專題12.3三角形全等的判定1（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“邊邊邊”，和判定方法2——“邊角邊”；2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定1——“邊邊邊”全等三角形判定1——“邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.特別說(shuō)明：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.要點(diǎn)二、全等三角形判定2——“邊角邊”1.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.特別說(shuō)明：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

【典型例題】類型一、全等三角形的判定1——“邊邊邊”1、如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用“邊邊邊”定理證即可；（2）由全等可得，，根據(jù)平行線的判定證明即可．證明：（1），，，在和中，，，；（2）由（1）得：，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．舉一反三：【變式】已知：如圖，，，．求證：．【分析】先由得出由得出從而得出由全等即可得結(jié)論．證明：在與中，【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊”2、如圖，已知是的角平分線，．求證：．【分析】由是的角平分線，可得，由和公共邊BD，可證．證明：∵是的角平分線（已知），∴（角平分線定義），在與中，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等證明，掌握三角形全等的證明方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·江蘇淮安市·八年級(jí)期末）如圖，，求證：．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．證明：∵BF＝CE，∴BF+CF=CE+CF，∴BC＝EF，∴在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3、如圖，，，，求證：．【分析】直接利用SAS證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；證明：∵∴即∴在與中∴∴【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的證明以及全等三角形的性質(zhì)，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；舉一反三：【變式】（2021·云南昆明市·八年級(jí)期末）如圖：已知，且，求證：．證明：∵∴∴又∵∴在和中∴（SAS）【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，4、已知：如圖，C為線段BE上一點(diǎn)，AB//DC，AB=EC，BC=CD．求證：∠A=∠E．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ECD，即可得出答案．證明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴∠A＝∠E（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·江蘇金湖縣·八年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)A、F、E、D在同一條直線上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求證：BE∥CF．【分析】根據(jù)SAS證明△ABE與△DCF全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．證明：∵AF＝DE，∴AF＋FE＝DE＋FE，∴AE＝DF，在△ABE與△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠CFD＝∠BEA，∴BE∥CF．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確運(yùn)用三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用5、如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A、B間的距離：現(xiàn)在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD＝AC；連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE＝CB；連接DE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度．（1）求證：DE＝AB；（2）如果DE的長(zhǎng)度是8m，則AB的長(zhǎng)度是多少？【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8m【分析】（1）先根據(jù)SAS證明△CDE≌△CAB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合已知即得答案．（1）證明：在△CDE和△CAB中，，∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB；（2）解：∵DE＝AB，DE＝8m，∴AB＝8m．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如果將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘連接，就能構(gòu)成一個(gè)平面圖形.如圖1是一個(gè)四邊形的木架，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm.(1)扭動(dòng)這個(gè)木架，四邊形的形狀就會(huì)改變，這說(shuō)明了什么？(2)如圖2，若固定三根木條AB、BC、AD不動(dòng)，量得第四根木條CD＝5cm，判斷此時(shí)∠B與∠D是否相等，并說(shuō)明理由.(3)在扭動(dòng)這個(gè)木架過(guò)程中，當(dāng)測(cè)得A、C之間的距離為6cm時(shí)，若CD的長(zhǎng)度也是整數(shù)，那么CD的長(zhǎng)應(yīng)為多少？【答案】(1)四邊形的不穩(wěn)定性；(2)相等，理由見(jiàn)解析；(3)CD的長(zhǎng)應(yīng)為5cm或6cm或7cm.【分析】(1)根據(jù)四邊形的特性即可得到結(jié)論；(2)連接AC，根據(jù)SSS證明兩個(gè)三角形全等即可；(3)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.解：(1)答：四邊形的不穩(wěn)定性；(2)相等.理由：連接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB(SSS)，∴