中考函數(shù)新題型專項(xiàng)訓(xùn)練題庫(kù)一、引言函數(shù)是中考數(shù)學(xué)的核心模塊，占比約20%~30%，覆蓋一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容。近年中考函數(shù)命題呈現(xiàn)“核心素養(yǎng)導(dǎo)向、跨模塊綜合、動(dòng)態(tài)與探究”的新趨勢(shì)，重點(diǎn)考查學(xué)生的建模能力、邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合能力。本文結(jié)合近年中考真題，梳理函數(shù)新題型的命題規(guī)律，提供分類解析與專項(xiàng)訓(xùn)練，助力學(xué)生精準(zhǔn)備考。二、中考函數(shù)新題型命題趨勢(shì)分析（一）核心素養(yǎng)導(dǎo)向：聚焦建模與推理命題強(qiáng)調(diào)“從實(shí)際問(wèn)題到函數(shù)模型”的轉(zhuǎn)化（建模素養(yǎng)），以及“從函數(shù)表達(dá)式到圖像性質(zhì)”的推理（推理素養(yǎng)）。例如，用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)、用一次函數(shù)解決行程問(wèn)題等。（二）跨模塊綜合：打破函數(shù)與幾何的邊界函數(shù)與幾何的結(jié)合是近年熱點(diǎn)，如“拋物線與三角形的等腰/直角條件”“動(dòng)點(diǎn)生成的函數(shù)圖像”等，要求學(xué)生將幾何條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)函數(shù)性質(zhì)解決幾何問(wèn)題。（三）動(dòng)態(tài)與探究：強(qiáng)調(diào)過(guò)程與思維開(kāi)放動(dòng)態(tài)問(wèn)題（動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖、動(dòng)軸）和探究性問(wèn)題（結(jié)論開(kāi)放、過(guò)程開(kāi)放）增多，如“探究函數(shù)圖像的對(duì)稱性”“探究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”，要求學(xué)生通過(guò)猜想、驗(yàn)證、推理解決問(wèn)題。三、典型新題型分類解析與專項(xiàng)訓(xùn)練（一）類型一：動(dòng)態(tài)情境下的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題1.題型特征通過(guò)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖、動(dòng)軸等動(dòng)態(tài)情境，建立因變量（如面積、長(zhǎng)度）與自變量（如時(shí)間、平移距離）的函數(shù)關(guān)系式，重點(diǎn)考查“變量關(guān)系提取”與“定義域確定”。2.解題策略設(shè)變量：設(shè)自變量為t（時(shí)間）或m（平移距離），用t表示動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)態(tài)圖形的邊長(zhǎng)；找關(guān)系：通過(guò)幾何公式（如面積公式、距離公式）建立因變量與自變量的關(guān)系式；定范圍：根據(jù)動(dòng)態(tài)情境確定自變量的取值范圍（如時(shí)間t≥0，平移距離不超過(guò)圖形邊長(zhǎng)）。3.經(jīng)典例題（2023·某省中考）題目：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，B(4,0)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AB向B運(yùn)動(dòng)（速度1單位/秒），點(diǎn)Q從B出發(fā)沿BO向O運(yùn)動(dòng)（速度0.5單位/秒），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4），求△PQO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式。解析：點(diǎn)P坐標(biāo)：AB解析式為y=-3/4x+3，t秒后P的坐標(biāo)為(4t/5,3-3t/5)（由相似三角形得）；點(diǎn)Q坐標(biāo)：Q運(yùn)動(dòng)t秒后，OQ=4-0.5t，坐標(biāo)為(4-0.5t,0)；面積計(jì)算：以O(shè)Q為底邊（長(zhǎng)度4-0.5t），P的縱坐標(biāo)為高（3-3t/5），故S=1/2×(4-0.5t)×(3-3t/5)；化簡(jiǎn)得：S=3t2/20-39t/20+6（0≤t≤4）。答案：S=3t2/20-39t/20+6（0≤t≤4）。4.專項(xiàng)訓(xùn)練（1）矩形ABCD（A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)）沿x軸右移t個(gè)單位，求重疊面積S與t的函數(shù)關(guān)系式（分t≤2和t>2）。（2）拋物線y=x2-2x+3的對(duì)稱軸右移m個(gè)單位，求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與m的函數(shù)關(guān)系式。（3）點(diǎn)P在y=2x+1上，點(diǎn)Q在y=x2上，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，求PQ長(zhǎng)度最小值與t的函數(shù)關(guān)系式。（二）類型二：函數(shù)與幾何綜合創(chuàng)新題1.題型特征將函數(shù)圖像與幾何圖形（三角形、四邊形、圓）結(jié)合，考查“幾何條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系”的能力，如“求等腰三角形的點(diǎn)坐標(biāo)”“求面積最值”等。2.解題策略坐標(biāo)法：用坐標(biāo)表示幾何點(diǎn)，將幾何條件（如等腰三角形兩邊相等）轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程（如坐標(biāo)差的平方相等）；方程思想：聯(lián)立函數(shù)表達(dá)式與幾何條件，求解符合條件的參數(shù)；數(shù)形結(jié)合：通過(guò)函數(shù)圖像直觀判斷幾何圖形的位置變化。3.經(jīng)典例題（2022·某省中考）題目：拋物線y=-x2+bx+c過(guò)A(1,0)、B(0,3)，對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足△PAB為等腰三角形，求P的坐標(biāo)。