第頁第10講圓與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握兩圓位置關(guān)系的判定的代數(shù)方法與幾何方法。②會應(yīng)用兩圓的位置關(guān)系求與兩圓有關(guān)的幾何量問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會判斷兩圓的位置關(guān)系，會求與兩圓位置有關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關(guān)系相關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn).圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定2.1幾何法設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當(dāng)時(shí)，兩圓相交；②當(dāng)時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)時(shí)，兩圓外離；④當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.2.2代數(shù)法設(shè)::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設(shè)設(shè)相交②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）【即學(xué)即練1】圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.知識點(diǎn)02：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程3、公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．【即學(xué)即練2】已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.知識點(diǎn)03：圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線．2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離求解【即學(xué)即練3】圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.知識點(diǎn)04：圓系方程(1)以為圓心的同心圓圓系方程：；(2)與圓同心圓的圓系方程為；(3)過直線??????????????????????????.????????3\?????????????????????????????????????????????????.????????3與圓交點(diǎn)的圓系方程為4過兩圓，圓：交點(diǎn)的圓系方程為（，此時(shí)圓系不含圓：）特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程為一次方程.兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.【即學(xué)即練4】求過兩圓和圓的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.【答案】【詳解】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入得，解得，所以所求圓的方程為．題型01判斷圓與圓的位置關(guān)系【例1】圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.【例2】（多選）已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為10【答案】ACD【詳解】圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為3.因?yàn)閮蓚€(gè)圓的圓心距為，等于兩個(gè)圓半徑的和，所以兩個(gè)圓外切，正確.圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為，正確.故選：ACD【變式1】圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【詳解】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設(shè)兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內(nèi)切.故選：B題型02求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和,故選:C【變式1】圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________.【答案】【詳解】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程：，方程帶入，先得到，在聯(lián)立，得到，解得或，對應(yīng)的值為或，于是得到兩圓交點(diǎn)：.故答案為：.題型03由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【例1】已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，圓心，；，即，圓心，半徑；兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，即，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.故選：A【變式1】已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．題型04由圓與圓的位置關(guān)系確定圓的方程【例1】已知圓，圓過點(diǎn)且與圓相切于點(diǎn)，則圓的方程為__________.【答案】【詳解】如圖所示：過點(diǎn)和的直線方程為，以點(diǎn)和點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線為.由得，則圓的半徑，所以圓的方程為.故答案為：【例2】已知圓，的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【答案】【詳解】解：依題意可知圓心的橫坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【變式1】經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為______．【答案】【詳解】聯(lián)立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)以及的圓的方程為,則，解得，故經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為，故答案為：【變式2】已知圓和圓，求過兩圓交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．【答案】【詳解】設(shè)兩圓交點(diǎn)為A、B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓．聯(lián)立，可得直線AB的方程為．又圓M的圓心，圓N的圓心所以兩圓圓心連線的方程為．解方程組，可得圓心坐標(biāo)為．圓心到直線AB的距離為，圓M的半徑為，弦AB的長為，則所求圓的半徑為，所以所求圓的方程為．題型05相交圓的公共弦方程【例1】若圓與圓的公共弦的長為1，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將兩圓方程相減可得直線的方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，故選：D.【例2】已知，直線為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為__________.【答案】【詳解】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，原題意等價(jià)于取到最小值，當(dāng)直線時(shí)，，此時(shí)最小.的直線方程為：，與聯(lián)立，解得：，即，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.【變式1】圓與圓的公共弦所在的直線方程為______．【答案】【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：題型06兩圓的公共弦長【例1】已知兩圓，．(1)取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【答案】(1)(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長為【詳解】（1）因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為半徑之和，則，結(jié)合，解得；（2）當(dāng)時(shí)，圓的一般方程為兩圓一般方程相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為，圓圓心到的距離為故兩圓的公共弦的長為．【變式1】已知圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)、，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于圓，有，可得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，且，因?yàn)閮蓤A有兩個(gè)公共點(diǎn)、，則，即，將兩圓方程作差可得，因?yàn)?，則直線過圓心，所以，，解得，滿足.因此，.故選：C.【變式2】已知圓與交于兩點(diǎn).若存在，使得，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑若兩圓相交，則，所以，即，又兩圓相交弦所在直線方程為：即所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則弦長，所以，則，所以，若存在，使得，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.題型07圓的公切線條數(shù)【例1】圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．【例2】若圓與圓恰有兩條公共的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因?yàn)閳A與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個(gè)圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A【變式1】若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A.【變式2】兩個(gè)圓：與：恰有三條公切線，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．－6【答案】A【詳解】由已知可得，圓的方程可化為，圓心為，半徑；圓的方程可化為，圓心為，半徑.因?yàn)閳A與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切.所以有，即，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以.故選：A.【變式3】已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【答案】B【詳解】由圓，則圓心，半徑；由圓，整理可得，則圓心，半徑；由，則兩圓外切，同時(shí)與兩圓相切的直線有3條.故選：B.題型08圓的公切線方程【例1】已知圓與圓恰有兩條公切線，則滿足題意的一個(gè)的取值為____；此時(shí)公切線的方程為__________.【答案】5（答案不唯一）和（答案與前空的答案有關(guān)聯(lián)）【詳解】圓的圓心為，半徑為5.因?yàn)閳A與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交.即.又，所以，所以可取(答案不唯一.滿即可).此時(shí).因?yàn)榈膱A心為，半徑為5，的圓心為，半徑為5，所以可設(shè)公切線的方程為，且與兩圓圓心所在的直線平行，解得，又因?yàn)槭枪芯€，所以圓心到直線距離等于半徑，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，公切線的方程為和.故答案為:5；和.【例2】寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設(shè)，設(shè)兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）【變式1】已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D題型09圓的公切線長【例1】已知圓的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓與圓是否相交，若相交，求過兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【答案】(1)兩圓相交，，；(2).【詳解】（1）圓A：，圓：，兩圓心距，∵，∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對應(yīng)相減得：，此即為過兩圓交點(diǎn)的直線方程.設(shè)兩交點(diǎn)分別為、，則垂直平分線段，∵A到的距離，∴.（2）設(shè)公切線切圓A、圓的切點(diǎn)分別為，，則四邊形是直角梯形.∴，∴.【變式1】求圓與圓的內(nèi)公切線所在直線方程及內(nèi)公切線的長．【答案】或，8【詳解】，，，．設(shè)內(nèi)公切線與連心線交于點(diǎn)，則在軸上且．設(shè)，可得，．設(shè)內(nèi)公切線所在直線方程為，即．由，得．所以內(nèi)公切線所在直線方程為或．內(nèi)公切線的長為．課后鞏固練習(xí)一、單選題1．設(shè)圓，圓，則圓，的位置（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】D【詳解】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為；兩圓心距離為：，，圓與外離，故選：D.2．已知圓和交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將和相減得直線，點(diǎn)到直線的距離，所以．故選：B3．與兩圓和都相切的直線有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】由題意知，，所以圓心距,所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.4．已知圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，圓心與圓心，則圓心距，因?yàn)閳A與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則圓與圓相交，則，解得．故選：B.5．已知點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】切線長，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，切線長取得最小值.當(dāng)共線且點(diǎn)在之間時(shí)，最小，由于,所以min，所以.故選：.

