第頁第04講充分條件與必要條件一．充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系pqpq條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件p不是q的充分條件，q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件．性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件二．充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件充分、必要條件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合關(guān)系若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件A?Bp是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qA=Bp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?pA?B且A?B一．判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法1.定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．2.集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷．3.傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．二．充要條件的證明一般地，證明“p成立的充要條件為q”；（1）要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論(1)充分性：由“條件?結(jié)論”是證明充分性，把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：由“結(jié)論?條件”是證明必要性，把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.三．利用充分、必要條件求參解題思路1.化簡：化簡集合，明確題干中的條件和結(jié)論．2.轉(zhuǎn)化：根據(jù)集合間的包含關(guān)系與充分條件和必要條件的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問題．3.列式：利用集合間的關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組．注意等號成立的條件．4.求解：解不等式，得參數(shù)范圍．考點一充分條件與必要條件【例1-1】已知，則“”的一個必要條件是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D【例1-2】（多選題）使成立的充分條件是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】和不可推出．所以使成立的充分條件是或，故選：AB【一隅三反】1．（多選）下列條件中，使“”成立的充分條件的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】假設(shè)使“”成立的充分條件的是，則，即求能推得成立的條件，對于A，令，則，故A錯誤；對于B，令，則，故B錯誤；對于C，因為，即，故，故C正確；對于D，因為，即，故，故D正確；故選：CD.2．（多選）下列命題是真命題的是（）A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要條件【答案】AC【解析】∵x＞3?x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要條件，∴A是真命題；∵x＝2?x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要條件，∴B是假命題；∵A∩B＝B?A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件，反之也成立，故也是充分條件，∴C是真命題；∵ac＞bc，c<0時，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要條件，D是假命題．故選：AC.3．（多選）下列選項中，滿足p是q的充分條件的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，由可推出，所以是的充分條件，A正確，對于B，由可推出，所以是的充分條件，B正確，對于C，由可推出，所以是的充分條件，C正確，對于D，當(dāng)，時，，但是，所以不是的充分條件，D錯誤，故選：ABC.4．下列命題中所有真命題的序號是__________①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要條件；③“”是“”的必要條件．【答案】②③【解析】對于①，若，，則不滿足，故①是假命題；對于②，若，則，從而，故②是真命題；對于③，若，則，即，故③是真命題．故答案為：②③考點二充要條件的判斷【例2-1】“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解得或，則可推出或，可推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.【例2-2】“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件【答案】A【解析】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A【一隅三反】1．已知p：“”，q：“”，則p是q的（）A．充要條件B．既不充分也不必要C．充分不必要條件D．必要不充分條件【答案】D【解析】解可得，或.顯然，若成立，推不出成立；若成立，則成立.所以，p是q的必要不充分條件.故選：D.2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不允分也不必要條件【答案】B【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B考點三充要條件的選擇【例3-1】使或}成立的一個充分不必要條件是（）A．或B．或C．或D．【答案】B【解析】對于A，因為或或，故錯誤；對于B，因為或或，故正確；對于C，因為或或，故錯誤；對于D，因為不是或的真子集，故錯誤.故選：B.【例3-2】“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】關(guān)于的不等式的解集為R，則，解得，所以“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充一個分條件“”.故選：B.【一隅三反】1．（多選）“”的必要不充分條件可以是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】由，可得構(gòu)成集合，結(jié)合選項可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分條件.故選:ABC.2．（多選）設(shè)全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】對于A，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；對于B，如下Venn圖，若，則，若，則，故正確；選項C中，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；選項D中，若，則，故；反過來，若，則，故，故互為充要條件，故正確.故選：ABCD.考點四已知充要條件求參數(shù)【例4-1】已知不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或B．或C．D．【答案】D【解析】由題意得，所以，且等號不能同時成立，解得.故選：D.【例4-2】（多選）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（

）A．B．C．-D．0【答案】BCD【解析】設(shè)，,因為p是q的必要條件，所以，當(dāng)時，由無解可得，符合題意；當(dāng)時，或，當(dāng)時，由解得，當(dāng)時，由解得.綜上，的取值為0，，.故選：BCD【一隅三反】1．若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】若不等式的一個充分條件為，則，所以，解得.則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（多選）若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由題意可知是的充分不必要條件，則，故，故a的值可取，故選：BCD.3．已知集合，，是否存在實數(shù)，使得是成立的______？(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由？(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請說明理由．【答案】(1)不存在滿足條件的，理由見解析(2)若選①，問題中的存在，且的取值集合，若選②，問題中的存在，且的取值集合.【解析】（1）當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時，則，則且，方程組無解.∴不存在滿足條件的.（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號不同時?。?，解得，∴問題中的存在，且的取值集合.選②，則是的真子集，當(dāng)時，，即，滿足是的真子集；當(dāng)時，，即，由是的真子集，得且（兩等號不同時?。獾?；綜上所述：.所以問題中的存在，且的取值集合.考點五充要條件的證明【例5】求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【解析】證明：（1）充分性：由得.即滿足方程.是方程的一個根（2）必要性：是方程的一個根，將代入方程得.故是一元二次方程的一個根的充要條件是【一隅三反】1.中，角，，所對的邊分別為，，，求證：的充要條件是．【解析】（1）先證充分性：若，則，∴成立（2）再證必要性：若成立，∵，∴，又因為中，，∴，∴，∴．綜上可知，的充要條件是．2．已知，求證：是的充要條件.【解析】設(shè)，，先證充分性：∵，∴，即，∵，，∴，即；再證必要性：∵，∴，∴；綜上：是的充要條件.考點六綜合運用【例6】已知或．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若是的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）或，，，解得：，的取值范圍是；（2）因為是的必要條件，所以，或，的取值范圍是或.【一隅三反】1．已知集合，，請在①充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實數(shù)是否存在？【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）若，則，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的必要條件，則，所以，解得．又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的充要條件，則，所以，方程組無解，所以不存在滿足條件的實數(shù)．2．設(shè)集合，，命題p：，命題q：．(1)若p是q的充要條件，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求正實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)由，得，解得，所以，由p是q的充要條件，得，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是；(2)由p是q的必要不充分條件，得，又，則，所以，解得，綜上實數(shù)a的取值范圍是．1.4充分條件與必要條件（精練）1．的一個必要條件是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，所以是的一個必要條件，若不能得到，，故選：A2．若為實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】由已知，為實數(shù)，條件為，結(jié)論為，充分性，若，則成立，所以滿足充分性；必要性，若時，當(dāng)，時，滿足；當(dāng)，時，不滿足；當(dāng)，時，，所以不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．“”是“”的（

