八年級勾股定理應(yīng)用題匯編引言勾股定理是八年級數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系（\(a^2+b^2=c^2\)，\(c\)為斜邊），是連接代數(shù)與幾何的橋梁。在實(shí)際應(yīng)用中，勾股定理常與生活場景、幾何變換、動(dòng)態(tài)問題結(jié)合，考查學(xué)生的建模能力與邏輯思維。本文將常見應(yīng)用題分為基礎(chǔ)應(yīng)用、實(shí)際場景、幾何綜合、動(dòng)點(diǎn)問題四大類型，逐一解析解題思路與技巧，助力學(xué)生掌握實(shí)戰(zhàn)方法。一、基礎(chǔ)應(yīng)用：邊長計(jì)算與直角驗(yàn)證（一）已知兩邊求第三邊題目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若\(a=3\)，\(b=4\)，求\(c\)；若\(a=5\)，\(c=13\)，求\(b\)。思路分析：直接應(yīng)用勾股定理，區(qū)分直角邊（\(a,b\)）與斜邊（\(c\)）。解答過程：當(dāng)\(a=3\)，\(b=4\)時(shí)，\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)；當(dāng)\(a=5\)，\(c=13\)時(shí)，\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\)。思路點(diǎn)撥：若未明確直角邊與斜邊，需分類討論（如“已知三角形兩邊長為3和4，求第三邊”，需考慮4為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況）。（二）驗(yàn)證直角三角形題目：已知三角形三邊為5、12、13，判斷該三角形是否為直角三角形。思路分析：先找最長邊（13），驗(yàn)證兩短邊平方和是否等于最長邊平方。解答過程：\(5^2+12^2=25+144=169=13^2\)，故該三角形是直角三角形（最長邊對應(yīng)直角）。思路點(diǎn)撥：驗(yàn)證直角三角形的關(guān)鍵是“先定最長邊，再算平方和”，避免遺漏直角對應(yīng)的邊。（三）勾股數(shù)的識別與應(yīng)用題目：下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A.2、3、4B.5、12、13C.0.3、0.4、0.5D.6、8、11思路分析：勾股數(shù)需滿足三個(gè)條件：①正整數(shù)；②滿足\(a^2+b^2=c^2\)；③互質(zhì)（或倍數(shù)）。解答過程：選項(xiàng)B中，5、12、13均為正整數(shù)，且\(5^2+12^2=13^2\)，故為勾股數(shù)。思路點(diǎn)撥：勾股數(shù)的倍數(shù)（如6、8、10）也是勾股數(shù)，但需注意是否為正整數(shù)。二、實(shí)際場景：生活中的勾股定理（一）測量高度：旗桿問題題目：某旗桿頂端系有一根繩子，繩子下垂至地面后還多1米。若將繩子拉直，使末端與地面接觸，此時(shí)末端距離旗桿底部5米，求旗桿高度。思路分析：設(shè)旗桿高度為\(x\)米，則繩子長度為\(x+1\)米，構(gòu)成直角三角形（旗桿、地面、繩子為三邊）。解答過程：設(shè)旗桿高度為\(x\)米，繩子長度為\(x+1\)米，根據(jù)勾股定理：\(x^2+5^2=(x+1)^2\)展開得：\(x^2+25=x^2+2x+1\)化簡得：\(2x=24\)，解得\(x=12\)。答：旗桿高度為12米。思路點(diǎn)撥：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，關(guān)鍵是確定“直角邊”（旗桿、地面距離）與“斜邊”（繩子）。（二）測量距離：河寬問題題目：為測量一條河的寬度，小明在河岸邊選一點(diǎn)A，對岸選一點(diǎn)B，使得AB垂直于河岸。再選一點(diǎn)C，使得AC=30米，∠ACB=90°，且C在河岸同一側(cè)，測得BC=40米，求河寬AB。思路分析：△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AB為斜邊（河寬），AC、BC為直角邊。解答過程：\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50\)米。答：河寬AB為50米。思路點(diǎn)撥：通過構(gòu)造直角三角形，將河寬轉(zhuǎn)化為斜邊長度，簡化測量過程。（三）生活物品：梯子滑動(dòng)問題題目：一架梯子長25米，斜靠在墻上，梯子底部離墻7米。若梯子頂端下滑4米，求梯子底部滑動(dòng)的距離。思路分析：先求下滑前頂端高度，再求下滑后頂端高度，最后求下滑后底部距離，計(jì)算滑動(dòng)距離。解答過程：1.下滑前：設(shè)頂端高度為\(h_1\)，則\(h_1=\sqrt{25^2-7^2}=24\)米；2.下滑后：頂端高度\(h_2=24-4=20\)米，設(shè)底部距離為\(d_2\)，則\(d_2=\sqrt{25^2-20^2}=15\)米；3.滑動(dòng)距離：\(15-7=8\)米。答：梯子底部滑動(dòng)了8米。思路點(diǎn)撥：梯子長度不變（斜邊不變），滑動(dòng)前后均為直角三角形，分別計(jì)算兩次的直角邊長度，再求差值。三、幾何綜合：與圖形變換、多邊形結(jié)合（一）三角形中的高與面積題目：在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC邊上的高AD。