第01講集合的概念及表示知識點(diǎn)1：集合的概念1、概念把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成的一個集合（有時簡稱集），組成集合的每個對象都是這個集合的元素．集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要點(diǎn)辨析（1）對象：現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、觸摸到的、想到的事和物等，都可以看作“對象”，即集合的元素，它具有廣泛性，組成集合的對象可以是數(shù)、圖形、人、物等．（2）集合：集合是一個原式的、不加定義的概念，就如幾何重點(diǎn)、線、面一樣無法被“定義”；（3）元素：具有共同特征或共同的屬性的對象；（4）總體：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”的含義，因此，一些對象一旦組成集合，這個集合就是這些對象的全體，而非個體．3.集合的三個特性：（1）描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”、“線”、“面”等概念一樣，都只是描述性地說明.（2）整體性：集合是一個整體，暗含“所有”、“全部”、“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體.（3）廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物等.知識點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系1、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．2、集合中元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．注意：如果元素的界限不明確，即不能構(gòu)成集合。例如著名的科學(xué)家；比較高的人等（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．知識點(diǎn)3集合的表示方法與分類1、常用數(shù)集及其記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法或（1）正整數(shù)集：全體正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作或.（2）自然數(shù)集：全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做自然數(shù)集，記作.（3）整數(shù)集：全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作.（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作.（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作.2、集合的表示方法（1）自然語言：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如所有正方形組成的集合，所有實(shí)數(shù)組成的集合.例如，三角形的集合.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．=1\*GB3①元素與元素之間必須用“，”隔開；=2\*GB3②集合中的元素必須是明確的；=3\*GB3③集合中的元素不能重復(fù)；=4\*GB3④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．=1\*GB3①首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個有序數(shù)對來表示．=2\*GB3②若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．=3\*GB3③多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．（4）圖示法：畫一條封閉曲線，用它的內(nèi)部表示集合．3、集合的分類（1）一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?；（2）集合可以根據(jù)它含有的元素個數(shù)分為兩類：含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無限個元素的集合稱為無限集．空集可以看成含有0個元素的集合，所以空集是有限集．4、集合相等給定兩個集合A和B，如果組成他們的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作A=B．知識點(diǎn)4區(qū)間的概念1、一般區(qū)間的表示設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時，包含端點(diǎn)的那一端用中括號表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號表示.定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間2、實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．3、特殊區(qū)間的表示定義符號數(shù)軸表示≥≤在數(shù)軸上，用實(shí)心點(diǎn)表示包括區(qū)間的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括區(qū)間的端點(diǎn)．【常用方法技巧】1、判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合，否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.2、元素與集合關(guān)系的判斷方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特異性求參數(shù)（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；（2）構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．（3）利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．4、集合與方程的綜合問題（1）弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)方程中含有參數(shù)時，往往要根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，有時還要進(jìn)行分類討論．求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的特性．5、集合的新定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義。首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．（2）用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．題型1：判斷元素是否構(gòu)成集合1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2025年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)2．下列四組對象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)3．下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．下列對象能構(gòu)成集合的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④5.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是__________．（1）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個子；題型2：判斷是否為同一集合1.下列各組集合中，M與P表示同一集合的是（

）3.下列說法中正確的是（

）A．1與表示同一個集合4.（多選）下面表示同一個集合的是（

）5.（多選）下列說法正確的是（）B．與是同一個集合題型3：判斷元素和集合的關(guān)系1.下列關(guān)系正確的是（

）4．下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A．0M B．4M C．2∈M D．4∈M9.若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（

）A．3.14 B．5 C． D．題型4：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參A．或 B． C． D．(3)在集合S中，元素能否只有一個?若能，把它求出來;若不能，請說明理由.題型5：根據(jù)集合元素互異性求參A．2 B．3 C． D．5A．，3 B． C．，3，8 D．，8A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形題型6：列舉法表示集合7.用列舉法表示下列給定的集合：8．用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有正整數(shù)組成的集合；(4)由所有正整數(shù)組成的集合..A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}12．用列舉法表示下列集合：(1)既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合；(2)大于10而小于20的合數(shù)組成的集合；(4)中華人民共和國國旗的顏色名稱的集合.題型7用描述法表示集合1.對集合{1，5，9，13，17}用描述法來表示，其中正確的是（

）4.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．點(diǎn)(x，y)C．平面直角坐標(biāo)系中的所有點(diǎn)組成的集合D．函數(shù)y＝2x－1圖像上的所有點(diǎn)組成的集合5.用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中的x軸上的點(diǎn)組成的集合；6．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中第一象限的角平分線上的所有點(diǎn)組成的集合；(2)3的所有倍數(shù)組成的集合.7．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合；(2)比1大又比10小的所有實(shí)數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)組成的集合.8．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為（

）A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B．{（x，y）|x＝0且y＝0}C．{（x，y）|xy＝0}D．{（x，y）|x，y不同時為零}9．由大于且小于的偶數(shù)所組成的集合是（

