第四章

ARMA模型的特性

4.1格林函數和平穩(wěn)性一、線性常系數差分方程及其解的一般形式先回憶線性常系數微分方程及其解的結構：可轉化為其中將上述方程中的近似號改為等號，實數t改為自然數k，a0’就用a0表示，則得到一階線性常系數差分方程－－n階線性常系數差分方程u(k)—系統(tǒng)的驅動，y(k)—系統(tǒng)的響應它的特征方程為：設特征方程有不相等n個根則齊次方程的通解為：若特征方程有一個l重根，不妨設為則齊次方程的通解為:對應的n階齊次差分方程為：例3.1例3.2(先求相應的齊次差分方程的通解)齊次差分方程對應的特征方程為則特征根為：通解為：再求特解，令代入原方程可求出所以原方程的通解為：二、AR(1)系統(tǒng)的格林函數由AR（1）模型即：上式右端是驅動函數at的線性組合，顯示了系統(tǒng)對現在以及過去擾動的記憶若，則它被稱為記憶函數，也叫格林（Green）函數記隨著j的增大而緩慢減小，表明系統(tǒng)的記憶較強；若，則隨著j的增大而急劇減小，表明系統(tǒng)的記憶較弱；客觀地描述了系統(tǒng)的動態(tài)性則：定義：設零均值平穩(wěn)序列則稱上式為平穩(wěn)序列

的傳遞形式，式中的加權系數

稱為格林（Green）函數，其中能夠表示為格林函數的含義：格林函數是描述系統(tǒng)記憶擾動程度的函數。（1）式可以記為其中

（1）式表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現在時刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“”的作用而生成，是j個單位時間以前加入系統(tǒng)的干擾項對現實響應的權，亦即系統(tǒng)對的“記憶”。

AR(1)模型的后移算子表達式及格林函數3.根據格林函數形成系統(tǒng)的響應（P87）4.AR(1)模型的平穩(wěn)性對AR(1)系統(tǒng)來說，如果系統(tǒng)受擾后，該擾動的作用漸漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)響應隨著時間的增長回到均衡位置，那么該系統(tǒng)就是漸進穩(wěn)定的，也就是平穩(wěn)的

=0.9

=-0.9=1.1=-1.1=1=-1AR(1)模型的平穩(wěn)性條件？5.格林函數與Wold分解Wold分解也叫正交分解將擾動……at-3,at-2,at-1,at看做線性空間的一組基任一向量Xt可以有它們線性表出——Wold分解三.ARMA(2,1)模型的格林函數1)隱式表示(比較系數法)ARMA(2,1)模型為：

采用后移算子，上式等價為：或

令

則有

比較等式兩邊B的同次冪的系數，可得由上式，格林函數可從開始依次遞推算出。此遞推算式稱為格林函數的隱式表示。同理，一般的ARMA(n,n-1)模型的格林函數都可用上述方法得到它的隱式表示。2)顯式表示ARMA(2,1)模型自回歸部分關于算子B的多項式

所對應的方程：稱為特征方程，其根稱為特征根設特征方程有不相等的根λ

1

，λ

2

，則于是則其中于是習題：求ARMA(1,1)模型的格林函數及傳遞形式(格林函數形式)四.ARMA(n,n-1)模型的平穩(wěn)性1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的物理特性I.若系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)，隨著時間的增長，都能趨于平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。II.若系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)，隨著時間的增長，都能趨于無窮，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。III.若系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)，隨著時間的增長，既不回到平衡位置，又不趨于無窮，則稱該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的2.系統(tǒng)的平穩(wěn)性系統(tǒng)的平穩(wěn)性是系統(tǒng)的概率特性，若系統(tǒng)是平穩(wěn)序列，則稱系統(tǒng)是平穩(wěn)的，否則稱為非平穩(wěn)的。I.若系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)必是平穩(wěn)的。II.若系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)必是非平穩(wěn)的。III.若系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)可能平穩(wěn)也可能非平穩(wěn)3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性和平穩(wěn)性之間的關系4.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與模型自回歸部分特征根的關系ARMA(n,m)模型的后移算子表達式為：其中：設

( B)所對應的特征方程的特征根分別為：λ

i

，i=1,2,…,n，于是從而從上式可看出：I.若對所有i(i=1,2…n)都有|λ

i

|<1(即特征根全在單位圓內),則系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的,從而是平穩(wěn)的；II.若至少有一個i(i=1,2…n)使得|λ

i

|>1(即特征根全在單位圓外),則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,從而是非平穩(wěn)的；III.若|λ

i

|≤1(i=1,2…n)且至少有一個取等號,則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的,從而可能平穩(wěn)也可能不平穩(wěn)。例研究AR(2)模型的平穩(wěn)域？圖示如右圖4.2逆函數和可逆性（Invertibility）能夠表示為一、逆函數的定義是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列設則稱上式為平穩(wěn)序列

