昆明三校生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2≤x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|1<x≤2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=25，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知點(diǎn)P(x,y)在直線3x+4y-12=0上，且點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

A.(0,3)

B.(4,0)

C.(0,0)

D.(2,3)

5.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，則b+c的值為（）

A.-1

B.1

C.3

D.-3

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=6，則邊AC的長度為（）

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

7.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-1,-2)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(2,1)

9.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z2的值等于（）

A.2

B.0

C.-2

D.1

10.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊BC=6，則△ABC的面積等于（）

A.9

B.9√3

C.18

D.18√3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2

B.y=2?

C.y=1/x

D.y=√x

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2，b?=16，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?的表達(dá)式可能是（）

A.S?=2(2?-1)/(2-1)

B.S?=2(2?-1)/2-1

C.S?=2(2?-1)/2

D.S?=2(2?-1)/4

3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于（）

A.x2+2x

B.-x2-2x

C.x2-2x

D.-x2+2x

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=6，則△ABC的周長可能是（）

A.6+6√2+6√3

B.6+6√2-6√3

C.6+6√3+6√2

D.6+6√3-6√2

5.下列命題中，正確的有（）

A.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.相似三角形的周長之比等于其面積之比

D.勾股定理適用于任意三角形的邊長關(guān)系

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-ax+3在x=2時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)a的值為______。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=10，則邊AC的長度等于______。

3.已知圓O的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則圓心O到直線3x-4y+5=0的距離等于______。

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=25，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=______。

5.若復(fù)數(shù)z=2+3i，則其模|z|等于______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：{x+2y=5{3x-y=8

2.計(jì)算極限：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊AC=6，求邊BC的長度和△ABC的面積。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

5.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+1)/xdx

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的所有元素，即{x|x∈A且x∈B}。由A={x|1<x<3}和B={x|x≥2}可得，A∩B={x|2≤x<3}。

2.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1必須大于0，即x-1>0，解得x>1。因此定義域?yàn)?1,∞)。

3.C

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+（n-1）d。由a?=10可得，a?+4d=10；由a??=25可得，a?+9d=25。聯(lián)立兩式解得，a?=2，d=3/4。因此，d=5。

4.D

解析：點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離最小即點(diǎn)P到原點(diǎn)的垂線段最短。直線3x+4y-12=0的法向量為(3,4)。設(shè)垂足為P(x?,y?)，則有3x?+4y?-12=0且(x?,y?)是原點(diǎn)到直線的垂線與直線的交點(diǎn)。垂線方程為y=-4/3x，聯(lián)立解得x?=2，y?=3。故點(diǎn)P(2,3)。

5.C

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，說明a>0。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)，根據(jù)頂點(diǎn)公式x=-b/2a=-1，解得b=2a。又因?yàn)轫旤c(diǎn)在曲線上，代入得2a*(-1)2+b*(-1)+c=2，即2a-b+c=2。將b=2a代入得a+c=2。由于b+c=2a+c，且a+c=2，所以b+c=2a+c=2a+(2-a)=a+2。又因?yàn)閍+c=2，所以b+c=a+2=2a+(2-a)=2。因此，b+c=3。

6.A

解析：由題意知，角C=180°-60°-45°=75°。在△ABC中，根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a=6，邊AC=b，邊AB=c。則有6/sin60°=b/sin45°=c/sin75°。解得b=6*(√2/2)/(√3/2)=3√2。

7.A

解析：圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2。因?yàn)?<3，所以圓O與直線l相交。

8.A

解析：點(diǎn)A(1,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2)。

9.C

解析：z2=(1+i)2=12+2*1*i+i2=1+2i-1=2i。因此，z2的值為-2。

10.A

解析：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a=6，邊AC=b，邊AB=c。則有6/sin30°=b/sin60°=c/sin75°。解得△ABC的面積S=1/2*a*b*sinC=1/2*6*6*(√3/2)*(√2/2)=9。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.BD

解析：函數(shù)y=x2在定義域內(nèi)不是單調(diào)的；函數(shù)y=2?是指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)y=1/x在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)y=√x在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.AC

