第頁第02講二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)【考點一把y＝ax2＋bx＋c化成頂點式】【例1】將二次函數(shù)化成的形式，結(jié)果為．【答案】【分析】利用配方法整理即可得解．【詳解】解：，故答案為：．【變式訓(xùn)練】【變式1-1】將拋物線化成頂點式為．【答案】【分析】根據(jù)配方法可把二次函數(shù)的一般式化為頂點式．【詳解】解：由拋物線可化為頂點式為；故答案為．【變式1-2】二次函數(shù)圖象的頂點坐標是．【答案】【分析】將該二次函數(shù)解析式化為頂點式，解進行解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標為，故答案為：．【變式1-3】二次函數(shù)的圖象開口向，頂點坐標為．【答案】上【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，頂點坐標為，故答案為：上，．【考點二二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)】【例2】已知拋物線，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線C．拋物線的頂點坐標為 D．當時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標及增減性對各選項分析判斷即可．【詳解】解：由拋物線，可知：，拋物線開口向上，因此A選項正確；拋物線的對稱軸為直線，因此B選項正確；當時，y的值最小，最小值是2，所以拋物線的頂點坐標是，因此C選項正確；因為，拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為直線，因此時，y隨x的增大而增大，因此D選項錯誤；故選D．【變式訓(xùn)練】【變式2-1】關(guān)于拋物線的判斷，下列說法正確的是（

）．A．拋物線的開口方向向上B．拋物線的對稱軸是直線C．在拋物線對稱軸左側(cè)，隨增大而減小D．拋物線頂點到軸的距離是2【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：由拋物線可知：，開口向下，對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，，所以頂點坐標為，故拋物線頂點到x軸的距離是2；綜上所述只有D選項正確；故選D．【變式2-2】在平面直角坐標系中，對于二次函數(shù)，下列說法中錯誤的是（）A．圖象頂點坐標為，對稱軸為直線．B．的最小值為．C．當時，的值隨值的增大而增大，當時，的值隨值的增大而減?。瓺．它的圖象可由的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到．【答案】D【分析】根據(jù)題意，二次函數(shù)，可以知道函數(shù)開口向上，對稱軸為，頂點為，即可判斷A、B、C選項正確；根據(jù)平移的規(guī)律，可以判斷D選項錯誤．【詳解】二次函數(shù)，，該函數(shù)開口向上，對稱軸為，頂點為，A選項正確；當時，有最小值，B選項正確；當時，的值隨值的增大而增大，當時，的值隨值的增大而減小，C選項正確；根據(jù)平移的規(guī)律，的圖像向右平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得：，D選項錯誤；故選：D．【考點三求二次函數(shù)與x軸的交點坐標】【例3】拋物線與軸交點坐標為__________．【答案】【分析】令，求出x的值，進而拋物線與x軸的交點坐標．【詳解】解：令，即，解得則拋物線與x軸的交點坐標為,故答案為：．【變式訓(xùn)練】【變式3-1】二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標為_________．【答案】【分析】令，解方程即可求解．【詳解】解：令，得，解得：，∴二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標為，故答案為：．【變式3-2】二次函數(shù)的圖象交x軸于點A，B．則點的距離為________．【答案】10【分析】令，可得方程，解方程即可求解．【詳解】解：令，則，解得，，∴，，∴．故答案為：10．【考點四求二次函數(shù)與y軸的交點坐標】【例 4】拋物線與y軸交點的坐標為____．【答案】【分析】把代入拋物線，即得拋物線與軸的交點．【詳解】解：當時，拋物線與軸相交，把代入，求得，拋物線與軸的交點坐標為．故答案為：．【變式訓(xùn)練】【變式4-1】拋物線與y軸的交點坐標為______．【答案】【分析】計算自變量為0所對應(yīng)的函數(shù)值可得到拋物線與y軸的交點坐標．【詳解】解：當時，，所以拋物線與y軸的交點坐標為．故答案為．【變式4-2】二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標是________．【答案】【分析】令，求出對應(yīng)的函數(shù)值y，即可解答．【詳解】解：當時，，∴二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標是．故答案為：．【變式4-3】拋物線與軸的交點坐標是______，與軸的交點坐標是_______．【答案】，【分析】根據(jù)題意，令，然后求出的值，即可以得到拋物線與軸的交點坐標；令，求出的值，即可求出拋物線與軸交點的坐標．【詳解】解：令，得，拋物線與軸的交點坐標是：，令，即，解得，，所以拋物線與軸交點的坐標是，．故答案為：；，．【考點五已知二次函數(shù)上對稱的兩點求對稱軸】【例5】已知拋物線經(jīng)過點、，那么此拋物線的對稱軸是______．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線上兩點的縱坐標相等可知兩點關(guān)于對稱軸對稱，再根據(jù)中點坐標公式求出這兩點橫坐標的中點坐標即可．【詳解】解：∵點、的縱坐標都是6，∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：．【變式訓(xùn)練】【變式5-1】若，在拋物線上，則m的值為_______________．【答案】1【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求解．【詳解】解：因為點，的縱坐標相同，都是5，所以對稱軸為直線故m的值為1．故答案為：1．