式中的加權系數稱為逆函數。

可逆。ARMA（n,m）模型逆函數通用解法對于ARMA（n,m）模型的逆函數求解模型格林函數求解方法相同。令

二、ARMA模型的逆函數的逆轉形式則平穩(wěn)序列可表示為由ARMA(n,m)模型可得比較上式兩邊B的同次冪的系數，可遞推得到Ij,j=1,2…,對于MA（m）模型的可逆性討論與AR（n）模型平穩(wěn)性的討論是類似的，即：MA(m)模型的可逆性條件為其特征方程的特征根滿足ARMA(n,m)系統(tǒng)格林函數與逆函數的關系，，在格林函數的表達式中，用代替代替代替，即可得到相對應的逆函數。理論自協(xié)方差函數和自相關函數對于ARMA系統(tǒng)來說，設序列的均值為零，則自協(xié)方差函數第三節(jié)自協(xié)方差函數自相關函數樣本自相關函數的計算在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個有限樣本數據，無法求得理論自相關函數，只能求樣本的自協(xié)方差函數和自相關函數。樣本自協(xié)方差有兩種形式：一、自協(xié)方差函數則相應的自相關函數為

在通常情況下，我們采用第一種算法。

1、AR(n)模型的自相關函數ACF1階自回歸模型AR(1)

Xt=

1Xt-1+at

的k階滯后自協(xié)方差為：011))((gj1jgajgkkttktkXXE==+=---

=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關函數為

k=1,2,…

由AR(1)的穩(wěn)定性知|

1|<1，因此，k

時，呈指數形衰減，直到零。這種現象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，

1<0時，呈振蕩衰減狀。

Xt=

1Xt-1+2Xt-2+at該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1,2分別為２階自回歸模型AR(2)

222110asgjgjg++=類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：

22112211))((-----+=++=kktttktkrXXXEjgjajjg(k=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關函數為：

(k=2,3,…)其中

:

1=1/(1-2),0=1一般地，n階自回歸模型AR(n)

Xt=

1Xt-1+2Xt-2+…

nXt-n

+

atk期滯后協(xié)方差為:

Lnknkk---+++=gjgjgjL2211tntnttktkXXXXE----++++=ajjjg2211))((從而有自相關函數

:

可見，無論k有多大，

k的計算均與其１到n階滯后的自相關函數有關，因此呈拖尾狀。

如果AR(n)是平穩(wěn)的，則|

k|遞減且趨于零。

其中：λi是AR(n)特征方程

(λ)=0的特征根，由AR(n)平穩(wěn)的條件知，|λi|<1;

因此，AR模型的自相關函數具有以下特點：事實上，自相關函數是一n階差分方程，其通解為1.拖尾性2.被負指數控制收斂到零對MA(1)模型2、MA(m)模型

1--=tttXqaa可容易地寫出它的自協(xié)方差系數：

L032===gg21-=qsga)1(220+=sqga于是，MA(1)模型的自相關函數為：可見，當k>1時，

k=0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數是截尾的。

其自協(xié)方差函數為

一般地，m階移動平均模型MA(m)相應的自相關函數為

可見，當k>m時，Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現象，因此，當k>m時，

k=0是MA(m)的一個特征。

于是：可以根據自相關函數是否從某一點開始一直為0來判斷MA(m)模型的階。二、偏自相關函數(系數)

自相關函數ACF(k)給出了Xt與Xt-k的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:即自相關函數中包含了這種所有的“間接”相關。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(partialautocorrelation，簡記為PACF(k)則是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項at，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數為零，記為

在AR(1)中，

同樣地，在AR(n)過程中，對所有的k>n，Xt與Xt-k間的偏自相關系數為零。

AR(n)的一個主要特征是:k>n時，

k*=Corr(Xt,Xt-k

|Xt-1,…,Xt-k+1)=0

即

k*在n以后是截尾的。一隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數在n以后截尾，即k>n時，

k*=0，而它的自相關函數

k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(n)序列。把

換成

之后，方程也成立。皆稱為Yule-Walker方程。實踐上，可以如下計算：偏自相關系數的計算刻畫了與之間的相關性，理論上定義為：解得的即是要求的第k個偏自相關系數對k=1，2，3，…，n，…，依次求解方程，得……

上述

kk就是平穩(wěn)過程的第k個偏自相關函數值。對于一個p階AR模型，有：從而對k=1，2，3，…利用偏自相關公式……

上述序列為AR(p)模型的偏自相關函數。當k>p時，

kk=0

MA(1)過程可以等價地寫成at關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：L+++=--221ttttXXXqqa或ttttXXXaqq+---=--L221這是一個AR()過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。

注意:

上式只有當|

|<1時才有意義，否則意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。

與MA(1)相仿，可以驗證MA(m)過程的偏自相關函數是非截尾但趨于零的。

MA(m)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的