解析：等比數(shù)列{b?}的通項(xiàng)公式為b?=b?*q^(n-1)。由b?=2，b?=16可得，2*q3=16，解得q=2。因此，b?=2*2^(n-1)=2?。前n項(xiàng)和S?=b?*(1-q?)/(1-q)=2*(1-2?)/(1-2)=2(2?-1)/(2-1)。所以，選項(xiàng)A和C正確。

3.AB

解析：由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)。當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。因此，f(x)=-f(-x)=-x2-2x。所以，選項(xiàng)A和B正確。

4.AC

解析：由題意知，角C=180°-60°-45°=75°。在△ABC中，根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a，邊AC=b=6，邊AB=c。則有a/sin60°=6/sin45°=c/sin75°。解得a=6*(√3/2)/(√2/2)=3√2，c=6*(√3/2)/(√2/2)=3√3。因此，△ABC的周長為6+3√2+3√3或6+3√3+3√2。所以，選項(xiàng)A和C正確。

5.BCD

解析：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫€需要滿足該點(diǎn)在已知直線上；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的；相似三角形的周長之比等于其相似比，面積之比等于其相似比的平方，所以該命題是正確的；勾股定理只適用于直角三角形，不適用于任意三角形，所以該命題是錯(cuò)誤的。因此，選項(xiàng)B、C、D正確。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：函數(shù)f(x)=x2-ax+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a/2,f(-a/2))。因?yàn)楹瘮?shù)在x=2時(shí)取得最小值，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即-a/2=2，解得a=-4。

2.6√2

解析：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a，邊AC=b=6，角A=60°，角B=45°。則有a/sin60°=6/sin45°，解得a=6*(√3/2)/(√2/2)=6√2。

3.5

解析：圓心O(1,-2)到直線3x-4y+5=0的距離d=|3*1-4*(-2)+5|/√(32+(-4)2)=|3+8+5|/5=16/5=5。

4.4n-11

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+（n-1）d。由a?=10，a??=25可得，a?+4d=10，a?+9d=25。聯(lián)立兩式解得，a?=2，d=3/4。因此，a?=2+（n-1）*（3/4）=4n-11。

5.5

解析：復(fù)數(shù)z=2+3i的模|z|=√(22+32)=√(4+9)=√13。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解方程組：

{x+2y=5

{3x-y=8

解：由第二個(gè)方程得，y=3x-8。代入第一個(gè)方程得，x+2(3x-8)=5，解得x=3。代入y=3x-8得，y=1。因此，解為x=3，y=1。

2.計(jì)算極限：

lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

=lim(x→2)(x+2)(x-2)/(x-2)

=lim(x→2)(x+2)

=4

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊AC=6，求邊BC的長度和△ABC的面積。

解：由題意知，角C=180°-60°-45°=75°。在△ABC中，根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a，邊AC=b=6，邊AB=c。則有a/sin60°=6/sin45°=c/sin75°。解得a=6*(√3/2)/(√2/2)=3√2，c=6*(√3/2)/(√2/2)=3√3?！鰽BC的面積S=1/2*a*b*sinC=1/2*6*6*(√3/2)*(√2/2)=9。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+2，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。

解：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=(-2)3-3*(-2)+2=-8+6+2=0。f(-1)=(-1)3-3*(-1)+2=-1+3+2=4。f(1)=13-3*1+2=1-3+2=0。f(2)=23-3*2+2=8-6+2=4。因此，最大值為4，最小值為0。

5.計(jì)算不定積分：

∫(x2+2x+1)/xdx

=∫(x+2+1/x)dx

=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx

=x2/2+2x+ln|x|+C

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

1.集合與函數(shù)：集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集），函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，函數(shù)的圖像變換，基本初等函數(shù)的性質(zhì)。

2.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的應(yīng)用。

3.三角函數(shù)：任意角的概念，弧度制，三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和差角公式，倍角公式，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解三角形。

4.解析幾何：直線方程的幾種形式，兩直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。

5.不等式：不等式的性質(zhì)，不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式），不等式的應(yīng)用。

6.極限與連續(xù)：數(shù)列的極限，函數(shù)的極限，無窮小量與無窮大量，函數(shù)的連續(xù)性。

7.微積分：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、物理意義，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值），不定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法，定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法，定積分的應(yīng)用（求面積、旋轉(zhuǎn)體體積等）。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、定理的掌