第3講圓的方程及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.3.掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．一圓的定義、方程1．圓的定義定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2.圓的一般方程的特點(diǎn)(1)x2和y2的系數(shù)相等且大于0，含x2的項(xiàng)和含y2的項(xiàng)用加號(hào)連接；(2)沒(méi)有含xy的二次項(xiàng)；(3)A＝C≠0且B＝0是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的必要不充分條件．二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外．(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上．(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．三直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀(guān)點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀(guān)點(diǎn)d>rd＝rd<r常/用/結(jié)/論1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3．圓的切線(xiàn)方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2；切線(xiàn)：y－y0＝－eq\f(x0,y0)(x－x0)(y0≠0)，即y0y＋x0x＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2，即x0x＋y0y＝r2(留一代一)．(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線(xiàn)方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線(xiàn)，則兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2.思考：如何推導(dǎo)呢？設(shè)切點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則P點(diǎn)處切線(xiàn)：x1x＋y1y＝r2，Q點(diǎn)處切線(xiàn)：x2x＋y2y＝r2，將M代入兩切線(xiàn)：x1x0＋y1y0＝r2①，x2x0＋y2y0＝r2②.由①②可知，直線(xiàn)PQ：x0x＋y0y＝r2.(留一代一)4．圓系方程(1)同心圓系方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；(2)過(guò)直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(3)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(4)若直線(xiàn)平分圓的周長(zhǎng)，則直線(xiàn)一定過(guò)圓心．(√)2．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4解析：根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.答案：A3．若直線(xiàn)ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝1的關(guān)系為()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都有可能解析：∵eq\f(|a×0＋b×0－1|,\r(a2＋b2))<1，∴a2＋b2>1，∴點(diǎn)P(a，b)在圓外．答案：B4．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)y＝kx－1與圓C：x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能解析：直線(xiàn)y＝kx－1恒過(guò)定點(diǎn)A(0，－1)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為eq\r(,3)，而|AC|＝eq\r(,2)<eq\r(,3)，所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線(xiàn)y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．故選C.答案：C題型圓的方程典例1(1)(2024·吉林長(zhǎng)春模擬)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線(xiàn)4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是利用幾何法：設(shè)圓心C(a，b)，圓心到直線(xiàn)的距離d＝r，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|4a－3b|,5)＝1，,|b|＝1.))()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1(2)求圓心在直線(xiàn)x－2y－3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程．(1)解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)(a>0，b>0)，由圓與直線(xiàn)4x－3y＝0相切，得圓心到直線(xiàn)的距離d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化簡(jiǎn)，得|4a－3b|＝5①.又圓與x軸也相切，所以|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)．把b＝1代入①，得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選B.(2)解：方法一：設(shè)點(diǎn)C為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線(xiàn)x－2y－3＝0上，所以可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a＋3，a)．又該圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，所以|CA|＝|CB|，即eq\r(2a＋3－22＋a＋32)＝eq\r(2a＋3＋22＋a＋52)，解得a＝－2，所以圓心C的坐標(biāo)為(－1，－2)，半徑r＝eq\r(10).故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法三：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))滿(mǎn)足D2＋E2－4F>0，故所求圓的方程為x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法四(幾何法)：圓心在A(yíng)B的中垂線(xiàn)上：y＋4＝－2x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,y＋4＝－2x，))得圓心C(－1，－2)，再求r＝|CA|＝eq\r(10).求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐推薦使用的方法，計(jì)算量較小，關(guān)鍵是挖掘圖形的幾何性質(zhì)．標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法思路簡(jiǎn)單，但計(jì)算量稍大．①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值．