18.2.2菱形第1課時(shí)菱形的性質(zhì)課時(shí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形的變化過(guò)程,觀察菱形的本質(zhì)屬性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.2.經(jīng)歷探索菱形性質(zhì)的過(guò)程,掌握菱形的性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志:能在平行四邊形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)特殊情況即鄰邊相等時(shí),并能說(shuō)出菱形的定義.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志:學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作,能猜想并證明菱形的性質(zhì).學(xué)習(xí)重點(diǎn)菱形的定義及性質(zhì).學(xué)習(xí)難點(diǎn)菱形性質(zhì)的應(yīng)用.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)回顧矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系?矩形的性質(zhì)有哪些?矩形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系?思考還有沒(méi)有特殊的平行四邊形?從哪方面入手研究?設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧矩形與平行四邊形的關(guān)系以及矩形的研究路徑,為菱形的研究提供研究思路,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的一致性.學(xué)生動(dòng)手演示(幾何畫(huà)板)可變化的平行四邊形,其他學(xué)生觀察變化過(guò)程中的特例,特殊在哪里?這種特殊的四邊形叫做菱形,你能試著給菱形下個(gè)定義嗎?設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)觀察平行四邊形的運(yùn)動(dòng)變化,在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中找到平行四邊形的特例,讓學(xué)生體會(huì)菱形與平行四邊形的關(guān)系,通過(guò)分析、比較、交流,揭示事物的本質(zhì)屬性,最后得出定義.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.探究菱形的性質(zhì):問(wèn)題1:請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)菱形的研究路徑,并說(shuō)一說(shuō)你這樣設(shè)計(jì)的依據(jù).問(wèn)題2:思考菱形是特殊的平行四邊形,那么菱形具有平行四邊形的性質(zhì)嗎?你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎?菱形還有特殊的性質(zhì)嗎?應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行研究?問(wèn)題3:請(qǐng)先根據(jù)菱形的定義畫(huà)出標(biāo)準(zhǔn)的菱形,然后猜測(cè)邊、角、對(duì)角線分別有哪些性質(zhì)?并驗(yàn)證你的猜想.問(wèn)題4:你能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎?請(qǐng)畫(huà)圖,寫(xiě)出已知和求證,并證明.猜想:1.菱形的四條邊都相等;2.菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.已知:如圖,在菱形ABCD中,AB=AD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:(1)AB=BC=CD=DA;(2)AC⊥BD;(3)∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=BC.∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA.(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴BO=DO.∵AB=AD,∴AC⊥BD.(3)∵四邊形ABCD是菱形,∴AO=CO,BO=DO,∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.∵AB=BC=CD=DA,∴∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)計(jì),讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)間研究路徑與研究方法的相通之處,讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考.通過(guò)動(dòng)手操作,發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維,增強(qiáng)主動(dòng)探究的意識(shí),在證明性質(zhì)的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生合情推理與演繹推理的能力.觀察下面的圖形,你能得到哪些結(jié)論?請(qǐng)找出其中相等的線段,相等的角,特殊的三角形以及全等的三角形.設(shè)計(jì)意圖:菱形的每條對(duì)角線將菱形分成的兩個(gè)三角形是軸對(duì)稱(chēng)的等腰三角形,而兩條對(duì)角線將菱形分成的四個(gè)三角形是全等的直角三角形,這一認(rèn)知是后面更多探究和證明的思考依據(jù).通過(guò)觀察圖形,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的圖形思維及模型意識(shí).總結(jié)菱形性質(zhì)的探索過(guò)程,你能用兩種語(yǔ)言表達(dá)這些性質(zhì)嗎?1.文字語(yǔ)言:(1)菱形的四條邊都相等;(2)菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.2.符號(hào)語(yǔ)言:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.(2)如圖2,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO,∠ADO=∠CDO.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生反思研究菱形性質(zhì)的過(guò)程,體會(huì)幾何圖形研究路徑與研究方法的相通之處,體會(huì)發(fā)現(xiàn)、提出、證明一個(gè)幾何命題的一般方法.讓學(xué)生關(guān)注自己的思考過(guò)程和表達(dá)過(guò)程,以提高歸納概括的能力.鞏固練習(xí),變式提高獨(dú)立完成教材第56頁(yè)例3.說(shuō)一說(shuō)你是如何求出菱形的面積的?你能總結(jié)出一個(gè)求菱形面積的一般的方法嗎?這個(gè)方法只適用于菱形嗎?如果已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度,你還能求出什么?例如圖,菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m,∠ABC=60°,沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(zhǎng)(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).解:∵花壇ABCD的形狀是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=12∠ABC=12×60°在Rt△OAB中,AO=12AB=1BO=AB2-AO∴花壇的兩條小路長(zhǎng)AC=2AO=20(m),BD=2BO=203≈34.64(m).花壇的面積S菱形ABCD=4×S△OAB=12AC·BD=2003≈346.4(m2)設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力和推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力,加深學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解.通過(guò)求菱形的面積,讓學(xué)生總結(jié)出菱形的面積公式:菱形的面積=對(duì)角線乘積的一半,并探究發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式適用于所有的對(duì)角線互相垂直的四邊形.通過(guò)這一公式讓學(xué)生聯(lián)想到已知對(duì)角線可以求面積、邊長(zhǎng)、高等一系列的未知量.通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)以及推理能力,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).本節(jié)課我們研究了菱形的定義和性質(zhì),請(qǐng)同學(xué)們帶著以下問(wèn)題進(jìn)行總結(jié):(1)在探尋菱形的定義及性質(zhì)時(shí),你經(jīng)歷了怎樣的研究過(guò)程?這個(gè)過(guò)程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法?積累了哪些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?(2)請(qǐng)預(yù)測(cè)菱形后續(xù)還會(huì)研究哪些內(nèi)容?怎樣研究?設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)自主反思,可進(jìn)一步加深對(duì)幾何圖形研究路徑與研究方法的理解,明確科學(xué)的探究方法要經(jīng)歷觀察—猜想—驗(yàn)證—證明—得出結(jié)論的過(guò)程.反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力,只有以反思為核心的數(shù)學(xué)教育,才能使學(xué)生真正深入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,才能使學(xué)生真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在實(shí)質(zhì).第1課時(shí)菱形的性質(zhì)圖形邊角對(duì)角線對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分具有平行四邊形所有的性質(zhì)四條邊相等對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角知能演練提升能力提升1.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠DAC=30°,BD=8,則下列結(jié)論:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=43,其中正確的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,得到菱形AECF.若AB=3,則BC的長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.2 D.33.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13,對(duì)角線AC=24,點(diǎn)E,F分別是邊CD,BC的中點(diǎn),連接EF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,則EG=()A.13 B.10 C.12 D.54.若菱形的周長(zhǎng)為20cm,且有一個(gè)內(nèi)角為45°,則該菱形的高為cm.