【變式5-2】已知二次函數(shù)的x、y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…012…y…04664…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線___________．【答案】【分析】根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量即可求出對稱軸．【詳解】解：由圖表可知：時，，時，，二次函數(shù)的對稱軸為，故答案為：．【考點六二次函數(shù)的平移】【例6】把函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度平移后圖象的函數(shù)解析式為___________．【答案】【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進而求出即可．【詳解】的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得．故答案為：．【變式訓(xùn)練】【變式6-1】將拋物線先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式是______．【答案】【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為故答案為：．【變式6-2】將二次函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象與y軸交點的縱坐標為_______．【答案】12【分析】先根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減得出平移后的拋物線的解析式，再求解新函數(shù)與y軸交點的縱坐標即可．【詳解】解：∵，∴將此二次函數(shù)向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新二次函數(shù)為，當時，；∴新函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為12；故答案為：12．【變式6-3】把拋物線先向左移動2個單位，在向下移動4個單位，所得到的新的拋物線的頂點坐標為____________．【答案】【分析】根據(jù)上加下減，左加右減的規(guī)律即可求解．【詳解】解：拋物線平移后解析式為，即，所以新的拋物線的頂點坐標為，故答案為：．【考點七根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值】【例7】二次函數(shù)的最大值是___________，最小值是___________．【答案】51【分析】先把解析式配成頂點式得到，由于，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得時，y的值最大；當時，y有最小值，然后分別計算對應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】解：，當時，y有最小值1，∵，∴時，y的值最大，最大值為5；當時，y有最小值1，故答案為：5；1．【變式訓(xùn)練】【變式7-1】二次函數(shù)的最小值是______，最大值是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，在范圍內(nèi)求出最值即可得到答案．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，，當時，，即二次函數(shù)的最小值是；到的距離為；到的距離為，當時，代入得，即二次函數(shù)的最大值是；時，函數(shù)的最小值為，最大值為，故答案為：，．【變式7-2】已知二次函數(shù).（1）當時，二次函數(shù)的最小值為________；（2）當時，二次函數(shù)的最小值為1，則________.【答案】或【分析】（1）將代入，再把解析式為變形為頂點式，即可求得二次函數(shù)最小值；（2）先求拋物線的對稱軸為：，分三種情況：當時，即時，此時在對稱軸的右側(cè)，當時，即時，此時對稱軸在內(nèi)，③當時，即時，此時在對稱軸的左側(cè)，分別討論增減性，找何時取最小值，代入得關(guān)于的方程求解即可．【詳解】解：（1）當時，，∵，則開口向上，∴二次函數(shù)的最小值為，故答案為：；（2）二次函數(shù)，則對稱軸為：，分三種情況：①當時，即時，此時在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；②當時，即時，此時對稱軸在內(nèi)，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；∵，∴，③當時，即時，此時在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小，∴當時，有最小值，，解得：（舍去）；綜上所述，或；故答案為：或【變式7-3】已知二次函數(shù)，（1）當時，二次函數(shù)的最大值為______．（2）當時，二次函數(shù)的最大值為6，則的值為______．【答案】18或【分析】（1）將代入，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求得拋物線的對稱軸，再分情況討論：①當時，②當時，當時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，當時，函數(shù)有最大值1，故答案為：1；（2）解：，拋物線開口向下，對稱軸為直線，①當時，即時，，在對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，當時，有最大值為6，，解得：；②當時，即時，當時，有最大值為6，，解得：，，（不合題意，舍去），③當時，即時，，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，當時，有最大值為6，，解得：，綜上所述，的值為8或．課后鞏固練習(xí)1．拋物線的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸公式即可求解．【詳解】解：拋物線的對稱軸是直線，即，故選：B．2．把拋物線向右平移2個單位，然后向下平移3個單位，則平移后得到的拋物線解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向右平移2個單位，然后向下平移3個單位，平移后得到的拋物線解析式是，故選：A．3．關(guān)于二次函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．圖像與軸的交點坐標為B．圖像的對稱軸在軸的左側(cè)C．圖像的頂點坐標為D．當時，的值隨值的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴當時，，即圖像與軸的交點坐標為，故選項A正確；該函數(shù)的對稱軸是直線，故B選項正確；函數(shù)的頂點坐標為，故選項C正確；該函數(shù)解析式中，故函數(shù)圖像開口向上，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，選項D不正確．故選：D．4．已知拋物線（）上部分點的橫坐標與縱坐標的對應(yīng)值如下表：x…-2-10123…y…-40220-4…下列結(jié)論：①拋物線開口向下；②當時，隨增大而減??；③拋物線的對稱軸是；④函數(shù)的最大值是2．其中正確的結(jié)論是(