②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)出圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．提醒：解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．對(duì)點(diǎn)練1(1)(多選)若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓，則k的值為()A.eq\f(4,5)B．0C．3D．－2(2)(2024·湖北武漢調(diào)研)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線(xiàn)x－y＋8＝0對(duì)稱(chēng)的圓的方程為_(kāi)___________．解析：(1)方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<eq\f(1,5)，故選BCD.(2)設(shè)對(duì)稱(chēng)圓的圓心為(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－12,m＋2)＝－1，,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝6，))所以所求圓的圓心為(4,6)，故所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝4.答案：(1)BCD(2)(x－4)2＋(y－6)2＝4題型直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系典例2(1)直線(xiàn)l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()過(guò)定點(diǎn)(1,1)，而(1,1)在⊙C內(nèi)?相交．A．相交 B．相切C．相離 D．不確定(2)若曲線(xiàn)y＝eq\r(,4－x2)與直線(xiàn)y＝k(x－易錯(cuò)點(diǎn)：y≥0，即曲線(xiàn)：x2＋y2＝4(y≥0)．2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D．(1,3](3)已知圓O：x2＋y2＝4上到直線(xiàn)l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為()即圓心O到l的距離d＜3.A．(－3eq\r(,2)，3eq\r(,2))B．(－∞，－3eq\r(,2))∪(3eq\r(,2)，＋∞)C．(－2eq\r(,2)，2eq\r(,2))D．(－∞，－2eq\r(,2))∪(2eq\r(,2)，＋∞)解析：(1)方法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，判別式法．整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因?yàn)棣ぃ?6m2＋20>0，所以直線(xiàn)l與圓C相交．方法二：由題意，知圓心(0,1)到直線(xiàn)l的距離d＝點(diǎn)到直線(xiàn)的距離法．eq\f(|－m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直線(xiàn)l與圓C相交．方法三：由題意知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)直線(xiàn)上的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法．(1,1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線(xiàn)l與圓C相交．故選A.(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線(xiàn)y＝eq\r(,4－x2)的圖象為以(0,0)為圓心，2為半徑的半圓，直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)A(2,4)，當(dāng)直線(xiàn)l與半圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)l的距離d＝r，即eq\f(|4－2k|,\r(,1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)；當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(－2,0)時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k＝eq\f(4－0,2－－2)＝1，則直線(xiàn)l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).故選A.l的傾斜角：相切eq\o(→,\s\up17(逆時(shí)針))過(guò)B點(diǎn)．(3)由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因?yàn)閳A上到直線(xiàn)l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線(xiàn)l的距離d<r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(,2))<3，解得－3eq\r(,2)<a<3eq\r(,2).故選A.1．判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．一般不建議使用．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線(xiàn)與圓相交．2．已知直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，由此建立方程(組)或不等式(組)求解.對(duì)點(diǎn)練2(1)(2024·河北張家口模擬)已知點(diǎn)P(x0，y0)為圓C：x2＋y2＝2上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)l：x0x－y0y＝2與圓C的位置關(guān)系為()A．相交 B．相離C．相切 D．相切或相交(2)(2024·安徽蚌埠模擬)直線(xiàn)l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．無(wú)法確定(3)(2023·全國(guó)乙卷，文)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7解析：(1)由題意可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，于是d＝eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以，兩者相切．故選C.(2)已知直線(xiàn)l：x＋my＋1－m＝0過(guò)定點(diǎn)(－1,1)，將點(diǎn)(－1,1)代入圓的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知點(diǎn)(－1,1)在圓內(nèi)，所以直線(xiàn)l：x＋my＋1－m＝0與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故選A.(3)方法一：令x－y＝k，則x＝k＋y，代入原式化簡(jiǎn)得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y使方程成立，則Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化簡(jiǎn)得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是1＋3eq\r(2).方法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0,2π]，則x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1，因?yàn)棣取蔥0,2π]，所以θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，則當(dāng)θ＋eq\f(π,4)＝2π，即θ＝eq\f(7π,4)時(shí)，x－y取得最大值3eq\r(2)＋1.