【暑期預習銜接講義】20252026學年北師大版九年級數(shù)學上冊第十九講：利用相似三角形測高 （思維導圖+知識總結(jié)梳理+典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：利用陽光下的影子測量旗桿的高度測量示意圖如圖，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBD.又∵∠ABE=∠CDB=90°，∴△ABE∽△CDB.∴ABCD=EBBD，即CD知識點02：利用標桿測量旗桿的高度測量示意圖如圖，易知∠1=∠2=90°.又∵∠3=∠3，∴△AEM∽△ACN，∴AMAN=EM易知AM=BF，AN=BD，ND=MF=AB，∴EM=EFMF=EF－AB.∵BF，BD，EF，AB可測，∴可求得CN的長度.∴CD=CN+ND=CN+AB知識點03：利用鏡子的反射測量旗桿的高度測量示意圖如圖所示，∵∠AEB=∠CED，∠ABE=∠CDE=90°，∴△ABE∽△CDE.∴ABCD=EBED，即CD考點1：相似三角形實際應用【典型例題】如圖，在A時測得旗桿的影長是4米，B時測得旗桿的影長是16米，若兩次的日照光線恰好垂直，則旗桿的高度是（

）米．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D即旗桿的高度為．故選：D【變式訓練1】【答案】D故選：D．【變式訓練2】【答案】B故選：B．一、單選題A．10米 B．12米 C．15米 D．20米【答案】B【分析】本題考查相似三角形的應用舉例，根據(jù)同一時刻物體與影長成比例得到對應線段成比例解題即可．【詳解】解：∵同一時刻物體與影長成比例，故選B．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用，首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得端點C向下壓的長度是解題的關(guān)鍵．故選C．【答案】C【詳解】解：過點C作桌面的垂線，垂足為點M，交于點N；過點B作桌面的垂線，垂足為點P，故選：C．4．如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為，且三角板的一邊長為．則投影三角板的對應邊長為（

）【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的應用：根據(jù)對應邊的比等于相似比列式進行計算即可得解，利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．【詳解】解：設投影三角尺的對應邊長為，∵三角尺與投影三角尺相似，故選：D．5．1m長的標桿直立在水平地面上，它在陽光下的影子長度為0.8m，同一時刻，某電視塔的影子長度為100m，則該電視塔的高度為（

）A．150m B．125m C．120m D．80m【答案】B【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【詳解】解：設電視塔的高度應是x，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝125，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，利用相似比，列出方程，通過解方程求出電視塔的高度，體現(xiàn)了方程的思想．6．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時立一根一十五寸的小標桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（

）A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】B【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．【詳解】解：設竹竿的長度為x寸，?竹竿的影長=150寸，標桿長=15寸，影長=5寸，?答：竹竿長為450寸，?故選：B．【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．【答案】B【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解．∴AB＝16（米）．故選：B．【點睛】考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．8．學校教學樓前面有一根高是4.2米的旗桿，在某時刻太陽光下的影子長是6.3米，與此同時，在旗桿周邊的一棵大樹在地面上投影出的影子長是9米，則此大樹的高度是（

）A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米【答案】C【詳解】如圖，根據(jù)題意得:AG=4.2米，AB=6.3米，EF=9米，同一時刻樹高與影長的比和旗桿與影長的比相等得△DFE與△GAB相似，解得：樹高=6米．故選：C．【點睛】此題考查利用相似三角形測高，主要利用線段成比例，找出對應邊是關(guān)鍵，難度一般．二、填空題【答案】故答案為：．【答案】6【分析】本題考查的是相似三角形在實際生活中的運用，因為光源與膠片組成的三角形與光源與投影后的圖象組成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答．故答案為：6．【答案】故答案為：．【答案】24【分析】本題主要考查了相似三角形的應用．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設與交點為E，正方形的邊長為x，故答案為：24．【分析】本題考查相似三角形的應用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．高腳杯前后的兩個三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖：【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．故答案為：【答案】16【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．因為小玲和新華大廈均和地面垂直，且光線的入射角等于反射角，因此構(gòu)成一組相似三角形，利用對應邊成比例即可解答．那么該古城墻的高度是，故答案為：16．16．小明和他的同學在太陽下行走，小明身高米，他的影長為米，他同學的身高為米，則此時他的同學的影長為米．【答案】2．【分析】在同一時刻物高和影長成比例，列比例式求解即可．【詳解】解：設他的同學的影長為xm，∵同一時刻物高與影長成比例，解得，x=2,經(jīng)檢驗，x=2是原方程的解，∴他的同學的影長為2m，故答案為：2．【點睛】此題主要考查了同一時刻物高與影長成比例，利用同一時刻物高與影長成比例列出方程，通過解方程求出的影長，體現(xiàn)了方程的思想．三、解答題【答案】【答案】這個建筑物的高度為12米答：這個建筑物的高度為12米．【分析】因為在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同，利用竹竿這個參照物就可以求出圖中的，是的影子，然后加上CD就是樹高．【點睛】解決此類問題的關(guān)鍵是利用在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結(jié)論，列出方程求解．20．小強在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學樓的頂端B，此時EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6米，請計算出教學樓AB的高度．