)A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】①待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，判斷開口方向即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷增減性；③求出二次函數(shù)的對稱軸，進行判斷；④求出二次函數(shù)的最值，進行判斷即可．【詳解】解：①由表格可知，，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，拋物線開口向下，故①正確；②拋物線的對稱軸是直線：，當時，隨增大而減小，故②正確；③拋物線的對稱軸是直線：，故③錯誤；④當時，函數(shù)具有最大值，最大值為：，故④錯誤；綜上，正確的是①②；故選A．二、填空題5．拋物線的對稱軸是直線，則．【答案】2【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求解．【詳解】解：∵的對稱軸是直線，，∴，解得．故答案為：2．6．拋物線的開口方向，對稱軸是，頂點坐標是．【答案】下【分析】根據(jù)二次項系數(shù)確定開口方向，利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，即可求出對稱軸和頂點坐標．【詳解】∵，而，∴開口方向向下．∵，∴對稱軸是，頂點坐標是．故答案為：下，，．7．已知點，在二次函數(shù)的圖像上，則（填“>”“<”或“＝”）．【答案】>【分析】由拋物線開口向上可得，距離對稱軸越遠的點，值越大，從而求解．【詳解】由可得拋物線開口向上，對稱軸為∵∴故答案為：＞．8．拋物線與x軸的交點坐標為，與y軸交點坐標為．【答案】【分析】令則解方程求解拋物線與x軸的交點坐標，令則可得拋物線與y軸的交點坐標.【詳解】解：令則∴解得：∴拋物線與x軸的交點坐標為令則∴拋物線與y軸交點坐標為故答案為：；9．已知：拋物線．（1）此拋物線的對稱軸為直線；（2）當時，y的最小值為?4，則．【答案】14或【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可得，再代入對稱軸進行計算即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知當當時，在，函數(shù)有最小值，當時，在中，當時，函數(shù)有最小值，再根據(jù)y的最小值為?4代入進行計算即可．【詳解】解：（1）由拋物線可知，，對稱軸，故答案為：1；（2）當時，在，函數(shù)有最小值，∵y的最小值為，，；當時，在中，當時，函數(shù)有最小值，，解得；綜上所述：a的值為4或．10．已知拋物線，將這條拋物線向左平移3個單位，再向下平移2個單位．(1)求平移后新拋物線的表達式和它的開口方向、頂點坐標、對稱軸，并說明它的變化情況；(2)在如圖所示的平面直角坐標系內(nèi)畫出平移后的拋物線．【答案】(1)平移后函數(shù)關(guān)系式為：，所以其開口向下，頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減??；【分析】（1）先將化為頂點式，再求平移后的函數(shù)關(guān)系式，再回答問題即可；（2）畫出平移后的二次函數(shù)圖像即可；【詳解】（1），將這條拋物線向左平移3個單位，再向下平移2個單位后函數(shù)關(guān)系式為：所以其開口向下，頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減??；（2）第02講二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)隨堂檢測1.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，下列說法中，正確的是().A.abc＜0，b2－4ac＞0B.abc＞0，b2－4ac＞0C.abc＜0，b2－4ac＜0D.abc＞0，b2－4ac＜0【答案】答案為：B.2.拋物線y＝ax2＋bx﹣3經(jīng)過點(1，1)，則代數(shù)式a＋b的值為()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C3.拋物線y＝﹣(x＋3)2＋4頂點坐標是()A.(3，4)B.(﹣3，4)C.(3，﹣4)D.(2，4)【答案】B.4.把拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象先向右平移3個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數(shù)式為y＝(x－1)2－4，則b，c的值為()A.b＝2，c＝－3B.b＝4，c＝3C.b＝－6，c＝8D.b＝4，c＝－7【答案】答案為：B.5.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為(﹣1，0)，其部分圖象如圖所示.下列結(jié)論：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a＋c＞0④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3⑤當x＜0時，y隨x增大而增大其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.4個B.3個C.2個D.1個【答案】答案為：B6.拋物線y＝2x2﹣6x＋10的頂點坐標是.【答案】答案為：(eq\f(3,2)，eq\f(11,2)).7.將拋物線y＝3(x﹣4)2＋2向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，平移后拋物線的式是.【答案】答案為：y＝3