）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】若，則為假命題，所以“”是“”的不充分條件；若，則為真命題，所以“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要不充分條件；故選：B4．不等式“”成立，是不等式“”成立的（

）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，但，所以由“”不能推出“”；又，但，所以由“”不能推出“”，即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要條件.故選：D5．明——羅貫中《三國演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風(fēng)”，比喻一切都準(zhǔn)備好了，只差最后一個重要的條件.你認(rèn)為“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.故選：B.6．命題是命題的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件【答案】C【解析】若則或者，所以得不到，即充分性不成立.當(dāng)時則所以必要性不成立.故選：C7．（多選）有以下四種說法，其中說法正確的是（

）A．“是實數(shù)”是“是有理數(shù)”的必要不充分條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】AC【解析】當(dāng)是實數(shù)時，可能為有理數(shù)，可能為無理數(shù)，而當(dāng)為有理數(shù)時，一定為實數(shù)，所以“是實數(shù)”是“是有理數(shù)”的必要不充分條件，A正確；當(dāng)時，成立，而當(dāng)時，有可能，所以“”是“”的充分不必要條件，B錯誤；當(dāng)時，成立，而當(dāng)時，或，所以“”是“”的充分不必要條件，C正確；當(dāng)時，成立，而當(dāng)時，有可能，所以“”是“”的充分不必要條件，D錯誤；故選：AC8．已知是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意得：，故，解得：,故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：9．已知：關(guān)于的方程有實數(shù)根，：．(1)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】（1）因為命題是真命題，則命題是假命題，即關(guān)于的方程無實數(shù)根，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，命題是真命題，即，因為命題是命題的必要不充分條件，則，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.10．設(shè)集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】（1）由條件，是的充要條件，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，所以，或，解得，綜上實數(shù)的取值范圍是.11．設(shè)集合或，或.(1)設(shè)，，且是的充分而不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【解析】(1)因集合或，或，且，，則中的取值構(gòu)成的集合為，中的取值構(gòu)成的集合為，又是的充分而不必要條件，于是得，則有，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.(2)根據(jù)充要條件的定義知，“”是“”的充要條件當(dāng)且僅當(dāng)，而集合A中可以取到端點值-2，3，集合B中不能取到端點值2a，-a，于是得無論取何值，都有，所以不存在實數(shù)，使得“”是“”的充要條件.12．已知，.（I）是否存在m，使得p是q的充要條件？若存在，求m的值，若不存在，請說明理由：（II）從下面三個條件中任選一個，求m的取值范圍.①p是q的必要條件

②q是p的充分條件

③是的充分條件【答案】（I）不存在，理由見解析；（II）【解析】（I）由，解得：，若p是q的充要條件，則，即，此時方程組無解，即不存在，使p是q的充要條件；（II）設(shè)命題對應(yīng)的集合為，命題對應(yīng)的集合為，若選①，p是q的必要條件，則，當(dāng)時，，即成立；當(dāng)時，且，解得：，綜上所述：；若選擇②，q是p的充分條件，則，當(dāng)時，，即成立；當(dāng)時，且，解得：，綜上所述：；若選擇③，是的充分條件，即q是p的充分條件，則，當(dāng)時，，即成立；當(dāng)時，且，解得：，綜上所述：.1.已知非空集合，集合，命題.命題.(1)當(dāng)實數(shù)為何值時，是的充要條件；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】1）因為集合解得.集合解得.是的充要條件,故,即與是方程的兩個根，所以.（2）是的充分不必要條件，故集合是集合的真子集.由（1）知當(dāng)時，即或，，故或解得.當(dāng)時，即，，故或解得.當(dāng)時，即或，滿足集合是集合的真子集，故或.綜上所述：的取值范圍為第04講充分條件與必要條件隨堂檢測1．設(shè)a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為“”的充要條件為“或”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．2．“”是“”的（

）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，可得，故“”是“”的既不充分也不必要條件故選：D3．關(guān)于x的方程有實根的一個充分條件是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，要使方程有實根，則，故是方程有實根的一個充分條件，故選：B4．設(shè)：“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由得.成立時，不一定成立，所以“”是“”的非充分條件；成立時，不一定成立，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D5．（多選）對任意實數(shù)a，b，c，下列命題中真命題是（）A．是的充要條件B．“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件C．是的充要條件D．是的必要條件【答案】BD【解析】∵若則，但當(dāng)c＝0時，“”?“”為假命題，故“”是“”的充分不必要條件，故A為假命題；∵“是無理數(shù)”?“a是無理數(shù)”為真命題，“a是無理數(shù)”?“是無理數(shù)”也為真命題，故“