第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州三中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，a4=-8，則公比q=（）A.2 B.-4 C.4 D.-22.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AF|=（）A.3 B.4 C.5 D.63.在三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)=，=，=，N為BC的中點(diǎn)，則=（）A. B. C. D.4.已知f′（x）是函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-2處取得極小值，則函數(shù)y=xf′（x）的圖象可能是（）A. B.

C. D.5.有6本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A.1440種 B.1560種 C.1920種 D.5760種6.若函數(shù)f（x）=bx-2sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A.b≥0 B.b＞0 C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x+y-2=0與圓O：x2+y2=4交于點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P在圓C：（x+2）2+y2=r2（r＞0）上運(yùn)動(dòng)，若△PAB的面積的取值范圍為[2，6]，則r的值為（）A. B. C.2 D.8.設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△FOH的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)B，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則（）A.n=7 B.只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.各項(xiàng)系數(shù)之和為-1 D.x5的系數(shù)為56010.已知Sn為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，公差為d.若＞0，S20=0，則（）A.數(shù)列{}為遞增數(shù)列 B.S8=S12

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)，Sn取到最大值 D.+＞011.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）

A.AG⊥平面BCDG B.若E是棱BC的中點(diǎn)，則DE與平面AFG平行

C.點(diǎn)B到平面ACD的距離為 D.該半正多面體的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)變量X的方差D（X）=3，則D（2X+3）=______.13.已知直線l：y-2=k（x-2）與圓C：x2+y2+2y-24=0相交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是______.14.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若曲線y=x2+1和曲線y=alnx（a＞0）上分別存在A，B兩點(diǎn)，使得∠AOB=45°，則a的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

在數(shù)列{an}中，a1=2，.

（1）證明：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列.

（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.16.(本小題12分)

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，EF∥DC，AE=DE=EF=AD=2，AB=4，.

（1）證明：平面ADE⊥平面ABCD.

（2）求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.17.(本小題12分)

已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球.

（1）從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量X為1號(hào)球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的是1號(hào)球放入甲袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求第二次摸到的是3號(hào)球的概率.18.(本小題12分)

已知函數(shù)f（x）=ae2x+x+1.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）+（a+2）ex≤0恒成立，求整數(shù)a的最大值.19.(本小題12分)

已知雙曲線C的漸近線方程為y=±x,右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A（4，2）在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)D（2，0）的直線l與C相交于F，G兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于x軸對(duì)稱，問直線EG是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；

（3）將圓心在y軸上，且與C的兩支各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的圓稱為“子圓”，若兩個(gè)“子圓”外切于點(diǎn)R，圓心距為d,求.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】AC

12.【答案】12

13.【答案】

14.【答案】[，+∞）

15.【答案】（1）證明：由an+1=3an-2n+1，

得an+1-（n+1）=3（an-n），又a1-1=2-1=1≠0，

∴數(shù)列{an-n}為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列；

（2）解：由（1）得，數(shù)列{an-n}為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

則，即，

∴

=

=．

16.【答案】證明過程請(qǐng)見解答；

．

17.【答案】分布列見詳解；E（X）=1；

．

18.【答案】y=-x；

當(dāng)a≥0時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a＜0時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

-2．

19.【答案】解：（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±x,

所以設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ（λ≠0），

將點(diǎn)A（4，2）代入得42-22=λ，

即λ=12，

所以雙曲線C的方程為；

（2）當(dāng)直線DG的斜率不為零時(shí)，

設(shè)直線DG的方程為x=my+2，F(xiàn)（x1，y1），G（x2，y2），E（x1，-y1），

由

消去x整理得（m2-1）y2+4my-8=0，

依題意得：m2-1≠0，且Δ=16m2+32（m2-1）＞0，即且m2≠1，

，，

易知，直線EG的斜率存在，

設(shè)直線EG的方程為．

令y=0，得

=．

所以直線EG過定點(diǎn)（6，0），

當(dāng)直線DG的斜率為0時(shí)，直線EG的方程為y=0，過點(diǎn)（6，0），

綜上，直線EG過定點(diǎn)（6，0）．

（3）考慮以（0，y0）為圓心的“子圓”，

由Ω0的方程與C的方程消去x,

得關(guān)于y的二次方程．

依題意，該方程的判別式，

所