）10．用描述法表示一元二次方程的全體，應(yīng)是（

）題型8：根據(jù)集合元素個數(shù)求參A．1 B． C．0 D．2A．B．1C．D．27.由a2，2－a，4組成一個集合A，且集合A中含有3個元素，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A．1 B．－2 C．－1 D．2A．0 B．1 C．1 D．3(1)若A是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型9：利用集合中元素性質(zhì)求集合元素個數(shù)A．5 B．6 C．8 D．9A．2 B．3 C．4 D．53．“booknote中字母”構(gòu)成一個集合，該集合的元素個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．84．若A={2，3，4}，B={x|x=n·m，m，n∈A，m≠n}，則集合B的元素個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5A．5 B．6 C．7 D．8A． B． C． D．A．2 B．4 C．6 D．8A．1 B．2 C．3 D．4題型11：集合元素互異性的應(yīng)用1.有4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾相接連成一個平面四邊形，則這個平面四邊形可能是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形2.已知一個三角形的三邊長為一個集合的3個元素，該三角形一定不可能是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型12：集合的分類1.（多選）下列集合是有限集的是（

）A．不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合2.下列給出的對象能構(gòu)成集合并且為無限集（含有無限個元素的集合）的是（

）A．所有很大的實(shí)數(shù)組成的集合C．所有大于的偶數(shù)組成的集合D．所有到軸距離均為1的點(diǎn)組成的集合3．設(shè)集合A＝{周長為4cm的正方形}，B＝{面積為4cm2的長方形}，則正確的是（

）A．A，B都是有限集 B．A，B都是無限集C．A是無限集，B是有限集 D．A是有限集，B是無限集4.（多選）下列集合是無限集的是（

）5.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出哪些是有限集，哪些是無限集．(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C；題型13：根據(jù)集合相等關(guān)系進(jìn)行計(jì)算A． B．0 C．1 D．2A． B．0 C．1 D．2題型13：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)A．或 B． C． D．或3.已知集合M中含有三個元素2，a，b，集合N中含有三個元素2a,2，b2，且兩集合相等，求a，b的值．題型14：區(qū)間與集合的相互表示2.下列敘述正確的是（

）題型15：集合與方程的綜合問題】A．1或0 B．0 C．1 D．1或2(1)若集合中有且僅有一個元素，求實(shí)數(shù)組成的集合.(2)若集合中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型16：集合的新定義問題A．1 B．2 C．4 D．5A． B． C．8 D．16A．4 B．3 C．2 D．1A．集合中至多有2個元素 B．集合中至多有3個元素C．集合中有且僅有4個元素 D．集合中至少有5個元素5.【多選】若對任意x∈A，1x∈A，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“A．-1,1 B．12,2 C．xx7.對于任意兩個正整數(shù)，，定義運(yùn)算⊕如下：8.【多選】當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”，對于集合A=-1,12,B=x|ax2=1,A．0 B．1 C．2 D．4鞏固練習(xí)【選擇題】1.下列各組對象不能組成集合的是（

）A．2019籃球世界杯參數(shù)隊(duì)伍 B．中國文學(xué)四大名著C．抗日戰(zhàn)爭中著名的民族英雄 D．我國的直轄市2.若，，，為集合中的4個元素，則以，，，為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（

）A．菱形 B．平行四邊形 C．梯形 D．正方形下列命題中正確的是（

）①與表示同一個集合A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都對4.下列說法正確的是（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2A．7 B．8 C．9 D．10A．1 B．2 C．3 D．49.（多選）下列說法正確的是（

）A． B．2 C．4 D．6【填空題】【解答題】1.試用集合表示圖中陰影部分（含邊界）的點(diǎn).2.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一個元素，求由實(shí)數(shù)a組成的集合．（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個？請說明理由；（3）請寫出集合M中的元素個數(shù)的所有可能值，并說明理由.4.下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是無限集？(4)我國的少數(shù)民族組成的集合.5.選擇適當(dāng)方法表示下列集合：(4)大于且不大于的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合；6．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于0且不超過6的全體偶數(shù)組成的集合；(2)被3除余1的所有自然數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系上第二象限的點(diǎn)組成的集合；7．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷它是有限集還是無限集.(3)由大于且小于9的偶數(shù)組成的集合.(1)當(dāng)A中有兩個元素時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)A中沒有元素時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)A中有且僅有一個元素時，求實(shí)數(shù)a的值，并求出此元素.鞏固練習(xí)2一、選擇題1.有下列說法：①集合N中最小的數(shù)為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個集合．其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A．－1或3 B．0或1C．3 D．－13.已知集合S中的三個元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形二、填空題4.由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).①不超過10的所有正整數(shù);②高一(6)班中成績優(yōu)秀的同學(xué);③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數(shù).5.已知集合A=?,?，下列選項(xiàng)中均為A①?

②?

③?

④?6.用符號“∈”或“?”填空:(1)設(shè)集合B是小于11的所有實(shí)數(shù)的集合,則23________B,1+2________B.

(2)設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合,則3________C,5________C.

(3)設(shè)集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)的集合,則1________D,(1,1)________D.(4)若A表示第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合,則點(diǎn)(0,0)____A