方法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，設(shè)x－y＝k，則圓心(2,1)到直線(xiàn)x－y＝k的距離d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是1＋3eq\r(2).故選C.答案：(1)C(2)A(3)C題型圓的切線(xiàn)典例3(1)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ卷)過(guò)點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線(xiàn)的夾角為α，則sinα＝()幾何法：Rt△PAC中，sin∠APC＝eq\f(|AC|,|PC|)＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)?cos∠APB＝1－2sin2∠APC＝－eq\f(1,4)?sinα＝sin(π－∠APB)＝eq\f(\r(15),4).A．1B.eq\f(\r(15),4)C.eq\f(\r(10),4)D.eq\f(\r(6),4)(2)過(guò)點(diǎn)P(1，－3)作圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，求：①兩條切線(xiàn)方程；不要漏掉切線(xiàn)斜率不存在的情況．②直線(xiàn)AB的方程；切點(diǎn)弦：留一代一：x2－8x＋y2－4y＋11＝0，即x0x－8·eq\f(x0＋x,2)＋y0y－4·eq\f(y0＋y,2)＋11＝0，即x－4(1＋x)－3y－2(－3＋y)＋11＝0，即3x＋5y－13＝0.③線(xiàn)段PA的長(zhǎng)度；切線(xiàn)長(zhǎng)：Rt△PAC中，|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2).④線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．切點(diǎn)弦長(zhǎng)：等面積法：S△PAC＝eq\f(1,2)|PA||AC|＝eq\f(1,2)|PC|·eq\f(|AB|,2).(1)解析：方法一：因?yàn)閤2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圓心C(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，過(guò)點(diǎn)P(0，－2)作圓C的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A，B，因?yàn)閨PC|＝eq\r(22＋0＋22)＝2eq\r(2)，則|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，可得sin∠APC＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，cos∠APC＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，則sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4)，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB為鈍角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq\f(\r(15),4).方法二：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，過(guò)點(diǎn)P(0，－2)作圓C的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為A，B，連接AB，|PC|＝eq\r(22＋0＋22)＝2eq\r(2)，則|PA|＝|PB|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，因?yàn)閨AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，切點(diǎn)弦AB所在的△PAB與△CAB中，∠APB＋∠ACB＝π.且∠ACB＝π－∠APB，所以3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB為鈍角，則cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝eq\f(1,4)，且α為銳角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(15),4).方法三：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，若切線(xiàn)斜率不存在，則切線(xiàn)方程為x＝0，則圓心到切線(xiàn)的距離d＝2<r，不合題意；若切線(xiàn)斜率存在，設(shè)切線(xiàn)方程為y＝kx－2，即kx－y－2＝0，則圓心到切線(xiàn)的距離d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0，設(shè)兩切線(xiàn)斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq\r(k1＋k22－4k1k2)＝2eq\r(15)，所以tanα＝eq\f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq\r(15)，兩直線(xiàn)的夾角公式：tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k1－k2,1＋k1k2))).即eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(15)，可得cosα＝eq\f(sinα,\r(15))，則sin2α＋cos2α＝sin2α＋eq\f(sin2α,15)＝1，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα>0，解得sinα＝eq\f(\r(15),4).故選B.(2)解：①當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為y＋3＝k(x－1)，即kx－y－k－3＝0，由eq\f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(8,15).∴切線(xiàn)方程為8x－15y－53＝0.當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易知直線(xiàn)x＝1也是圓的切線(xiàn)，∴所求切線(xiàn)方程為8x－15y－53＝0和x＝1.②以PC為直徑的圓D的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(17,2).∵圓C與圓D顯然相交，∴直線(xiàn)AB就是圓D與圓C的公共弦所在直線(xiàn)，∴直線(xiàn)AB的方程為3x＋5y－13＝0.③|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2)＝eq\r(1－42＋－3－22－9)＝eq\r(25)＝5.④由S△PAC＝eq\f(1,2)×3×5＝eq\f(1,2)×eq\r(34)×eq\f(1,2)|AB|，得|AB|＝eq\f(15\r(34),17).圓的切線(xiàn)方程的求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k(當(dāng)k不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為x＝x0)．(2)幾何法：設(shè)切線(xiàn)方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到切線(xiàn)的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k(當(dāng)k不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為x＝x0)．提醒：若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2