．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，故A不符合題意；B．∵，，∴，∵∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，故B不符合題意；C．根據(jù)不能判定四邊形為矩形，故C不符合題意；D．∵，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，故D不符合題意．故選：C．8．A【分析】作于，于N，由矩形的性質(zhì)推出，得到，由三角形面積公式得到，由，推出，由，得到，又，即可求出和的面積比．【詳解】解：作于M，于N，

∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴和的面積比等于．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到，．9．A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．10．B【分析】連接AE，過點(diǎn)A作AG⊥AE，截取AG=AE，連接PG，GE，通過SAS證明△AEF≌△AGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的長，在△GPE中，利用三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：連接AE，過點(diǎn)A作AG⊥AE，截取AG=AE，連接PG，GE，∵將線段AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP，∴AF=AP，∠PAF=90°，∴∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°，∴∠FAE=∠PAG，在△AEF和△AGP中，∴△AEF≌△AGP（SAS），∴PG=EF=2，∵BC=3，CE=2BE，∴BE=1，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∵AG=AE，∠GAE=90°，∴，在△GPE中，PE＞GE-PG，∴PE的最小值為GE-PG=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】由矩形的性質(zhì)得出，證明，都是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，垂直平分相等，，，是等邊三角形，則是等邊三角形，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．12．B【分析】以為邊作等邊三角形，連接，證明，得到，，進(jìn)而求出，得到，推出，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，，，，，由矩形的性質(zhì)可得，，，，在和中，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．13．1或9【分析】本題考查勾股定理，矩形性質(zhì)中折疊問題，全等三角形性質(zhì)及判定．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．由勾股定理可以求出的長，設(shè)，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一種情況先證明，再利用勾股定理即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，根據(jù)折疊性質(zhì)：，在中，，設(shè)，則，在中，，解得：，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，根據(jù)折疊性質(zhì)：，，，在和中，，，，在中，，，綜上：的長為1或9，故答案為：1或9．14．12【分析】根據(jù)矩形對角線相等性質(zhì)即可求得BD的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AO=6cm，∴BD=AC=2AO=12cm，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，掌握矩形的對角線相互平分且相等是關(guān)鍵．15．【分析】首先根據(jù)勾股定理，可求得的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，可證得，據(jù)此即可求得結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，在中，，，將一張長方形紙片按圖中那樣折疊，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等角對等邊，證得是解決本題的關(guān)鍵．16．或/或【分析】連接，根據(jù)題意可得，當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，分點(diǎn)在線段上和的延長線上，且，勾股定理求得即可．【詳解】如圖，連接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根據(jù)題意可得，當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，點(diǎn)在上，且，，如圖，在中，，在中，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．計(jì)算出所圍矩形的面積，直線恰好將矩形分為面積相等的兩部分，所以直線把矩形分為兩邊均為，根據(jù)梯形面積求解m的值．【詳解】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，長方形的面積為.如圖，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為.直線恰好將長方形分為面積相等的兩部分，四邊形的面積為60，，，.18．見解析【分析】求證，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，是直角三角形，則三個(gè)頂點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)為圓心的圓上，因而只要再證明到得中點(diǎn)的距離等于的一半就可以．此題主要考查了確定圓的條件，求證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上就是證明這幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)點(diǎn)的距離相等．【詳解】證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．，是的高，和都是直角三角形．，分別為和斜邊上的中線，．，，，四點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上．19．或【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．先依題意，作圖，證明四邊形是矩形，再進(jìn)行分類討論，第一種情況：當(dāng)時(shí)，再結(jié)合勾股定理列式計(jì)算，第二種情況：當(dāng)，即可作答．【詳解】解：依題意，如圖所示：∵四邊形是矩形∴過點(diǎn)P作∴∴∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形∴,∴第一種情況：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，∴，∴第二種情況：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，綜上：滿足條件的的長為或20．菱形，理由見解析【分析】根據(jù)菱形的判定定理，全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)證明即可．本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是菱形，理由如下：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，又點(diǎn)是斜邊和的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形．21．(1)(2)；存在，或【分析】（1）設(shè)，分別求出，，再由題意得到或，求出的值即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由折疊可知，則，在Rt中，，求出，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；設(shè)，分別求出，，，，根據(jù)題意可得或，求出的值即可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，，，點(diǎn)在上，設(shè)，，直線將長方形的面積分成1:3兩部分，或，解得或（舍），，故答案為：；（2）解：，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由折疊可知，，，，，，在Rt中，，解得，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，設(shè)直線的解析式為，，解得，；存在一點(diǎn)，使得直線將四邊形的面積分成2：3，理由如下：設(shè)，，，，，，或，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．或【分析】本題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理．根據(jù)題意進(jìn)行分類討論①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E在線段延長線上時(shí)，點(diǎn)F作的平行線，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，先求出，再求出，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，過點(diǎn)F作的平行線，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，∵四邊形為矩形，，∴四邊形為矩形，∴，，∵點(diǎn)F在線段的垂直平分線上，∴，則，∵沿直線折疊得到，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即；②當(dāng)點(diǎn)E在線段延長線上時(shí)，過點(diǎn)F作的平行線，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，∵四邊形為矩形，，∴四邊形為矩形，∴，，∵點(diǎn)F在線段的垂直平分線上，∴，則，∵沿直線折疊得到，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即．綜上：或．23．(1)證明見解析；(2)當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形，當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形．理由見解析；(3)不總是存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根據(jù)SAS推出△DBE≌△ABC，根據(jù)全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADEF是菱形，根據(jù)菱形的判定推出即可；當(dāng)∠BAC＝150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；（3）這樣的平行四邊形ADEF不總是存在，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，此時(shí)四邊形ADEF就不存在．【