解析：拋物線解析式：代入A、B得y=-x2-2x+3，對(duì)稱軸為x=-1，設(shè)P(-1,m)；計(jì)算邊長(zhǎng)平方：PA2=4+m2，PB2=1+(m-3)2，AB2=10；分情況討論：①PA=PB：4+m2=1+(m-3)2→m=1→P(-1,1)；②PA=AB：4+m2=10→m=±√6→P(-1,√6)或(-1,-√6)；③PB=AB：1+(m-3)2=10→m=0或6→P(-1,0)或(-1,6)。答案：P(-1,1)、(-1,√6)、(-1,-√6)、(-1,0)、(-1,6)。4.專項(xiàng)訓(xùn)練（1）拋物線y=2x2-4x+1與x軸交于A、B，對(duì)稱軸上的D滿足△ACD為直角三角形，求D的坐標(biāo)（分∠A、∠C、∠D為直角）。（2）直線y=x+1與拋物線y=x2-2x+3交于A、B，拋物線上的P滿足△PAB面積為2，求P的坐標(biāo)（用平行線法）。（3）A(0,2)、B(3,0)、C(3,2)在拋物線上，P使ABCP為平行四邊形，求P的坐標(biāo)（用坐標(biāo)平移）。（三）類型三：函數(shù)與實(shí)際生活的建模問(wèn)題1.題型特征以實(shí)際生活為背景（如利潤(rùn)、成本、面積、行程），要求建立函數(shù)模型解決問(wèn)題，考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)。2.解題策略審清題意：明確自變量（如銷量、時(shí)間）和因變量（如利潤(rùn)、面積）；建立模型：根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式（如利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量）；解決問(wèn)題：利用函數(shù)性質(zhì)（如二次函數(shù)頂點(diǎn)求最值）求解實(shí)際問(wèn)題。3.經(jīng)典例題（2023·某省中考）題目：商品進(jìn)價(jià)20元/件，售價(jià)30元時(shí)銷量200件，售價(jià)每降1元銷量增20件，設(shè)售價(jià)為x元，求利潤(rùn)y與x的函數(shù)關(guān)系式及最大利潤(rùn)。解析：每件利潤(rùn)：x-20；銷量：200+20(30-x)；利潤(rùn)函數(shù)：y=(x-20)[200+20(30-x)]=-20x2+1200x-____（20≤x≤30）；最大值：二次函數(shù)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)x=30時(shí)，y=2000元。答案：y=-20x2+1200x-____（20≤x≤30），最大利潤(rùn)2000元（售價(jià)30元時(shí)）。4.專項(xiàng)訓(xùn)練（1）矩形養(yǎng)雞場(chǎng)一邊靠墻（墻長(zhǎng)10米），竹籬笆總長(zhǎng)25米，設(shè)長(zhǎng)為x米，求面積y與x的函數(shù)關(guān)系式及最大面積（x≤10）。（2）快遞費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：1千克內(nèi)10元，超過(guò)1千克每千克加2元（不足1千克按1千克算），設(shè)重量為x千克，求快遞費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式（分x≤1和x>1）。（3）工廠生產(chǎn)x個(gè)零件的成本y=1000+5x，銷售收入z=10x（x≤200），求利潤(rùn)w=z-y與x的函數(shù)關(guān)系式及最大利潤(rùn)。（四）類型四：函數(shù)探究性與開(kāi)放性問(wèn)題1.題型特征通過(guò)猜想、驗(yàn)證、推理探究函數(shù)性質(zhì)（如對(duì)稱性、系數(shù)關(guān)系、交點(diǎn)個(gè)數(shù)），考查“邏輯推理”和“創(chuàng)新思維”。2.解題策略從特殊到一般：取特殊值猜想規(guī)律（如a=1時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸）；假設(shè)驗(yàn)證：假設(shè)猜想成立，用代數(shù)方法驗(yàn)證（如聯(lián)立方程）；邏輯推理：通過(guò)函數(shù)性質(zhì)（如奇偶性）推理結(jié)論（如關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù)）。3.經(jīng)典例題（2021·某省中考）題目：探究是否存在k，使y=(k-1)x+b是y=kx2+bx+1的對(duì)稱軸。解析：二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-b/(2k)（垂直于x軸）；一次函數(shù)要成為對(duì)稱軸，需斜率為0（即k=1），但k=1時(shí)一次函數(shù)為y=b（平行于x軸），矛盾；故不存在。答案：不存在。4.專項(xiàng)訓(xùn)練（1）探究y=x2+bx+c與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與b2-4c的關(guān)系（用判別式Δ）。（2）探究y=ax+1與y=x2+ax+1有兩個(gè)不同交點(diǎn)的a的取值范圍（用Δ>0）。（3）探究y=|x|與y=x2-2x+1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（分x≥0和x<0）。四、中考函數(shù)新題型備考建議（一）夯實(shí)基礎(chǔ)：構(gòu)建函數(shù)知識(shí)體系熟練掌握各類函數(shù)的表達(dá)式、圖像和性質(zhì)（如一次函數(shù)的斜率、二次函數(shù)的頂點(diǎn)）；理解函數(shù)的“三要素”（定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系），尤其是定義域的實(shí)際意義。（二）培養(yǎng)能力：強(qiáng)化思想方法應(yīng)用數(shù)形結(jié)合：通過(guò)圖像理解函數(shù)性質(zhì)（如二次函數(shù)頂點(diǎn)是最值點(diǎn)）；方程思想：聯(lián)立函數(shù)與幾何條件求解（如存在性問(wèn)題）；建模思想：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型（如利潤(rùn)問(wèn)題）；分類討論：處理動(dòng)態(tài)或開(kāi)放問(wèn)題（如等腰三角形的多解情況）。（三）關(guān)注趨勢(shì)：研究真題與命題方向研究近3年中考真題，了解命題趨勢(shì)（如核心素養(yǎng)、跨模塊綜合）；練習(xí)探究性與開(kāi)放性問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維；關(guān)注實(shí)際生活情境，提高建