6．已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為.

故選：B7．圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．8．已知圓：，為直線：上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圓的知識可知，，，，四點(diǎn)共圓，且，所以，又，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值，此時(shí)直線的方程為，即，，解得，即.所以的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，又圓：，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為．故選：D二、填空題9．已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．10．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長為__________．【答案】【詳解】由題意可得：，即圓的圓心為，半徑為，即圓心到直線的距離為，故所截弦長為．故答案為：三、解答題11．如圖，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓的外公切線的切點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.

【答案】【詳解】過C作，交于點(diǎn)，則是兩圓的內(nèi)公切線，因?yàn)橹本€為兩圓的外公切線，由切線長知識可得，，，所以是線段PQ的中點(diǎn)，設(shè)，則，，，連接，，，，則又因?yàn)?，，?所以，，所以，，從而可得，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，和為直徑，所以，所以線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為.

B能力提升1．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓C：的圓心，半徑，∵圓C上至少存在一點(diǎn)P，使得，∴圓：與圓O：位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，又圓O：的圓心，半徑，則，即，∴．故選：B．

2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)B，C滿足，，A為線段中點(diǎn)，P為圓任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，則，又，且A為線段中點(diǎn)，則，所以A為圓任意一點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為M，則，又，所以圓O與圓M相離，所以的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，所以，，所以的取值范圍為．故選：A．3．已知平面內(nèi)的動點(diǎn)，直線：，當(dāng)變化時(shí)點(diǎn)始終不在直線上，點(diǎn)為：上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由原點(diǎn)到直線：的距離為，可知直線是：的切線，又動直線始終沒有經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在該圓內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)為：上的動點(diǎn)，且，，∴，又，即的取值范圍為，故選：D第10講圓與圓的位置關(guān)系隨堂檢測1.圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.2.已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】C【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關(guān)系是相交.故選:C.3.已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，，，，.因?yàn)楹陀泄颤c(diǎn)，所以，解得.故選：C4.若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B5.已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因?yàn)?，所?所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．6.已知圓：與：恰好有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閳A：