5.如圖,將兩張對(duì)邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起,則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD菱形.(填“是”或“不是”)

★6.如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別是任意四邊形ABCD中AD,BD,BC,CA的中點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿(mǎn)足條件時(shí),四邊形EFGH是菱形.

7.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AD,AB的中點(diǎn).(1)求證:△ABE≌△ADF;(2)若BE=3,∠C=60°,求菱形ABCD的面積.8.如圖,四邊形ABCD為矩形,G是對(duì)角線BD的中點(diǎn),連接GC并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使CF=GC,以DC,CF為鄰邊作菱形DCFE,連接CE.(1)判斷四邊形CEDG的形狀,并證明你的結(jié)論.(2)連接DF,若CD=1,求DF的長(zhǎng).9.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BD和DB的延長(zhǎng)線上,且DE=BF,連接AE,CF.(1)求證:△ADE≌△CBF.(2)連接AF,CE.當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),四邊形AFCE是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由.創(chuàng)新應(yīng)用★10.將兩塊完全相同的三角尺Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')按如圖①所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜邊重合.若三角尺Ⅱ不動(dòng),三角尺Ⅰ在三角尺Ⅱ所在的平面上向右滑動(dòng),圖②是滑動(dòng)過(guò)程中的一個(gè)位置.(1)在圖②中,連接BC',B'C,求證:△A'BC'≌△AB'C.(2)當(dāng)三角尺Ⅰ滑動(dòng)到什么位置(點(diǎn)B'落在AB邊的什么位置)時(shí),四邊形BCB'C'是菱形?說(shuō)明理由.知能演練·提升一、能力提升1.D2.D題圖中的六個(gè)小直角三角形都全等,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.設(shè)EB=x,則EC=AE=3-x,∴3-x=2x,x=1.∴BC=3.3.B連接BD,交AC于點(diǎn)O,如圖.∵菱形ABCD,點(diǎn)E,F分別是邊CD,BC的中點(diǎn),∴AB∥CD,EF∥BD.∵AC,BD是菱形的對(duì)角線,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD.又AB∥CD,EF∥BD,∴DE∥BG,BD∥EG,∴四邊形BDEG是平行四邊形,∴BD=EG.在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD=132∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10.4.522如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)∵周長(zhǎng)為20cm,∴CD=5cm,∵∠BCD=45°,∴∠CDE=45°,∴高h(yuǎn)=CE=22CD=525.是∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.如圖,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥DC于點(diǎn)F,∴AE=AF,∴S?ABCD=BC·AE=DC·AF,∴BC=DC,∴?ABCD是菱形.6.AB=CD需添加條件AB=CD.∵E,F分別是AD,DB的中點(diǎn),∴EF∥AB,EF=12AB∵H,G分別是AC,BC的中點(diǎn),∴HG∥AB,HG=12AB∴EF∥HG,EF=HG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵E,H分別是AD,AC中點(diǎn),∴EH=12CD∵AB=CD,∴EF=EH.∴四邊形EFGH是菱形.7.(1)證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵點(diǎn)E,F分別是邊AD,AB的中點(diǎn),∴AF=AE.在△ABE和△ADF中,AB∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解如圖,連接BD.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠A=∠C=60°,∴△ABD是等邊三角形.∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),∴BE⊥AD.在Rt△AEB中,設(shè)AB=x,則AE2+BE2=AB2,即12x2+(3)2=x2,即AD=AB=2,∴菱形ABCD的面積=AD·BE=2×3=23.8.解(1)四邊形CEDG是菱形,理由如下:∵四邊形ABCD為矩形,G是對(duì)角線BD的中點(diǎn),∴GC=GD.∵CF=GC,∴GC=GD=CF.∵四邊形DCFE是菱形,∴CF=DE,DE∥GC,∴DE=GC,∴四邊形CEDG是平行四邊形.∵GD=GC,∴四邊形CEDG是菱形.(2)∵四邊形DCFE是菱形,∴∠CDF=12∠CDE,∴DC=CF=1∵GD=GC=CF,∴GD=GC=CD=1,即△GCD為等邊三角形.∴∠GDC=∠GCD=60°.∴∠DCF=120°.∴∠CDF=30°.∴∠GDF=90°.在Rt△GDF中,DF=GF9.(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=CB,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中,AD∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),四邊形AFCE是菱形.理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∴平行四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF.又OA=OC,∴四邊形AFCE是平行四邊形,∴四邊