思路分析：設(shè)BD=x，則DC=14-x，在Rt△ABD和Rt△ADC中應(yīng)用勾股定理，列方程求解。解答過程：設(shè)BD=x，則DC=14-x，根據(jù)勾股定理：\(AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2\)\(AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2\)聯(lián)立得：\(13^2-x^2=15^2-(14-x)^2\)展開得：\(169-x^2=225-(196-28x+x^2)\)化簡得：\(169=29+28x\)，解得\(x=5\)。則\(AD=\sqrt{13^2-5^2}=12\)。答：BC邊上的高AD為12。思路點(diǎn)撥：通過設(shè)未知數(shù)，利用同一高構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，列方程求解，是解決三角形高問題的常用方法。（二）四邊形中的對角線與邊長題目：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，求對角線AC的長度。思路分析：矩形的對角線相等且互相平分，△ABC為直角三角形（∠B=90°），應(yīng)用勾股定理求AC。解答過程：\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)。答：對角線AC的長度為10。思路點(diǎn)撥：矩形、正方形等特殊四邊形的對角線可轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，直接應(yīng)用勾股定理。（三）折疊問題：矩形折疊題目：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，BC'交AD于點(diǎn)E，求AE的長度。思路分析：折疊后△BCD≌△BC'D，故∠CBD=∠C'BD，又AD∥BC，故∠CBD=∠EDB，因此∠C'BD=∠EDB，得BE=DE。設(shè)AE=x，則DE=8-x=BE，在Rt△ABE中應(yīng)用勾股定理列方程。解答過程：設(shè)AE=x，則DE=AD-AE=8-x，由折疊性質(zhì)得BE=DE=8-x。在Rt△ABE中，\(AB^2+AE^2=BE^2\)，即\(6^2+x^2=(8-x)^2\)。展開得：\(36+x^2=64-16x+x^2\)，化簡得：\(16x=28\)，解得\(x=\frac{7}{4}\)。答：AE的長度為\(\frac{7}{4}\)。思路點(diǎn)撥：折疊問題的關(guān)鍵是“找相等的邊和角”，通過等腰三角形（如本題中的△BDE）轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，再構(gòu)造直角三角形列方程。四、動(dòng)點(diǎn)問題：動(dòng)態(tài)情境下的勾股定理應(yīng)用（一）三角形邊上的動(dòng)點(diǎn)題目：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/秒；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/秒。若P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤6），當(dāng)△PQC為直角三角形時(shí)，求t的值。思路分析：△PQC為直角三角形，分兩種情況：①∠Q=90°（PQ⊥AC）；②∠P=90°（PQ⊥AB）。解答過程：1.表示線段長度：AP=t，故PB=10-t；QC=t，故QA=6-t；過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，由△APD∽△ABC得：\(PD=\frac{4t}{5}\)，\(AD=\frac{3t}{5}\)，故DC=6-\(\frac{3t}{5}\)。2.情況①：∠Q=90°（PQ⊥AC）：此時(shí)PQ∥BC，△APQ∽△ABC，\(\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}\)，即\(\frac{6-t}{6}=\frac{t}{10}\)，解得\(t=\frac{15}{4}\)。3.情況②：∠P=90°（PQ⊥AB）：此時(shí)△APQ∽△ACB，\(\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}\)，即\(\frac{t}{6}=\frac{6-t}{10}\)，解得\(t=\frac{9}{4}\)。思路點(diǎn)撥：動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵是“用時(shí)間t表示線段長度”，再根據(jù)直角三角形的條件（勾股定理或相似三角形）列方程，注意分類討論直角的位置。結(jié)語勾股定理應(yīng)用題的核心是“建?！薄獙?shí)際問題、幾何圖形或動(dòng)態(tài)情境轉(zhuǎn)化為直角三角形，再應(yīng)用勾股定理求解。解題時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：1.明確直角：確定直角三角形的直角頂點(diǎn)，區(qū)分直角邊與斜邊；2.設(shè)元列方程：通過設(shè)未知數(shù)表示線段長度，利用勾股定理建立方程（尤其是折疊、動(dòng)點(diǎn)問題）；3.分類討論：對于未明確直角位